13.3移動(dòng)平均過(guò)程MAppt課件

1、13.3 移動(dòng)平均過(guò)程移動(dòng)平均過(guò)程MA(q)一、移動(dòng)平均過(guò)程的概念一、移動(dòng)平均過(guò)程的概念設(shè)有無(wú)窮自回歸過(guò)程設(shè)有無(wú)窮自回歸過(guò)程uyyyyttttt33221(13.3.1) 其中ut為白噪聲，1。(13.3.1)的滯后算符形式(1+ L +2L2 +3L3 + ) yt = ut (13.3.2)由于 (1+ L +2L2 +3L3 +)-1 = 1- L (13.3.3)所以，(13.3.2)可以改寫(xiě)成 (13.3.4)1tttyuu由(13.3.4)可以看出yt可以表示成兩個(gè)白噪聲的加權(quán)和。我們把由白噪聲序列各元素的加權(quán)和表示的隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)為移動(dòng)平均過(guò)程，過(guò)程中參數(shù)的數(shù)目稱(chēng)為移動(dòng)平均過(guò)程的階。

2、q階移動(dòng)平均(Moving Average)過(guò)程簡(jiǎn)記為MA(q)。它的形式是 (13.3.5)uuuuyqtqtttt2211或?qū)懗筛话愕男问剑?(13.3.5)顯然,( 13.3.4)便是一階移動(dòng)平均過(guò)程MA(1)，而且它可以由無(wú)窮自回歸過(guò)程(13.3.1)轉(zhuǎn)換而成。二、移動(dòng)平均過(guò)程的可轉(zhuǎn)換條件二、移動(dòng)平均過(guò)程的可轉(zhuǎn)換條件在在13.2中，我們已經(jīng)知道，自回歸過(guò)程滿(mǎn)足平穩(wěn)條中，我們已經(jīng)知道，自回歸過(guò)程滿(mǎn)足平穩(wěn)條件時(shí)，有限階自回歸過(guò)程件時(shí)，有限階自回歸過(guò)程(13.2.2)可以轉(zhuǎn)化為無(wú)窮階移可以轉(zhuǎn)化為無(wú)窮階移動(dòng)平均過(guò)程動(dòng)平均過(guò)程(13.2.10)，即表示成白噪聲序列各元素的，即表示成白噪聲序列各

3、元素的線(xiàn)性組合。線(xiàn)性組合。uuuuyqtqtttt2211那么,移動(dòng)平均過(guò)程是否能轉(zhuǎn)換為自回歸過(guò)程?應(yīng)該說(shuō)，在一定條件下是可以轉(zhuǎn)換的。為此我們把(13.3.5)改寫(xiě)成 (13.3.6) 引進(jìn)算符多項(xiàng)式： (13.3.7) 稱(chēng)為q 階移動(dòng)平均算符。利用(13.3.7)可將(13.3.6)表示為 (10.3.8) uLLLytqqt)1 (221LLLLqqq2211)()(LquLyttq)(或 (13.3.9) 假設(shè) 收斂，那么(13.3.9)式表示移動(dòng)平均過(guò)程可以表示成自回歸過(guò)程。與自回歸過(guò)程討論類(lèi)似， 收斂的充要條件是 的特征方程：01)(221zzzzqqq(13.3.10) 的所有的根

4、的模大于1即z1，也就是這些根都在復(fù)單位圓的外面。這個(gè)條件稱(chēng)為移動(dòng)平均過(guò)程的可轉(zhuǎn)換條件。滿(mǎn)足這個(gè)條件的移動(dòng)平均過(guò)程稱(chēng)為可逆的(Invertible)。yLutqt)(1yLtq)(1)(1Lq)(Lq今后如果沒(méi)有特別聲明，我們總是假定所有移動(dòng)平均過(guò)程都是可逆。這個(gè)結(jié)論的直接應(yīng)用是，我們可以將階數(shù)很高的自回歸過(guò)程近似地用階數(shù)較低的移動(dòng)平均過(guò)程來(lái)代替，而將階數(shù)很高的移動(dòng)平均過(guò)程近似地用階數(shù)較低的自回歸過(guò)程來(lái)代替，從而實(shí)現(xiàn)用盡可能少的參數(shù)來(lái)構(gòu)造隨機(jī)過(guò)程模型的目的。三、移動(dòng)平均過(guò)程階數(shù)的確定三、移動(dòng)平均過(guò)程階數(shù)的確定對(duì)于給定的樣本，怎樣為生成移動(dòng)平均過(guò)程確定合對(duì)于給定的樣本，怎樣為生成移動(dòng)平均過(guò)程確定

5、合適的階數(shù)適的階數(shù)?為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們首先來(lái)研究反映為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們首先來(lái)研究反映移動(dòng)平均過(guò)程特征的自相關(guān)函數(shù)。移動(dòng)平均過(guò)程特征的自相關(guān)函數(shù)。(一一)自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)為了討論方便，我們先研究為了討論方便，我們先研究MA(1)過(guò)程過(guò)程11tttyuu(13.3.11) 因?yàn)閡t和ut-1是白噪聲，所以，它的期望值為 (13.3.12) 110tttE yE uE u方差為 )1 ()(2)()()()(21222121121212112uuutttttttuuEuEuEuuEYV(13.3.13)協(xié)方差 111121111111222121, 0 10 tt kttt kt ktt

