正交試驗設計與均勻試驗設計

1、正交試驗設計正交試驗設計一一.正交試驗設計正交試驗設計1.1正交試驗設計的基本概念正交試驗設計的基本概念 正交試驗設計基本概念正交試驗設計基本概念 : :就是安排就是安排多因素試驗多因素試驗、尋求、尋求 最優(yōu)水平組合最優(yōu)水平組合的一種高效率試驗設計方法。的一種高效率試驗設計方法。 適用于適用于3 3個或個或3 3個以上的試驗因素。個以上的試驗因素。 正交試驗設計基本特點正交試驗設計基本特點：用部分試驗來代替全面試：用部分試驗來代替全面試 驗，通過對部分試驗結果的分析了解全面試驗。驗，通過對部分試驗結果的分析了解全面試驗。1.2正交試驗設計的基本原理正交試驗設計的基本原理 eg1: eg1: 考

2、察考察增稠劑用量增稠劑用量、pHpH值值和和殺菌溫度殺菌溫度對豆奶穩(wěn)定對豆奶穩(wěn)定性的影響。每個因素設置性的影響。每個因素設置3 3個水平進行試驗。個水平進行試驗。分析分析: : 增稠劑用量定為增稠劑用量定為A A因素因素，設，設5%5%、10%10%、15%( A15%( A1 1 A A2 2、A A3 3) 3) 3水平；水平； pHpH值定為值定為B B因素因素，設，設4.04.0、4.54.5、5.05.0（B B1 1、B B2 2、 B B3 3）3 3個水平；個水平； 殺菌溫度定為殺菌溫度定為C C因素因素，設，設5050、60 60 、70 70 （C C1 1、C C2 2、

3、C C3 3 ）3 3個水平。個水平。 如上例中，如上例中，3個因素的選優(yōu)區(qū)可以用一個立方體個因素的選優(yōu)區(qū)可以用一個立方體表示（圖表示（圖1），），3個因素各取個因素各取 3個水平，把立方體劃分個水平，把立方體劃分成成27個格點，反映在個格點，反映在 圖圖1上就是立方體內(nèi)的上就是立方體內(nèi)的27個個“.”。若若27個網(wǎng)格點都試驗，就是全面試驗，其試驗方案如個網(wǎng)格點都試驗，就是全面試驗，其試驗方案如表表1所示。所示。 圖圖13因素因素3水平全面試驗的立體圖水平全面試驗的立體圖全面試驗全面試驗各因素的水平之間全部可能組合有各因素的水平之間全部可能組合有27種。種。 正交設計正交設計就是從全面試驗水平

4、組合中挑選出有代就是從全面試驗水平組合中挑選出有代表性的部分試驗水平組合來進行試驗。圖表性的部分試驗水平組合來進行試驗。圖2 2中標有試驗中標有試驗號的九個號的九個“( ()”)”，就是利用，就是利用正交表正交表L L9 9(3(34 4) )從從2727個試個試驗點中挑選出來的驗點中挑選出來的9 9個試驗點。即：個試驗點。即： (1) A(1) A1 1B B1 1C C1 1 (2) A (2) A1 1B B2 2C C2 2 (3) A (3) A1 1B B3 3C C3 3 (4) A (4) A2 2B B1 1C C2 2 (5) A (5) A2 2B B2 2C C3 3

5、(6) A (6) A2 2B B3 3C C1 1 (7) A (7) A3 3B B1 1C C3 3 (8) A (8) A3 3B B2 2C C1 1 (9) A (9) A3 3B B3 3C C2 2 上述選擇，保證了上述選擇，保證了A A因素的每個水平與因素的每個水平與B B因素、因素、C C因素的各因素的各 個水平在試驗中各搭配一次個水平在試驗中各搭配一次 。對于。對于A A、B B、C 3C 3個因素來個因素來 說，是在說，是在2727個全面試驗點中選擇個全面試驗點中選擇9 9個試驗點，僅是全面試個試驗點，僅是全面試 驗的三分之一。驗的三分之一。 從圖從圖1 1中可以看到，

6、中可以看到，9 9個試驗點在選優(yōu)區(qū)中分布是均衡的，個試驗點在選優(yōu)區(qū)中分布是均衡的， 在立方體的每個平面上，都恰有在立方體的每個平面上，都恰有3 3個試驗點；在立方體的個試驗點；在立方體的 每條線上也恰有一個試驗點。每條線上也恰有一個試驗點。 9 9個試驗點均衡地分布于整個立方體內(nèi)，有很強的代表性，個試驗點均衡地分布于整個立方體內(nèi)，有很強的代表性， 能夠比較全面地反映選優(yōu)區(qū)內(nèi)的基本情況。能夠比較全面地反映選優(yōu)區(qū)內(nèi)的基本情況。 1.3 1.3 正交表及其基本性質(zhì)正交表及其基本性質(zhì)1.3.1 1.3.1 正交表正交表 (Latin(Latin方方) ) 表表2 2是一張正交表，記號為是一張正交表，記

