雙曲線的定義及其標準方程(1)

1、課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的應用問題會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的應用問題2.3.1 雙曲線及其標準方程雙曲線及其標準方程2.3雙曲線雙曲線【課標要求課標要求】【核心掃描核心掃描】用定義法、待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程用定義法、待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程(重點重點) )與雙曲線定義有關的應用問題與雙曲線定義有關的應用問題(難點難點)1212課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練雙

2、曲線的定義雙曲線的定義把平面內與兩個定點把平面內與兩個定點F1、F2的距離的的距離的_等于常等于常數(shù)數(shù)(小于小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線，這的點的軌跡叫做雙曲線，這_叫做叫做雙曲線的焦點，雙曲線的焦點， _叫做雙曲線的焦距叫做雙曲線的焦距試一試試一試：在雙曲線的定義中，必須要求在雙曲線的定義中，必須要求“常數(shù)小于常數(shù)小于|F1F2|”，那么，那么“常數(shù)等于常數(shù)等于|F1F2|”，“常數(shù)大于常數(shù)大于|F1F2|”或或“常數(shù)為常數(shù)為0”時，動點的軌跡是什么？時，動點的軌跡是什么？自學導引自學導引1差的絕對值差的絕對值兩個定點兩個定點兩焦點間的距離兩焦點間的距離課前探究學習課前探究學習課堂

3、講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練提示提示(1)若若“常數(shù)等于常數(shù)等于|F1F2|”時，此時動點的軌跡是以時，此時動點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線為端點的兩條射線F1A，F(xiàn)2B(包括端點包括端點)，如圖所示，如圖所示(2)若若“常數(shù)大于常數(shù)大于|F1F2|”，此時動點軌跡不存在，此時動點軌跡不存在(3)若若“常數(shù)為常數(shù)為0”，此時動點軌跡為線段，此時動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線的垂直平分線課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程焦點在焦點在x x軸上軸上焦點在焦點在y軸上軸上標準方程標準方程_(a0，b0)

4、_(a0，b0)焦點坐標焦點坐標F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的的關系關系c2_2a2b2課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練提示提示如果如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上，如果軸上，如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上對于雙曲線，軸上對于雙曲線，a不一不一定大于定大于b，因此，不能像橢圓那樣比較分母的大小來判定焦，因此，不能像橢圓那樣比較分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上點在哪一個坐標軸上課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)

5、范訓練對雙曲線定義的理解對雙曲線定義的理解(1)把定常數(shù)記為把定常數(shù)記為2a，當，當2a|F1F2|時，其軌跡不存在時，其軌跡不存在(2)距離的差要加絕對值，否則只為雙曲線的一支若距離的差要加絕對值，否則只為雙曲線的一支若F1、F2表示雙曲線的左、右焦點，且點表示雙曲線的左、右焦點，且點P滿足滿足|PF1|PF2|2a，則點，則點P在右支上；若點在右支上；若點P滿足滿足|PF2|PF1|2a，則點，則點P在左支上在左支上名師點睛名師點睛1課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練(4)理解雙曲線的定義要緊扣理解雙曲線的定義要緊扣“到兩定點距離之差的絕對值到兩定點距

6、離之差的絕對值為定值且小于兩定點的距離為定值且小于兩定點的距離”雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程(1)只有當雙曲線的兩焦點只有當雙曲線的兩焦點F1、F2在坐標軸上，并且線段在坐標軸上，并且線段F1F2的垂直平分線也是坐標軸時得到的方程才是雙曲線的的垂直平分線也是坐標軸時得到的方程才是雙曲線的標準方程標準方程(2)標準方程中的兩個參數(shù)標準方程中的兩個參數(shù)a和和b，確定了雙曲線的形狀和大，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里小，是雙曲線的定形條件，這里b2c2a2，與橢圓中，與橢圓中b2a2c2相區(qū)別，且橢圓中相區(qū)別，且橢圓中ab0，而雙曲線中，而雙曲線中a、b大小則不大小則不確定確

7、定2課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練(3)焦點焦點F1、F2的位置，是雙曲線定位的條件，它決定了雙的位置，是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標準方程的類型曲線標準方程的類型“焦點跟著正項走焦點跟著正項走”，若，若x2項的系數(shù)項的系數(shù)為正，則焦點在為正，則焦點在x軸上；若軸上；若y2項的系數(shù)為正，那么焦點在項的系數(shù)為正，那么焦點在y軸上軸上(4)用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時，如不能確定焦點用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時，如不能確定焦點的位置，可設雙曲線的標準方程為的位置，可設雙曲線的標準方程為Ax2By21(AB0)或或進行分類討論進行分類討論課前探

8、究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練題型一題型一求雙曲線的標準方程求雙曲線的標準方程【例例1】課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練規(guī)律方法規(guī)律方法 求雙曲線的標準方程與求橢圓的標準方程的方法相求雙曲線的標準方程與求橢圓的標準方程的方法相似，可以先根據(jù)其焦點位置設出標準方程的形式，然后用待定似，可以先根據(jù)其焦點位置設出