6、 ktt ktt ktt kuuuCOV y yEuuuuE u uE u uE u uE u ukk 2,3,k(13.3.14) 以上討論表明(13.3.11)是平穩(wěn)的。由于 不依賴(lài)時(shí)間t，而只依賴(lài)k，所以可以用 表示。于是，自相關(guān)函數(shù)為,tt kCOV y ykr, 3 , 20112110kkrrkk(13.3.15) (13.3.15)式表明MA(1)只有1期記憶，即當(dāng)k1時(shí) =0。 k對(duì)MA(q)模型： 1122 kqttttkt kqt qyuuuuu(13.3.16) 與MA(1)的推導(dǎo)過(guò)程類(lèi)似，可得結(jié)果： 222011uqr (13.3.17) 21122kukkkq kqr

7、 (k =1，2，q) (13.3.18)于是 qkqkkqqkqkkkk0, 2 , 11012212211(13.3.19) 對(duì)平穩(wěn)過(guò)程，方差 必須有限，因此要求 ，對(duì)無(wú)窮階移動(dòng)平均過(guò)程要求 。這意味著 的絕對(duì)值必須隨q的增大而減少。 0tV yr)1 (221q)1 (2221q由(13.3.19)試算可以看出，MA(q)的 也將隨k的增大而減少，與自回歸過(guò)程不同的是當(dāng) kq時(shí)，k = 0。這表明MA(q)只有q期記憶，即當(dāng)kq時(shí)，k = 0。k(二二)階數(shù)的確定階數(shù)的確定MA(q)只有只有q期記憶這一重要性質(zhì)，可以幫助我們對(duì)模期記憶這一重要性質(zhì)，可以幫助我們對(duì)模型進(jìn)行識(shí)別。型進(jìn)行識(shí)別。

8、假設(shè)時(shí)間序列樣本假設(shè)時(shí)間序列樣本 已經(jīng)給已經(jīng)給定，我們便可利用定，我們便可利用(13.1.14)公式：公式：12,ny yynttkntkttkyyy121(13.3.20) (這里的已經(jīng)中心化了，即 =0。)計(jì)算出各階自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值 ,然后對(duì)每一個(gè) (k =1，2，)進(jìn)行顯著檢驗(yàn)。可以證明，當(dāng)樣本容量很大時(shí)， 近似服從期望值為0，方差為 的正態(tài)分布。于是可以有與自回歸過(guò)程類(lèi)似的檢驗(yàn)方法：1.構(gòu)造95%的置信區(qū)間 y,21k1n22,nn2.計(jì)算樣本的各階自相關(guān)系數(shù) (k = 1，2，3，)。k3.調(diào)查 是否落在這一區(qū)間之內(nèi)。假設(shè) 的數(shù)值落在此區(qū)間之外，表明k顯著 (即k 0)，否則不顯著

9、(即k = 0)。若對(duì)k q時(shí)，k皆顯著，對(duì)kq時(shí)，k皆不顯著，則在0.05顯著水平下，產(chǎn)生樣本的移動(dòng)平均過(guò)程的階數(shù)確定為q。kk四、移動(dòng)平均過(guò)程的參數(shù)估計(jì)四、移動(dòng)平均過(guò)程的參數(shù)估計(jì)設(shè)有移動(dòng)平均過(guò)程設(shè)有移動(dòng)平均過(guò)程MA(q)1122 ttttqt qyuuuu(13.3.21) 估計(jì)參數(shù)的直觀想法是利用 與之間的關(guān)系k2222122111qqkqkkkk (k =1，2，q) (13.3.22) 將此式中的k用相應(yīng)的估計(jì)值代替，便得到關(guān)于的q個(gè)非線(xiàn)性代數(shù)方程，解這個(gè)非線(xiàn)性方程組便可得到q個(gè)的估計(jì)值。(這只是理論上的求解，實(shí)踐上我們可以利用EViews進(jìn)行計(jì)算）例例13.3.1：樣本調(diào)查資料如表

10、：樣本調(diào)查資料如表13.3.1表示。表示。 日期日期2-0.058140.06830.058150.59540.72916-0.21750.28017-1.02361.02718-0.22670.67019-0.26180.559200.3789-0.48221-0.12810-1.46222-1.00311-2.039231.19712-1.306242.064130.037tyty首先根據(jù)數(shù)據(jù)表13.3.1，計(jì)算樣本自相關(guān)系數(shù)，列表于表13.3.2。 樣本自相關(guān)系數(shù) 表13.3.2kk123450.4840.002-0.127-0.207-0.132對(duì)k進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，先構(gòu)造區(qū)間 22,0.417,0.4172323 (13.3.24) 與置信區(qū)間(13.3.24)進(jìn)行比較，如圖13.3.1所示：k圖13.3.1 自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值顯著性檢驗(yàn)可以看出，只需 = 0.484落在置信區(qū)間之外，其他 皆落在區(qū)間之內(nèi)，表明該樣本的移動(dòng)平均過(guò)程的階數(shù)為1，即選定MA(1)過(guò)程： (13.3.25)1k11tttyuu由于(1