7、號為L L8 8(2(27 7) )，其中，其中“L L”代表正交表；代表正交表；L L右下角的數(shù)字右下角的數(shù)字“8”8”表示有表示有8 8行，用這張行，用這張正交表安排試驗包含正交表安排試驗包含8 8個處理個處理( (水平組合水平組合) )；括號內(nèi)的底；括號內(nèi)的底數(shù)數(shù)“2” 2” 表示因素的水平數(shù)，括號內(nèi)表示因素的水平數(shù)，括號內(nèi)2 2的指數(shù)的指數(shù)“7”7”表表示有示有7 7列列 ，用這張正交表最多可以安排，用這張正交表最多可以安排7 7個個2 2水平因素。水平因素。 L為正交表符號（為正交表符號（Latin)，n為試驗次數(shù)，即正交為試驗次數(shù)，即正交表表行數(shù)，行數(shù)，t為因素的水平數(shù)，即為因素的

8、水平數(shù)，即1列中出現(xiàn)的不同數(shù)字列中出現(xiàn)的不同數(shù)字的個數(shù)，的個數(shù)，q為最多能安排的因素數(shù)，即正交表的列數(shù)。為最多能安排的因素數(shù)，即正交表的列數(shù)。 常用的正交表已由數(shù)學工作者制定出來，供常用的正交表已由數(shù)學工作者制定出來，供進行正交設計時選用。進行正交設計時選用。2水平正交表除水平正交表除L8(27)外，外，還有還有L4(23)、L16(215)等；等；3水平正交表有水平正交表有L9(34)、L27(313) 等等解答：解答：3因素，因素，3水平水平查附表查附表17的（的（4）和（）和（5），有兩個正交表），有兩個正交表L9（34）和）和L27（313），最終選擇），最終選擇L9（34）1.3.2

9、 正交表的基本性質(zhì)正交表的基本性質(zhì) 1.3.2.1 正交性正交性 （1）任一列中，各水平都出現(xiàn)，且出現(xiàn)的次數(shù)相等任一列中，各水平都出現(xiàn)，且出現(xiàn)的次數(shù)相等 例如例如L8(27)中不同數(shù)字只有中不同數(shù)字只有1和和2，它們各出現(xiàn)，它們各出現(xiàn)4次；次；L9(34)中不同數(shù)字有中不同數(shù)字有1、2和和3，它們各出現(xiàn)，它們各出現(xiàn)3次次。（2 2）任兩列之間各種不同水平的所有可能組合都出現(xiàn)，且對出）任兩列之間各種不同水平的所有可能組合都出現(xiàn)，且對出現(xiàn)的次數(shù)相等?，F(xiàn)的次數(shù)相等。 例如例如 L L8 8(2(27 7) )中中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)(1, 1), (1, 2)

10、, (2, 1), (2, 2)各出現(xiàn)兩各出現(xiàn)兩次；次；L L9 9(3(34 4) ) 中中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)(2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出現(xiàn)各出現(xiàn)1 1次。即每個因素的次。即每個因素的一個水平與另一因素的各個水平所有可能組合次數(shù)相等，表明一個水平與另一因素的各個水平所有可能組合次數(shù)相等，表明任意兩列各個數(shù)字之間的搭配是均勻的。任意兩列各個數(shù)字之間的搭配是均

11、勻的。 根據(jù)以上特性，我們用正交表安排的試根據(jù)以上特性，我們用正交表安排的試驗，具有驗，具有均衡分散均衡分散和和整齊可比整齊可比的特點。的特點。 1.4 1.4 正交表的類別正交表的類別 1、等等水平正交表水平正交表 各列水平數(shù)相同的正交表各列水平數(shù)相同的正交表稱為等水平正交表。如稱為等水平正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等等各列中的水平為各列中的水平為2，稱為，稱為2水平正交表；水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列水平為等各列水平為3，稱為，稱為3水平正交表。水平正交表。 2、混合水平正交表混合水平正交表 各列水平數(shù)不完全相同各列水平數(shù)不完全相同的正交表稱為