9、標準方程的形式，然后用待定系數(shù)法求出系數(shù)法求出a，b的值若焦點位置不確定，可按焦點在的值若焦點位置不確定，可按焦點在x軸和軸和y軸上兩種情況討論求解，此方法思路清晰，但過程復雜，注意軸上兩種情況討論求解，此方法思路清晰，但過程復雜，注意到雙曲線過兩定點，可設其方程為到雙曲線過兩定點，可設其方程為mx2ny21(mn0)，通過，通過解方程組即可確定解方程組即可確定m、n，避免了討論，實為一種好方法，避免了討論，實為一種好方法課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練求適合下列條件的雙曲線的標準方程：求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)a3，c4，焦點在，焦點在x

10、軸上；軸上；(2)焦點為焦點為(0，6)，(0，6)，經過點，經過點A(5，6)解解(1)由題設知，由題設知，a3，c4，由由c2a2b2得，得，b2c2a242327.【變式變式1】課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練(1)若雙曲線上一點若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距到它的一個焦點的距離等于離等于16，求點，求點M到另一個焦點的距離；到另一個焦點的距離；(2)若若P是雙曲線左支上的點，且是雙曲線左支上的點，且|PF1|PF2|32，試求，試求F1PF2的面積的面積題型題型二二雙曲線定義的應用雙曲線定義的應用【例例2】 思路探索思路探索 (1)由雙曲線的

11、定義得由雙曲線的定義得|MF1|MF2|2a，則點，則點M到另一焦點的距離易得；到另一焦點的距離易得；(2)結合已知條件及余弦定理即可求得面積結合已知條件及余弦定理即可求得面積課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練(1)由雙曲線的定義得由雙曲線的定義得|MF1|MF2|2a6，又雙曲線上，又雙曲線上一點一點M到它的一個焦點的距離等于到它的一個焦點的距離等于16，假設點，假設點M到另一個到另一個焦點的距離等于焦點的距離等于x，則，則|16x|6，解得，解得x10或或x22.故點故點M到另一個焦點的距離為到另一個焦點的距離為6 或或22.(2)將將|PF2|PF1

12、|2a6，兩邊平方得，兩邊平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在在F1PF2中，由余弦定理得中，由余弦定理得課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練規(guī)律方法規(guī)律方法 (1)求雙曲線上一點到某一焦點的距離時，若已求雙曲線上一點到某一焦點的距離時，若已知該點的橫、縱坐標，則根據(jù)兩點間距離公式可求結果；知該點的橫、縱坐標，則根據(jù)兩點間距離公式可求結果；若已知該點到另一焦點的距離，則根據(jù)若已知該點到另一焦點的距離，

13、則根據(jù)|PF1|PF2|2a求解，注意對所求結果進行必要的驗證求解，注意對所求結果進行必要的驗證(負數(shù)應該舍去，負數(shù)應該舍去，且所求距離應該不小于且所求距離應該不小于ca)(2)在解決雙曲線中與焦點三角形有關的問題時，首先要注在解決雙曲線中與焦點三角形有關的問題時，首先要注意定義中的條件意定義中的條件|PF1|PF2|2a的應用；其次是要利用的應用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算，余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算，在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的應用在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的應用課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁

14、規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練由定義和余弦定理得由定義和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以所以|PF1|PF2|64，【變式變式2】課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練題型題型三三與雙曲線有關的軌跡問題與雙曲線有關的軌跡問題【例例3】課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練【題后反思題后反思】 求解與雙曲線有關的點的軌跡問題，常見求解與

15、雙曲線有關的點的軌跡問題，常見的方法有兩種：的方法有兩種：(1)列出等量關系，化簡得到方程；列出等量關系，化簡得到方程；(2)尋尋找?guī)缀侮P系，得到雙曲線的定義，從而得出對應的方程找?guī)缀侮P系，得到雙曲線的定義，從而得出對應的方程求解雙曲線的軌跡問題時要特別注意：求解雙曲線的軌跡問題時要特別注意：(1)雙曲線的焦點所雙曲線的焦點所在的坐標軸；在的坐標軸；(2)檢驗所求的軌跡對應的是雙曲線的一支還檢驗所求的軌跡對應的是雙曲線的一支還是兩支是兩支課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練如圖所示，已知定圓如圖所示，已知定圓F1：(x5)2y21，定圓，定圓F2：(x5)2y242，動，動圓圓M與定圓與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動圓圓心都外切，求動圓圓心M的軌跡方程的軌跡方程解解圓圓F1：(x5)2y21，圓心，圓心F1(5，0)，半徑，半徑r11；【變式變式3】圓圓F2：(x5)2y242，圓心，圓心F2(5，0)，半徑，半徑r24.設動圓設動圓M的半徑為的半徑為R，則有，則有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|.課前探究學習課前探究