曲面及其方程1ppt課件

1、7.3 7.3 曲面及其方程曲面及其方程曲面方程的概念曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面柱面柱面二次曲面二次曲面小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念定義定義(1) 曲面曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程;(2)不在曲面不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程;如果曲面如果曲面S0),( zyxF有下述關(guān)系有下述關(guān)系:那么那么,0),( zyxF方程方程就叫做曲面就叫做曲面S的方程的方程,而曲面而曲面S就叫做方程的圖形就叫做方程的圖形.曲面及其方程曲面及其方程與三元方程與三元方程xyzOS0),( zyxF解解RMM |0 202

2、020)()()(zzyyxx2202020)()()(Rzzyyxx 所求方程為所求方程為球心在原點(diǎn)的球面方程球心在原點(diǎn)的球面方程2222Rzyx 的的、半徑為、半徑為建立球心在點(diǎn)建立球心在點(diǎn)RzyxM),(0000.球球面面方方程程特殊特殊),(zyxM設(shè)設(shè)是球面上任一點(diǎn)是球面上任一點(diǎn),R21221221221)()()(zzyyxxMM 曲面及其方程曲面及其方程例例例例解解 |0MMMO 222222432zyxzyx 911634132222 zyx所求方程所求方程),(zyxM設(shè)設(shè)是曲面上任一點(diǎn)是曲面上任一點(diǎn),的全體所組成的曲面方程的全體所組成的曲面方程.的的點(diǎn)點(diǎn)：的的距距離離之之比

3、比為為及及求求與與原原點(diǎn)點(diǎn)21)4 , 3 , 2(0MO2121曲面及其方程曲面及其方程二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面1.定義定義曲面及其方程曲面及其方程此定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸此定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸. 此曲線稱此曲線稱稱此曲面為旋轉(zhuǎn)曲面稱此曲面為旋轉(zhuǎn)曲面. .一周所成的曲面一周所成的曲面, ,母線母線. . 為方便為方便,取作坐標(biāo)面取作坐標(biāo)面, 常把曲線所在平面以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)母線母線軸軸旋轉(zhuǎn)軸取作坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)軸取作坐標(biāo)軸.定義定義2. 旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程d),z , y,x(M任取曲面上的點(diǎn)任取曲面上的點(diǎn)zz 1)1(22yxd 將

4、將,1zz 0),(11 zyf), 0(111zyM0),(22 zyxf得方程得方程軸軸的的距距離離到到點(diǎn)點(diǎn)zM)2(|1y 221yxy 代入代入曲面及其方程曲面及其方程0),(11 zyfxyzO), 0(111zyM ),(zyxM0),(: zyfC0 )z , y(fyOz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上設(shè)設(shè)有有曲曲線線：在在0),( yf22zx 旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)一周的由上面的分析得：由上面的分析得：0),( zyfyOz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線同理同理,0),( zyfyOz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)一

5、周的0),(22 zyxf繞繞z軸軸繞繞y軸軸曲面及其方程曲面及其方程 將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周,求生成求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.122 cz旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面例例雙曲線雙曲線(1)12222 czax分別繞分別繞x軸和軸和z軸軸;繞繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)2c22zy 22ax1 22yx 2a曲面及其方程曲面及其方程繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面(2)12222 czayyOz坐標(biāo)面上的橢圓坐標(biāo)面上的橢圓繞繞y軸和軸和z

6、軸軸;(3)pzyyOz22 坐標(biāo)面上的拋物線坐標(biāo)面上的拋物線繞繞z軸軸.曲面及其方程曲面及其方程 選擇題選擇題 B方程方程222)(yxaz (A) xOz平面上曲線平面上曲線 繞繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面軸旋轉(zhuǎn)所得曲面; 22)(xaz (B) xOz平面上直線平面上直線 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；xaz (C) yOz平面上直線平面上直線 繞繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；yaz (D) yOz平面上曲線平面上曲線 繞繞x軸旋轉(zhuǎn)所得曲面軸旋轉(zhuǎn)所得曲面.22)(yaz 表示表示( ).曲面及其方程曲面及其方程定義定義三、柱面三、柱面平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C C

7、這條定曲線這條定曲線C 稱為柱面的稱為柱面的動(dòng)直線動(dòng)直線L稱為柱面的稱為柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線,母線母線.曲面及其方程曲面及其方程所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線L L 柱面柱面. .LC準(zhǔn)線準(zhǔn)線母線母線因而因而,該方程的圖形是以該方程的圖形是以xOy面上圓為準(zhǔn)線面上圓為準(zhǔn)線, 例例 討論方程討論方程 的圖形的圖形.222Ryx 在在xOy面上面上, 222Ryx 解解母線平行于母線平行于z軸的柱面軸的柱面.曲面及其方程曲面及其方程表一個(gè)圓表一個(gè)圓C.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作平行作平行z z軸的直線軸的直線L,L,)0 ,(1yxM設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) 在圓在圓C C上上, , 對(duì)任意對(duì)任意z,z,點(diǎn)點(diǎn)的坐