12、混合水平正交表。如的正交表稱為混合水平正交表。如L8(424)表中有表中有一列的水平數(shù)為一列的水平數(shù)為4，有，有4列水平數(shù)為列水平數(shù)為2。也就是說該表。也就是說該表可以安排一個可以安排一個4水平因素和水平因素和4個個2水平因素。再如水平因素。再如L16(4423)，L16(4212)等都混合水平正交表。等都混合水平正交表。試驗結果方差分析試驗結果方差分析列方差分析表，列方差分析表，進行進行F F 檢驗檢驗計算各列偏差平方和、計算各列偏差平方和、自由度自由度分析檢驗結果，分析檢驗結果，寫出結論寫出結論et2：為提高山楂原料的利用率，研究酶法液化工藝：為提高山楂原料的利用率，研究酶法液化工藝 制造

13、山楂原汁，擬通過正交試驗來尋找酶法液制造山楂原汁，擬通過正交試驗來尋找酶法液 化的最佳工藝條件?；淖罴压に嚄l件。選因素選因素:根據(jù)專業(yè)知識、以往的研究結論和經(jīng)驗，從影響試驗指根據(jù)專業(yè)知識、以往的研究結論和經(jīng)驗，從影響試驗指標的諸多因素中，通過因果分析篩選出需要考察的試驗因素。一標的諸多因素中，通過因果分析篩選出需要考察的試驗因素。一般確定試驗因素時，應以對試驗指標影響大的因素、尚未考察過般確定試驗因素時，應以對試驗指標影響大的因素、尚未考察過的因素、尚未完全掌握其規(guī)律的因素為先。的因素、尚未完全掌握其規(guī)律的因素為先。定水平定水平:試驗因素選定后，根據(jù)所掌握的信息資料和相關知識，試驗因素選定后

14、，根據(jù)所掌握的信息資料和相關知識，確定每個因素的水平，一般以確定每個因素的水平，一般以2-42-4個水平為宜。對主要考察的試個水平為宜。對主要考察的試驗因素，可以多取水平，但不宜過多（驗因素，可以多取水平，但不宜過多（66），否則試驗次數(shù)驟），否則試驗次數(shù)驟增。因素的水平間距，應根據(jù)專業(yè)知識和已有的資料，盡可能把增。因素的水平間距，應根據(jù)專業(yè)知識和已有的資料，盡可能把水平值取在理想?yún)^(qū)域。水平值取在理想?yún)^(qū)域。（2） 選因素、定水平，列因素水平表選因素、定水平，列因素水平表 水平試驗因素加水量（mL/100g）A加酶量（mL/100g）B酶解溫度（）C酶解時間（h）D1101201.5250435

15、2.53907503.5 一般情況下，試驗因素的水平數(shù)應等于正交一般情況下，試驗因素的水平數(shù)應等于正交表中的水平數(shù)；因素個數(shù)（包括交互作用）應不表中的水平數(shù)；因素個數(shù)（包括交互作用）應不大于正交表的列數(shù)。大于正交表的列數(shù)。 此例有此例有4 4個個3 3水平因素，可以選用水平因素，可以選用L L9 9(3(34 4) )或或L L2727(3(31313) ) ；因本試驗僅考察四個因素對液化率的；因本試驗僅考察四個因素對液化率的影響效果，不考察因素間的交互作用，故宜選用影響效果，不考察因素間的交互作用，故宜選用L L9 9（3 34 4）正交表。）正交表。 把正交表中安排各因素的列中的每個水把正

16、交表中安排各因素的列中的每個水平數(shù)字換成該因素的實際水平值，便形成了正平數(shù)字換成該因素的實際水平值，便形成了正交試驗方案（表交試驗方案（表5 5）。）。試驗號因 素ABCD111112122231333421235223162312731328321393321試驗結果（液化率 %）01724124728118422.2 2.2 試驗結果分析試驗結果分析- - 分清各因素及其交互作用的主次順序，分清哪個是主要因素，分清各因素及其交互作用的主次順序，分清哪個是主要因素，哪個是次要因素；哪個是次要因素； 判斷因素對試驗指標影響的顯著程度；判斷因素對試驗指標影響的顯著程度； 找出試驗因素的優(yōu)水平和試

