2.1利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型ppt課件

1、6.4 6.4 利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型 應(yīng)用微分方程解實際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是列出方程，應(yīng)用微分方程解實際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是列出方程，其步驟如下：其步驟如下： 由幾何知識由幾何知識曲線上一點處的曲線上一點處的 切線斜率切線斜率K= y= tan1根據(jù)題意列方程根據(jù)題意列方程 由物理知識牛頓第二定律、由物理知識牛頓第二定律、基爾霍夫定律）基爾霍夫定律） 由題設(shè)由題設(shè)2. 2. 整理并求出方程的通解整理并求出方程的通解 3. 3. 由初始條件求出特解由初始條件求出特解 例例6.17 在某池塘內(nèi)養(yǎng)魚，該池塘最多能養(yǎng)魚在某池塘內(nèi)養(yǎng)魚，該池塘最多能養(yǎng)魚1000尾，尾，在時刻在時刻t,

2、魚數(shù)魚數(shù)y是時間是時間t的函數(shù)的函數(shù)y=y(t)，其變化率與魚數(shù)，其變化率與魚數(shù)y及及1000-y成正比。已知在池塘放養(yǎng)魚成正比。已知在池塘放養(yǎng)魚100尾，尾，3各月后各月后池塘內(nèi)有魚池塘內(nèi)有魚250尾，求放養(yǎng)尾，求放養(yǎng)t個月后，池塘內(nèi)魚數(shù)個月后，池塘內(nèi)魚數(shù)y(t)的的公式公式解解 依題意得依題意得為比例系數(shù)其中k,100)1000(0tyykydtdy分離變量分離變量得得kdtyydy )1000(兩邊積分得兩邊積分得kdtdyyy)100011(10001解得解得ktCeyy10001000將初始條件將初始條件1000ty代入上式，得代入上式，得91C再由再由2503ty得，得，33ln1

3、000 k放養(yǎng)放養(yǎng)t個月后，池塘內(nèi)魚數(shù)個月后，池塘內(nèi)魚數(shù)y(t)的公式為的公式為31313931000)(ty例例16 16 過曲線過曲線L L上任意一點上任意一點P(x,y)(x0,y0)P(x,y)(x0,y0)作作PQPQ垂直于垂直于x x軸，軸，PRPR垂直于垂直于y y軸，作曲線軸，作曲線L L的切線的切線PTPT交交x x軸于軸于T T點，要使矩形面積點，要使矩形面積OQPROQPR與三角形與三角形PTQPTQ有相同有相同的面積，求曲線的面積，求曲線L L的方程的方程解解 設(shè)曲線設(shè)曲線L的方程為的方程為y=y(x)，由于曲線，由于曲線L上任一上任一點點P(x,y)的切線都與的切線都

4、與x軸相交，因此函數(shù)軸相交，因此函數(shù)y(x)的導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)保持同一個符號數(shù)保持同一個符號因為因為S OQPR= xy當(dāng)當(dāng)y 0時，時，S PTQ= cot21yyyy1212xyyy1212xydxdy2. xCy 解得曲線解得曲線L的方程為的方程為當(dāng)當(dāng)y 0時，時，S PTQ= )cot(21 yyyy1212xyyy1212xydxdy2.xCy 解得曲線解得曲線L的方程為的方程為解解建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖例例17 17 單位質(zhì)量的物體由靜止?fàn)顟B(tài)下落，假設(shè)空氣阻單位質(zhì)量的物體由靜止?fàn)顟B(tài)下落，假設(shè)空氣阻力與物體下落速度的平方成正比比例系數(shù)為力與物體下落速度的平方成正比比例系數(shù)為 ， ）,

5、,求速度隨時間變化的規(guī)律求速度隨時間變化的規(guī)律. . k0kvo由牛頓第二定律由牛頓第二定律F= ma，21kvgdtdv初始條件 0)0(v解方程得通解 kgCevkgvkg2將初始條件 代入上式，得 .0) 0 ( v1Ckgevkgvkg2即 . ) 1() 1()(22tkgtkgeekgtv則有解解例例18 18 有一電路如圖所示有一電路如圖所示, ,其中電源電動勢其中電源電動勢( , ( , 為常量為常量),),電阻電阻 和電感和電感 為常量為常量, ,在在 時合上開關(guān)時合上開關(guān) , ,其時電流為零其時電流為零, ,求此電路中電流求此電路中電流與時間與時間 的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系. .tEEsin00ERL0tSit由電學(xué)知識,電感上的感應(yīng)電動勢為 ,有 LdtdiLdtdiLRiEtLEiLRdtdisin0即即初始條件 . 0)0(i解方程得通解 )cossin()(2220tLtRLRECetitLR將初