圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形問(wèn)題

1、圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形問(wèn)題焦點(diǎn)三角形是圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)與圓錐曲線上任意一點(diǎn)組成的三角形，以這個(gè)三角形的某些元素作為條件的圓錐曲線問(wèn)題稱為焦點(diǎn)三角形問(wèn)題。焦點(diǎn)三角形是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，本文將介紹一些關(guān)于焦點(diǎn)三角形問(wèn)題的解法。1、 周長(zhǎng)問(wèn)題x2 y2例1 、F2是橢圓 二 J 1 (a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，A是橢圓上任一點(diǎn)，求 AF1F2的 a b周長(zhǎng)。分析 由于 AF1F2的三邊由AR、F1F2、AF2構(gòu)成，故考慮運(yùn)用橢圓的定義。解據(jù)橢圓的定義有| AF1|+| AF2= 2a, |F 1| | F212c，則 AF1F2的周長(zhǎng)為2a 2c。22x y 變式FF2是橢圓一2 4 1 (a b

2、 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)， A是橢圓上任一點(diǎn)， AF的延長(zhǎng) a b線交橢圓于點(diǎn)B ,求 ABF2的周長(zhǎng)。解Q| AF1 | | AF2I 2a , IBF1I IBF2I 2a, ABF2 | AB | |AF2| |BF211AF1| | AF2 | |BF11 |BF2 | 2a 2a 4a小結(jié)：解此類題關(guān)鍵是運(yùn)用圓錐曲線的定義。2、 面積問(wèn)題x2 y2例2 f1、F2是橢圓二 % 1 (a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，F(xiàn)1PF2a b求AF1F2的面積。解設(shè) | PF1 | m,| PF2I n由橢圓定義可知，m+n= 2a。在 PF1F2中，運(yùn)用余弦定理有22cL L 22m n 2

3、mncosF1F24c2b2可得mn 1 cosS PF1F22mnsin2b22 1 cossin.2 .b tan。（ 1）2由此類比雙曲線可得到22F1PF2 求Fi、F2是橢圓二 4 1(a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn), a b,2，、PF1F2b cot (2)2公式(1)、(2)對(duì)于焦點(diǎn)在y軸上的橢圓和雙曲線同樣成立。般運(yùn)用于客觀題的解題。求解圓錐曲線中的面積問(wèn)題一般會(huì)利用余弦定理來(lái)求解。在解圓錐曲線的問(wèn)題中，有些選擇題或填空題，如果用常規(guī)方法去解題，無(wú)疑是小題大做，這在考試特別是高考中，是非常不可取的。運(yùn)用特殊解法，不但可以節(jié)省時(shí)間，還可提高準(zhǔn)確率。22例3已知雙曲線方

4、程為 y- 1, F1、52是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上任一點(diǎn),43F1PF260 求 AF1F2 的面積。分析若是客觀題，可直接代入焦點(diǎn)三角形面積公式得：S PFlF, b2cot- 3 .3 3、3 1 22三、最值問(wèn)題22例4已知橢圓方程為斗4 1(a b 0), F52分別為其左右兩焦點(diǎn)，P為橢圓上 a b任意一點(diǎn)，=F1PF2 ,求(1) 的最大值；(2) PF1F2面積的最大值;(3) PF1F2的周長(zhǎng)的最大值。解(1)法一設(shè)|PFi| m,| PF2 | n由橢圓定義可知,m+n= 2a 。22F1F24ccos2b2mn又 Q 2a m n 2 ymn,2 一 一一，、mn

5、 a (當(dāng)且僅當(dāng) m n時(shí)等號(hào)成立)又因當(dāng)(0,)時(shí)，y cos單調(diào)遞減,小2八arccos(2 1) ab且在m n時(shí)，取得取大值arccos(2 1)或者a又Q 2a m n m n a時(shí)，取得最大值。/I八arccos(2 2 1)a即P位于橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，取得最大值。法二 設(shè)P(x0,y。)，由焦半徑公式可知：PR a ex。， PF1 a exo在 F1PF2 中，cosPF1I2 叫2 I*2(IPF1I IPF2I)2 2IPFRPF2I 4c22|PF11PF212IPF1PF2I22224a 4cx4b. 2b1 1 =2|PF1|PF2|2(a exo)(a exo)a2

6、e2x2a xo a22xoa即P位于橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，取得最大值。(2)過(guò)點(diǎn)P作F1F2的垂線，垂足為h。令PH ho1S PF1F22 F1F2 ghQ| F1F2 | 2c , 當(dāng)h為最大時(shí)，三角形的面積取得最大值。即當(dāng)P位于橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，三角形面積取得最大值。(3)據(jù)橢圓的定義有 |PF1 |+| PF2|= 2a, |F1F2| 2c ,則 PF1F2 的周長(zhǎng)為 2a 2c。在 PF1F2中，運(yùn)用余弦定理有 m2 n2 2mncos即 PF1F2的周長(zhǎng)無(wú)最大值。小結(jié)：解焦點(diǎn)三角形有關(guān)的最值問(wèn)題，主要是利用圓錐曲線的第一定義，并借助正弦定理、 余弦定理以及均值定理和函數(shù)的單調(diào)性等來(lái)解決

7、。四、離心率問(wèn)題2例5 Fi、F2是橢圓y2 1 (a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn), b2F1F2|PFl| |呢|PFiPF2小結(jié):sinsinsin(sinsinsin( sin) sincos2cos2已知“焦點(diǎn)三角形”的兩個(gè)角,cose 2cos2求其離心率，一般利用正弦定理、等比定理、橢圓的定義及三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí)來(lái)求解。雙曲線也有類似結(jié)論。2 X例6已知橢圓方程為五 a2yr 1(a b 0),兩焦點(diǎn)分別為E，F(xiàn)2,設(shè)焦點(diǎn)三角形 b2PF1F2中 F1PF2,則 cos1 2e2.證明：設(shè)PF1ri，PF22 ,則在F1PF2中，由余弦定理得:cosa222212F1F2

8、2(r1 r2)2 2r1r2 4c22r2_2- 22a 2c 12r1r22a2 2c2r1r2 222a2 22c211 2e2.2a命題得證。例7已知橢圓的焦點(diǎn)是 F1(一 1,0)、52(1,0)1為橢圓上一點(diǎn),且| F1F2I是| PF1|和|PF2|的等差中項(xiàng).(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn) P 在第三象PM,且/ PFiF2=120 ,求 tanFiPF2.解：(1)由題設(shè) 2 | F1F2 | = | PFi | + | PF 2 |-1 2a = 4 ,又 2c= 2,b= J322橢圓的方程為 匕=1.43(2)設(shè)/ fpf2= e ,則/ pf2F1=60 e1橢圓的離心率e 2則 1sin(180o)sin2sin120o sin(60o)3。、sin(60 )2整理得：5sin 0 = 4r3 (1 + cos 0 )2 ，3sin ,3355.3一 故 tan , tanFPF2= tan 8 = 1 cos 5