17、驗范圍內(nèi)的最優(yōu)組合，即試驗因找出試驗因素的優(yōu)水平和試驗范圍內(nèi)的最優(yōu)組合，即試驗因素各取什么水平時，試驗指標最好；素各取什么水平時，試驗指標最好； 分析因素與試驗指標之間的關系，即當因素變化時，試驗指分析因素與試驗指標之間的關系，即當因素變化時，試驗指標是如何變化的。找出指標隨因素變化的規(guī)律和趨勢，為進標是如何變化的。找出指標隨因素變化的規(guī)律和趨勢，為進一步試驗指明方向；一步試驗指明方向； 了解各因素之間的交互作用情況；了解各因素之間的交互作用情況； 估計試驗誤差的大小。估計試驗誤差的大小。Kjm為第為第j列因素列因素m水平所對應的試驗指標和，水平所對應的試驗指標和，kjm為為Kjm平均值。由平

18、均值。由kjm大小可以判斷第大小可以判斷第j列因素優(yōu)水平列因素優(yōu)水平和優(yōu)組合。和優(yōu)組合。Rj為第為第j列因素的列因素的kjm的極差，反映了第的極差，反映了第j列因素水平列因素水平波動時，試驗指標的變動幅度。波動時，試驗指標的變動幅度。Rj越大，說明該越大，說明該因素對試驗指標的影響越大。根據(jù)因素對試驗指標的影響越大。根據(jù)Rj大小，可以大小，可以判斷因素的主次順序。判斷因素的主次順序。試驗號因 素ABCD111112122231333421235223162312731328321393321試驗結果（液化率 %）0172412472811842極差分析法簡單明了，計算工作量少便于推廣普極差分析

19、法簡單明了，計算工作量少便于推廣普及，但不能區(qū)分因素各水平間對應的試驗結果的差異及，但不能區(qū)分因素各水平間對應的試驗結果的差異究竟是由于因素水平不同引起的，還是由于試驗誤差究竟是由于因素水平不同引起的，還是由于試驗誤差引起的，無法估計試驗誤差的大小。此外，各因素對引起的，無法估計試驗誤差的大小。此外，各因素對試驗結果的影響大小無法給以精確的數(shù)量估計，不能試驗結果的影響大小無法給以精確的數(shù)量估計，不能提出一個標準來判斷所考察因素作用是否顯著。為了提出一個標準來判斷所考察因素作用是否顯著。為了彌補極差分析的缺陷，可采用彌補極差分析的缺陷，可采用方差分析方差分析。2.3 正交試驗結果的方差分析正交試

20、驗結果的方差分析 方差分析：將數(shù)據(jù)的總變異分解成方差分析：將數(shù)據(jù)的總變異分解成因素引起的因素引起的變異變異和和誤差引起的變異誤差引起的變異兩部分，構造兩部分，構造F統(tǒng)計量統(tǒng)計量，作，作F檢驗，即可判斷因素作用是否檢驗，即可判斷因素作用是否顯著顯著。空列（誤差）因素SSSSSST空列（誤列（因素Tdfdfdf誤差誤差誤差因素因素因素dfSSMSdfSSMS ，誤差因素因素MSMSF誤差因素因素MSMSF處理處理號號 第第1 1列（列（A A） 第第2 2列列 第第3 3列列 第第4 4列列 試驗結果試驗結果yiyi1 11 11 11 11 1y1y12 21 12 22 22 2y2y23 3

21、1 13 33 33 3y3y34 42 21 12 23 3y4y45 52 22 23 31 1y5y56 62 23 31 12 2y6y67 73 31 13 32 2y7y78 83 32 21 13 3y8y89 93 33 32 21 1y9y9因素因素重復重復1 1重復重復2 2重復重復3 3A A1 1y1y1y2y2y3y3A A2 2y4y4y5y5y6y6A A3 3y7y7y8y8y9y9和y1+y2+y3K K1 1y4+y5+y6K K2 2y7+y8+y9K K3 3表頭設計表頭設計A AB B試驗數(shù)據(jù)試驗數(shù)據(jù)列號列號1 12 2k kx xi ix xi i2

22、 2試驗號試驗號1 11 1x x1 1x x1 12 22 21 1x x2 2x x2 22 2n nm mx xn nx xn n2 2K K1j1jK K1111K K1212K K1k1kK K2j2jK K2121K K2222K K2k2kK KmjmjK Km1m1K Km2m2K KmkmkK K1j1j2 2K K11112 2K K12122 2K K1k1k2 2K K2j2j2 2K K21212 2K K22222 2K K2k2k2 2K Kmjmj2 2K Km1m12 2K Km2m22 2K Kmkmk2 2SSSSj jSSSS1 1SSSS2 2SSSS