8、標(biāo)也滿足方程的坐標(biāo)也滿足方程沿曲線沿曲線C, C, 平行于平行于z z軸的一切直線所形成的曲面上的點(diǎn)軸的一切直線所形成的曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程的坐標(biāo)都滿足此方程, ,在空間在空間, ,222Ryx 就是圓柱面方程就是圓柱面方程. .此曲面稱為圓柱面此曲面稱為圓柱面. .),(zyxMLxyzOC 1M M )0 ,(1yxM,222Ryx xyzOxyzOxy 平面平面表示母線平行于表示母線平行于zxy22 .22xy xy 表示母線平行于表示母線平行于z軸軸.xy 曲面及其方程曲面及其方程xy22 拋物柱面拋物柱面柱面舉例柱面舉例 其準(zhǔn)線是其準(zhǔn)線是xOy面面上的拋物線上的拋物線軸的柱面

9、軸的柱面, 的柱面的柱面,其準(zhǔn)線是其準(zhǔn)線是xOy面上面上的直線的直線總結(jié)：柱面的特征：總結(jié)：柱面的特征：（其他類推）（其他類推）實(shí)實(shí) 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 pzx22 拋物柱面拋物柱面 , 0),(, yxFzyx的方程的方程而缺而缺只含只含直角坐標(biāo)系中表示平行于直角坐標(biāo)系中表示平行于z軸的柱面軸的柱面,在空間在空間為為xOy面上的曲線面上的曲線C.其準(zhǔn)線其準(zhǔn)線曲面及其方程曲面及其方程母線平行于母線平行于x軸軸母線平行于母線平行于z軸軸母線平行于母線平行于y軸軸二次曲面的定義二次曲面的定義四、二次曲面四、二次曲面曲面及其方程曲面及其方程具

10、體形式為：具體形式為：三元二次方程所表示的曲面稱為三元二次方程所表示的曲面稱為0222 qnzmyhxgzxfyzexyczbyaxqnmlgfecba,其中其中均為常數(shù)均為常數(shù).球面、球面、二次曲面二次曲面.如如某些柱面某些柱面(圓柱面、拋物柱面、雙曲柱面等圓柱面、拋物柱面、雙曲柱面等)都是二次曲面都是二次曲面. 研究二次曲面的方法是采用截痕法研究二次曲面的方法是采用截痕法.下面用截痕法討論上面幾種特殊的二次曲面下面用截痕法討論上面幾種特殊的二次曲面.即用即用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截,考察其交線考察其交線(即截痕即截痕)的形狀的形狀, 然后加以

11、綜合然后加以綜合,從而了解曲面的全貌從而了解曲面的全貌.曲面及其方程曲面及其方程1. 橢球面橢球面(橢圓面橢圓面)1222222 czbyax曲面及其方程曲面及其方程)0, 0, 0( cba由方程可知：由方程可知：, 1, 1, 1222222 czbyax即即,|,|,|czbyax 說(shuō)明橢球面包含在由平面說(shuō)明橢球面包含在由平面圍成的長(zhǎng)方體內(nèi)圍成的長(zhǎng)方體內(nèi).czbyax ,曲面及其方程曲面及其方程先考慮橢球面與坐標(biāo)面的截痕：先考慮橢球面與坐標(biāo)面的截痕： 012222yczax 012222zbyax去截這個(gè)曲面去截這個(gè)曲面,所得截痕的方程是所得截痕的方程是)|0(11czzz 012222

12、xczby1222222 czbyax1z000這些截痕都是橢圓這些截痕都是橢圓.再用平行于再用平行于xOy面的平面面的平面 122122221zzczbyax這些截痕也都是橢圓這些截痕也都是橢圓.橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.曲面及其方程曲面及其方程與平面與平面 ,1xx 1yy 橢圓橢圓.同理同理,的截痕也是的截痕也是1222222 czbyax1x1yzxyOxyzO橢球面的幾種特殊情況橢球面的幾種特殊情況:)1(1222222 czayax旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面12222 czax由橢圓由橢圓旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：

13、122222 czayx方程可寫為方程可寫為與平面與平面1zz )| (1cz ba 1222222 czbyaxa繞繞z軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成.的交線為的交線為圓圓.曲面及其方程曲面及其方程cba )2(1222222 azayax球面球面2222azyx 方程可寫為方程可寫為曲面及其方程曲面及其方程xyzO2. 拋物面拋物面zqypx 2222（ 與與 同號(hào)）同號(hào)）pq橢圓拋物面橢圓拋物面用截痕法討論用截痕法討論用平面用平面)0( zxOy設(shè)設(shè)0, 0 qp原點(diǎn)叫做橢圓拋物面的原點(diǎn)叫做橢圓拋物面的去截這曲面去截這曲面,頂點(diǎn)頂點(diǎn).0(1)曲面及其方程曲面及其方程截痕為原點(diǎn)截痕為原點(diǎn).用平面用平

