數(shù)學(xué)歸納法知識(shí)點(diǎn)大全綜合復(fù)習(xí)過程

1、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是用于證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性的一種嚴(yán)格的推理方法.在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中占有很重要的地位.(1)第一數(shù)學(xué)歸納法設(shè)P(n)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果nn0(n0N1.數(shù)學(xué)歸納法的基本形式)時(shí)，P(n)成立；假設(shè)nk(kn0,kN)成立，由此推得nk1時(shí)，P(n)也成立,那么，根據(jù)對(duì)一切正整數(shù)nno時(shí)，P(n)成立.(2)第二數(shù)學(xué)歸納法設(shè)P(n)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果當(dāng)nno(noN)時(shí)，P(n)成立；假設(shè)nk(kno,k2成立，由此推得nk1時(shí)，P(n)也成立,那么，根據(jù)對(duì)一切正整數(shù)nn0時(shí)，P(n)成立.2.數(shù)學(xué)歸納法的其他形式(1)跳躍數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n1,2

2、,3,l時(shí)，P(1),P(2),P(3),下(l)成立，假設(shè)nk時(shí)P(k)成立，由此推得nkl時(shí)，P(n)也成立，那么,根據(jù)對(duì)一切正整數(shù)n1時(shí)，P(n)成立.(2)反向數(shù)學(xué)歸納法設(shè)P(n)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果P(n)對(duì)無限多個(gè)正整數(shù)n成立;假設(shè)nk時(shí)，命題P(k)成立，則當(dāng)nk1時(shí)命題P(k1)也成立，那么根據(jù)對(duì)一切正整數(shù)n1時(shí)，P(n)成立.例如，用數(shù)學(xué)歸納法證明：叼為非負(fù)實(shí)數(shù)，有亞獲力+的：“+外行1n在證明中，由F伉)真，不易證出F(#+D真；然而卻很容易證出尸危-D真，又容易證明不等式對(duì)無窮多個(gè)抬(只要收二21n型的自然數(shù))為真；從而證明抬E貫，不等式成立.(3)螺旋式歸納法

3、P(n),Q(n)為兩個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，假如P(n0)成立；假設(shè)P(k)(kn0)成立，能推出Q(k)成立，假設(shè)Q(k)成立，能推出P(k+1)成立；綜合(1)(2),對(duì)于一切自然數(shù)n(n0),P(n),Q(n)都成立；(4)雙重歸納法設(shè)F是一個(gè)含有兩上獨(dú)立自然數(shù)懷理的命題.尸Q與尸加1)對(duì)任意自然數(shù)處應(yīng)成立；若由蜂+1和尸叱+1)成立，能推出產(chǎn)期+3+D成立;根據(jù)(1)、(2)可斷定，巴加對(duì)一切自然數(shù)隕，與均成立.3.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧(1)起點(diǎn)前移：有些命題對(duì)一切大于等于1的正整數(shù)正整數(shù)n都成立，但命題本身對(duì)n0也成立，而且驗(yàn)證起來比驗(yàn)證n1時(shí)容易，因此用驗(yàn)證n0成立代替驗(yàn)證n1,同

4、理，其他起點(diǎn)也可以前移，只要前移的起點(diǎn)成立且容易驗(yàn)證就可以.因而為了便于起步，有意前移起點(diǎn).(2)起點(diǎn)增多：有些命題在由nk向nk1跨進(jìn)時(shí)，需要經(jīng)其他特殊情形作為基礎(chǔ)，此時(shí)往往需要補(bǔ)充驗(yàn)證某些特殊情形，因此需要適當(dāng)增多起點(diǎn).(3)加大跨度：有些命題為了減少歸納中的困難，適當(dāng)可以改變跨度，但注意起點(diǎn)也應(yīng)相應(yīng)增多.(4)選擇合適的假設(shè)方式：歸納假設(shè)為一定要拘泥于“假設(shè)nk時(shí)命題成立”不可，需要根據(jù)題意采取第一、第二、跳躍、反向數(shù)學(xué)歸納法中的某一形式，靈活選擇使用.(5)變換命題：有些命題在用數(shù)學(xué)歸納證明時(shí)，需要引進(jìn)一個(gè)輔助命題幫助證明，或者需要改變命題即將命題一般化或加強(qiáng)命題才能滿足歸納的需要，才

5、能順利進(jìn)行證明.5.歸納、猜想和證明在數(shù)學(xué)中經(jīng)常通過特例或根據(jù)一部分對(duì)象得出的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的，這種不嚴(yán)格的推理方法稱為不完全歸納法.不完全歸納法得出的結(jié)論，只能是一種猜想，其正確與否，必須進(jìn)一步檢驗(yàn)或證明，經(jīng)常采用數(shù)學(xué)歸納法證明.不完全歸納法是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題極好的方法.從0以外的數(shù)字開始如果我們想證明的命題并不是針對(duì)全部自然數(shù)，而只是針對(duì)所有大于等于某個(gè)數(shù)字b的自然數(shù)，那么證明的步驟需要做如下修改：第一步，證明當(dāng)n=b時(shí)命題成立。第二步，證明如果n=m(mb)成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+1也成立。用這個(gè)方法可以證明諸如“當(dāng)n3時(shí)，n22n”這一類命題。只針對(duì)偶數(shù)或只針對(duì)奇

6、數(shù)如果我們想證明的命題并不是針對(duì)全部自然數(shù)，而只是針對(duì)所有奇數(shù)或偶數(shù)，那么證明的步驟需要做如下修改：奇數(shù)方面：第一步，證明當(dāng)n=1時(shí)命題成立。第二步，證明如果n=m成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+2也成立。偶數(shù)方面：第一步，證明當(dāng)n=0或2時(shí)命題成立。第二步，證明如果n=m成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+2也成立。遞降歸納法數(shù)學(xué)歸納法并不是只能應(yīng)用于形如“對(duì)任意的n”這樣的命題。對(duì)于形如“對(duì)任意的n=0,1,2,.,m”這樣的命題，如果對(duì)一般的n比較復(fù)雜，而n=m比較容易驗(yàn)證，并且我們可以實(shí)現(xiàn)從k至Uk-1的遞推，k=1,.,m的話，我們就能應(yīng)用歸納法得到對(duì)于任意的n=0,1,2,.,m,原命題均成立

7、。(一)第一數(shù)學(xué)歸納法：.一般地，證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n),有如下步驟：(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立。n0對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1,但也有特殊情況；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kn0k為自然數(shù))時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。綜合(1)(2),對(duì)一切自然數(shù)n(n0,命題P(n)都成立。(二)第二數(shù)學(xué)歸納法：對(duì)于某個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n),(1)驗(yàn)證n=n0時(shí)P(n)成立；(2)假設(shè)n0Wnn0,命題P(n)都成立。(三)倒推歸納法(反向歸納法)：(1)驗(yàn)證對(duì)于無窮多個(gè)自然數(shù)n命題P(n)成立(無窮多個(gè)自然數(shù)可以是一個(gè)無窮數(shù)列中的數(shù)，如對(duì)于算術(shù)幾何不等式的證明，可以是2Ak,；(2)假設(shè)P(k+1)(kn0成立，并在此基礎(chǔ)上，推出P(k)成立，綜合(1)(2),對(duì)一切自然數(shù)nOn0,命題P(n)都成立；(四)螺旋式歸納法對(duì)兩個(gè)與自然