2.1冪級數(shù)性質(zhì)ppt課件

1、12.4.2 冪級數(shù)性質(zhì)冪級數(shù)性質(zhì) 冪級數(shù)不僅形式簡單冪級數(shù)不僅形式簡單, 而且具有優(yōu)良的分析性質(zhì)而且具有優(yōu)良的分析性質(zhì).通過本節(jié)學(xué)習(xí)通過本節(jié)學(xué)習(xí), 要求做到：要求做到： 2. 會用冪級數(shù)的性質(zhì)求和函數(shù)會用冪級數(shù)的性質(zhì)求和函數(shù).1.理解冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì)理解冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì);定理定理1 設(shè)設(shè)nnnxa0nnnxb0則對則對12min,rrr,)(0nnnnxba用級數(shù)和的定義用級數(shù)和的定義-部分和的極限可以證明部分和的極限可以證明:0nnna xnnnxa0(1)nnnnnnxbxa00(2)一、冪級數(shù)的線性運(yùn)算性質(zhì)一、冪級數(shù)的線性運(yùn)算性質(zhì) 11( ),(, ),s xxr

2、r 22( ),(, ),xxr r 及任意常數(shù)及任意常數(shù) , 有有:( )( ),( , ).s xxxr r 11( ),(, ),s xxr r (常數(shù)因子可以提出常數(shù)因子可以提出) (級數(shù)相加可合并系數(shù)級數(shù)相加可合并系數(shù)) 0( )()nnns xa x,11nnnxan(, )xr r 000( )ddxxnnns xxaxx,110nnnxna那么那么評注評注 1) 上述運(yùn)算不改變收斂半徑上述運(yùn)算不改變收斂半徑, 故可在收斂區(qū)間上反復(fù)故可在收斂區(qū)間上反復(fù)進(jìn)行進(jìn)行; 二、和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)二、和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)(, )r r(1) s(x)在在 上連續(xù)上連續(xù):(, )r r(2)

3、 s(x)在在 上可導(dǎo)上可導(dǎo), 且可逐項求導(dǎo)：且可逐項求導(dǎo)：(, )r r(3) s(x)在在 上可積上可積, 且可逐項積分：且可逐項積分：(, )xr r 2) 運(yùn)算未涉及收斂區(qū)間的端點(diǎn)運(yùn)算未涉及收斂區(qū)間的端點(diǎn), 故結(jié)果級數(shù)的收斂域仍需討論故結(jié)果級數(shù)的收斂域仍需討論.0( ),(, )nnna xs xxr r ，定理定理2 設(shè)設(shè) 000000lim( ),( , );nnnnxxnna xa xs xxr r 3)應(yīng)用應(yīng)用-給出了冪級數(shù)求和函數(shù)的主要方法給出了冪級數(shù)求和函數(shù)的主要方法根據(jù)微分和積分的關(guān)系根據(jù)微分和積分的關(guān)系, 借助幾何級數(shù)的求和結(jié)果借助幾何級數(shù)的求和結(jié)果, 有公式有公式:

4、0( )( )xs x dxs x或或 0( )(0)( )xs xss x dx例例1 求下列級數(shù)的和函數(shù)求下列級數(shù)的和函數(shù) 11;nnx10.1nxn解解 此處的收斂半徑此處的收斂半徑 r = 1. 1211(),1(1)nxnxxx( 1,1).x 在端點(diǎn)在端點(diǎn)1x 處處, ( (在收斂區(qū)間求出和函數(shù)在收斂區(qū)間求出和函數(shù), , 和函數(shù)定義域即級數(shù)收斂域和函數(shù)定義域即級數(shù)收斂域) ) 1100111xxnnnnxnxdxx( 1,1),x 對對,1xx原級數(shù)顯然發(fā)散原級數(shù)顯然發(fā)散, 和函數(shù)也無定義和函數(shù)也無定義. 1001ln(1),11 nxxdxxnx.110001()(),111nn