14、面1zz 11212122zzqzypzx)0(1 z去截這曲面去截這曲面,截痕為橢圓截痕為橢圓.,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)z截痕退縮為原點(diǎn)截痕退縮為原點(diǎn);,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z截痕不存在截痕不存在.1z用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面)0( yxOz 022ypzx截痕為拋物線截痕為拋物線.zqypx 2222(2)0曲面及其方程曲面及其方程去截這曲面去截這曲面,用平面用平面1yy 121222yyqyzpx它的軸平行于它的軸平行于 軸軸z頂點(diǎn)頂點(diǎn) qyy2, 0211去截這曲面去截這曲面, 截痕為拋物線截痕為拋物線.1y用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面)0( xyOz1xx 同理當(dāng)同理當(dāng)0, 0 qpzqypx 2222(3)時(shí)可類似討

15、論時(shí)可類似討論.01x曲面及其方程曲面及其方程去截這曲面去截這曲面,及平面及平面截痕為拋物線截痕為拋物線.0, 0 qp0, 0 qp橢圓拋物面的圖形如下：橢圓拋物面的圖形如下：zxyOOzxyxyzO,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)qp zpypx 2222旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面)0( p(由由 面上的拋物線面上的拋物線xOzpzx22 11222zzpzyx用平面用平面1zz )0(1 z當(dāng)當(dāng) 變動(dòng)時(shí)，這種圓變動(dòng)時(shí)，這種圓的中心都在的中心都在 軸上軸上.1zz特殊地特殊地方程變?yōu)榉匠套優(yōu)閦qypx 2222而成的而成的)p p1z曲面及其方程曲面及其方程去截這曲面去截這曲面,截痕為圓截痕為圓.繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)z

16、qypx 2222（ 與與 同號(hào)）同號(hào)）pq雙曲拋物面雙曲拋物面用截痕法討論：用截痕法討論：設(shè)設(shè)0, 0 qp圖形如下：圖形如下： 有兩個(gè)異號(hào)的平方項(xiàng)有兩個(gè)異號(hào)的平方項(xiàng),另一變量另一變量方程方程 z = xy表示表示什么曲面？什么曲面？馬鞍面馬鞍面特點(diǎn)是特點(diǎn)是:是一次項(xiàng)是一次項(xiàng), 無(wú)常數(shù)項(xiàng)無(wú)常數(shù)項(xiàng).(馬鞍面馬鞍面)曲面及其方程曲面及其方程xyzO3. 雙曲面雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax特點(diǎn)是特點(diǎn)是: 平方項(xiàng)有一個(gè)取負(fù)號(hào)平方項(xiàng)有一個(gè)取負(fù)號(hào),另兩個(gè)取正號(hào)另兩個(gè)取正號(hào).曲面及其方程曲面及其方程OxyzxyzO類似地類似地,1222222 czbyax1222222 czby

17、ax亦表示亦表示單葉雙曲面單葉雙曲面.方程方程曲面及其方程曲面及其方程雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyax1222222 czbyax 或或特點(diǎn)是特點(diǎn)是:平方項(xiàng)有一個(gè)取正號(hào)平方項(xiàng)有一個(gè)取正號(hào),另兩個(gè)取負(fù)號(hào)另兩個(gè)取負(fù)號(hào).它分成上、下兩個(gè)曲面它分成上、下兩個(gè)曲面.注注曲面及其方程曲面及其方程xyzO 類似地,1222222 czbyax或或1222222 czbyax亦表示亦表示方程方程雙葉雙曲面雙葉雙曲面.方程方程表示表示( )(A) 雙曲柱面雙曲柱面;(D) 錐面錐面.(C)雙葉雙曲面雙葉雙曲面;(B)旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面;B橢圓拋物面橢圓拋物面 雙曲拋物面雙曲拋物面(馬鞍面）馬鞍

18、面）填空填空 設(shè)有曲面方程設(shè)有曲面方程則方程表示的曲面為則方程表示的曲面為,0,222時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) pqzqypx方程表示的曲面為方程表示的曲面為,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) pq14222 zyx曲面及其方程曲面及其方程選擇選擇 上海交大上海交大,填空填空,(90級(jí)級(jí))是是0132222 zyx 雙葉雙雙葉雙曲面曲面,它的對(duì)稱軸在它的對(duì)稱軸在 軸上軸上.y 上海交大上海交大,填空填空,(95級(jí)級(jí)).43222面面所表示的曲面是所表示的曲面是方程方程yxz 橢圓錐橢圓錐曲面及其方程曲面及其方程截痕法截痕法; (熟知這幾個(gè)常見曲面的特性熟知這幾個(gè)常見曲面的特性)橢球面、拋物面、雙曲面橢球面、拋物面、雙曲面.曲面方程的概念曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面的概念旋轉(zhuǎn)曲面的概念(軸、母線軸、母線)及求法及求法;柱面的概念柱面的概念(母線、準(zhǔn)線母線、準(zhǔn)線); 0),( zyxF曲面及