23、k kCTQSSr1QCTQSSxQnT CTxTjjijTTniiT2niim12ij121K nxxSSn1i2in1i2iT）（），（）（k.21j nxKr1SSn1i2im1i2ijj），（）（k.21j K-K n1SS22j1jjn-1dfT為因素水平個數(shù)，m j1mdf均勻試驗設計均勻試驗設計正交設計正交設計: 可使試驗點可使試驗點“均勻分散、整齊可比均勻分散、整齊可比”。 為保證為保證“整齊可比性整齊可比性”，使試驗設計的均勻性受到，使試驗設計的均勻性受到一一 定限制，使試驗點的代表性還不夠強，試驗次數(shù)不能充定限制，使試驗點的代表性還不夠強，試驗次數(shù)不能充 分地少。分地少。均

24、勻設計均勻設計:可以用較少的試驗次數(shù)，安排多因素、多水平的析可以用較少的試驗次數(shù)，安排多因素、多水平的析因試因試驗，是在驗，是在均均勻性勻性的度量下的度量下最好最好的析因試驗設計方法。的析因試驗設計方法?？梢允乖囼烖c在試驗范圍內(nèi)充分地可以使試驗點在試驗范圍內(nèi)充分地均勻分散均勻分散，不僅可大，不僅可大大減少試驗點，而且仍能得到反映試驗體系主要特征的試驗大減少試驗點，而且仍能得到反映試驗體系主要特征的試驗結果。結果。 下面通過下面通過制藥工業(yè)中的一個實例制藥工業(yè)中的一個實例來說來說明均勻試驗設計方法。明均勻試驗設計方法。例例1.11.1 ：阿魏酸的制備根據(jù)試驗目的，確定以根據(jù)試驗目的，確定以阿魏酸

25、產(chǎn)量阿魏酸產(chǎn)量作為試驗作為試驗指標指標Y Y。 阿魏酸是某些藥品的主要成分，在制阿魏酸是某些藥品的主要成分，在制備過程中，我們想提高阿魏酸產(chǎn)量。備過程中，我們想提高阿魏酸產(chǎn)量。全面交叉試驗要全面交叉試驗要N=73=343次，太多了。次，太多了。建議使用均勻設計。查閱均勻設計表。建議使用均勻設計。查閱均勻設計表。如何安排試驗如何安排試驗?經(jīng)過資料查閱，分析研究后經(jīng)過資料查閱，分析研究后1.選出影響阿魏酸產(chǎn)量的試驗因素選出影響阿魏酸產(chǎn)量的試驗因素2.確定試驗因素為：確定試驗因素為：原料配比：原料配比：1.0-3.4吡啶總量：吡啶總量：10-28反應時間：反應時間：0.5-3.53.確定每個因素相應

26、的水平數(shù)為確定每個因素相應的水平數(shù)為7。第第1步：步： 列出試驗因素水平表列出試驗因素水平表表表 1 試驗因素水平表試驗因素水平表第第2步步: : 選擇相應的均勻設計表選擇相應的均勻設計表均勻設計表格式見下，其含義為：均勻設計表格式見下，其含義為：uniformity(U)Un(qs)均勻設計試驗總次數(shù)因素水平數(shù)因素個數(shù)例如:)7(47U)9(49U表表 2:表表 3: 每個均勻設計表都有一個每個均勻設計表都有一個使用表使用表，它將建議我們?nèi)绾芜x，它將建議我們?nèi)绾芜x擇適當?shù)牧邪才旁囼炓蛩?，進行試驗設計，這樣可以減少擇適當?shù)牧邪才旁囼炓蛩?，進行試驗設計，這樣可以減少“試驗偏差試驗偏差”。其中。其

27、中偏差偏差為均勻性的度量值，數(shù)值小的設為均勻性的度量值，數(shù)值小的設計表示均勻性好。例如計表示均勻性好。例如 U7 (74)的使用表為：的使用表為：因素數(shù)列號偏差21, 30.239831, 2, 30.372141, 2, 3, 40.4760No.123411236224653362444153553126654177777No.1231123224633624415553166547777)47(7U表表 1.1.4:表表1.1.2:第第3步步: 應用選擇的 UD-表安排試驗，設計試驗方案No.12311232246336244155531665477771. 將 x1, x2和 x3放入均勻設計表的1,和3列；x1 x2 x3 2用x1的個水平（值）替代第一列的1到 7；1.01.41.82.22.63.03.43. 對第二列，第三列做同樣的替代；13 1.519 3.025 1.010 2.516 0.522 2.028 3.54. 按設計的方案進行試驗，得到個結果，將其放入最后一列。y0.3300.3660.2940.4760.2090.4510.482表表 1.1.5: 試驗方