5、nxxxnnx解解 此處此處 r = 1, 而在而在x =1處處, 函數(shù)無定義函數(shù)無定義.11001( 1)11nnxnn收斂收斂,故故 ( 1,1),x 對對 注意到端點(diǎn)注意到端點(diǎn) 1x 處處,ln(1) x且函數(shù)且函數(shù) 有意義有意義;10ln(1),1nxxn 1.1). x例例2 對下列級數(shù)求和：對下列級數(shù)求和：解解 由上例由上例1 可知：可知：0( )1nnxs xn)1ln(1xx故故0111nnnxx 1,0)(0,1).x 0,1nnxn01.(1)2nnn0,x 由于此處由于此處 0( )1nnxs xn1ln(1),xx 1,2x 在在中取中取即得即得0112ln2ln2.(

6、1)22nnn 注注 和函數(shù)為數(shù)項級數(shù)求和提供了另類重要途徑和函數(shù)為數(shù)項級數(shù)求和提供了另類重要途徑.如如:解解 由例由例2 知知, 該級數(shù)的收斂半徑該級數(shù)的收斂半徑 r+.例例3 0!nnnx求冪級數(shù)0( ),!nnxs xnx- +可得可得11( )(1)!nnxs xn0!kkkx( ),s xx- +解此一階微分方程解此一階微分方程(分離變量分離變量, 積分求解積分求解):( ),xs xCe(0)1( ),xss xe由得的和函數(shù)的和函數(shù) .設(shè)設(shè)亦即亦即0,!nxnxen.xdssdx1111;nnnnx（） 21111.21nnnxn（） 例例4 求和函數(shù)求和函數(shù) 提示提示 這里半徑

7、等于這里半徑等于1;1;先積分化為幾何級數(shù)先積分化為幾何級數(shù), ,21( ), ( 1,1).(1)s xxx后求導(dǎo)即得和函數(shù)后求導(dǎo)即得和函數(shù)提示提示 這里這里r =1;r =1;先求導(dǎo)化為幾何級數(shù)先求導(dǎo)化為幾何級數(shù), ,( )arctan , ( 1,1).s xxx x后積分即得和函數(shù)后積分即得和函數(shù)1(1),nnn nx提示提示 取級數(shù)取級數(shù)則有則有 r = 1, 1( )(1)nns xn nx由于由于11()nnxx2()1xxx32,(1)xx1(1)2nnn n1( )8.2s所以所以 (互動練習(xí)互動練習(xí))例例5 對對 1(1)2nnn n求和求和 (互動練習(xí)互動練習(xí))在收斂區(qū)間

8、在收斂區(qū)間(-1,1)上上:注注 根據(jù)需要根據(jù)需要, 求和函數(shù)時可以多次應(yīng)用級數(shù)的分析性質(zhì)求和函數(shù)時可以多次應(yīng)用級數(shù)的分析性質(zhì). 答答不一定不一定.例如例如, 對對,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf計算可知計算可知: 它們的收斂半徑都是它們的收斂半徑都是1,但收斂域卻分別是但收斂域卻分別是:)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 三、有關(guān)分析性質(zhì)的問題與思考三、有關(guān)分析性質(zhì)的問題與思考1.冪級數(shù)的連續(xù)性、逐項積分均保持其收斂域不變冪級數(shù)的連續(xù)性、逐項積分均保持其收斂域不變,那么逐項求導(dǎo)后那么逐項求導(dǎo)后, 其收斂域是否也不變？其收斂域是否也不變？逐

9、項求導(dǎo)逐項求導(dǎo), 得到得到: 2. 在冪級數(shù)在冪級數(shù)nnnnx02) 1(2中中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 為奇數(shù)為奇數(shù),23n 為偶數(shù)為偶數(shù),61能否確定它的收斂半徑不存在能否確定它的收斂半徑不存在 ?答答 不能不能. 因為因為nnnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x當(dāng)當(dāng)2x時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂 ,2x時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散 ,2.r 原因原因 可以證明可以證明比值判別法成立比值判別法成立根值判別法成立根值判別法成立. 3.和函數(shù)已知的常用冪級數(shù)有：和函數(shù)已知的常用冪級數(shù)有：;11)1(0 xxnn ;11)1()2(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;!)4(0 xnnenx )