數(shù)學試驗特征值與特

1、數(shù)學實驗特征值與特征向量數(shù)學實驗報告學院：班級：學號：姓名：完成日期：實驗六矩陣的特征值與特征向量問題一1 .實驗目的1 .掌握特征值、特征向量、特征方程、矩陣的對角化等概念和理論；2 .掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法；3 .理解由差分方程Xk+i=Axk所描述的動力系統(tǒng)的長期行為或演化；4 .提高對離散動力系統(tǒng)的理解與分析能力.2 .問題描述當捕食者-被捕食者問題中的捕食參數(shù)p是0.125時，是確定該動態(tài)系統(tǒng)的演化（給出Xk的計算公式）。貓頭鷹和森林樹的數(shù)量隨著時間如何變化？該系統(tǒng)去向一種被稱為不穩(wěn)定平衡的狀態(tài)。如果該系統(tǒng)的某個方面（例如出生率或者捕食率）有輕微變動，系統(tǒng)會如何變化？3 .

2、問題分析將線性變換*AXk的作用分解為易于理解的成分，其中特征值與特征向量是分析離散動態(tài)系統(tǒng)的關鍵。根據(jù)已知信息，找到系統(tǒng)對應的差分方程Xk+i=Axk,求出A的特征值和對應的特征向量，再根據(jù)不同特征值的個數(shù)、絕對值大于1還是小于1、是實特征值還是復數(shù)特征值等情形，分析出系統(tǒng)的演化過程。四.實驗過程問題對應的差分方程為Xk+i=Axk,其中A=0.5020.1251.1<J演化過程求解如下：第一步：求A的特征值和對應的特征向量。利用如下的代碼即可獲得：A=0.50.4;-0.1251.1;pc,lambda=eig(A);Y,I=sort(diag(abs(lambda),'de

3、scend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)運行程序可得A的特征值為lambda=1.00000.6000A的特征向量pc=-0.6247-0.9701-0.7809-0.2425V2='4、1、P="44、<51>顯然，這兩個特征向量(即pc的第一列和第二列)是線性無關的，它們構成R2的一組基，為消除小數(shù)，選取P-1AP=11.000、<00.60第二步：Vi用和V2表示X0和XK,k=i,2因為Vi,V2是R2的一組基，所以存在系數(shù)C1和C2,使得X0=ciVi+C2V2.因為Vi,V2為矩

4、陣A對應于入=1.0u=0.6的特征向量，所以AVi=?Vi,AV2=?V2,于是Xi=Ax0=A(ciVi+C2V2)=Ci入Vi+C2UV2.X2=AXi=A(Ci入Vl+C2入V2)=Ci%Vi+C2U2V2.般地,Xk=Ci犬Vi+C2UkV2.k=0,i,2,3.Ci(i.0)kf4+C2(0.6)嚇4-5J當k趨近于無窮大時，0.6”趨近于0,假定Ci>0,則對于所有足夠大的k,xk近似地等于Ci(i.0)kVi,寫為XkCi(i.0)f45JK越大，近似程度越高，所以對于足夠大的k,Xk+i=Ci(i.0)hi14、15J可知貓頭鷹和老鼠的數(shù)量幾乎每月都相當，而且Xk約為4

5、倍數(shù)，所以每4只貓頭鷹對應著5000只老鼠。第三步：解的圖像表示，見圖8-1,其中綠色圓圈代表初始點X0,紅色圓點代表迭代序列，箭頭代表迭代方向，藍色直線代表特征向量Vi,V2所在的直線。在圖8-1中，圓點為鞍點，排斥最快的方向為過圓點和特征向量Vi的直線方向。其中Vi對應的特征值得絕對值為1.如果X0在這條直線上，則表水C2等于0,且Xk始終在原點。吸引最快的方向由特征向量V2決定，其對應的特征值的絕對值大于1.2»0二，二10K阪相應的代碼如下：%P8_1.m%捕食者-被捕食者解的圖像表示clear,clca=-20*100;b=-a;c=a;d=b;p=0.1;n=100;xl

6、abel('|lambda|=1,|u|<1')axis(abcd),gridon,holdonx=linspace(a,b,30);A=0.50.4;-0.1251.1;pc,lambda=eig(A);Y,I=sort(diag(abs(lambda),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)pc=-pc;z1=pc(2,1)/pc(1,1)*x;z2=pc(2,2)/pc(1,2)*x;h=plot(x,z1),set(h,'linewidth',2),text(x(7

7、),z1(7)-100,'v1')h=plot(x,z2),set(h,'linewidth',2),text(x(20),z2(20)-100,'v2')button=1;whilebutton=1xi,yi,button=ginput(1);plot(xi,yi,'go'),holdonX0=xi;yi;X=X0;fori=1:nX=A*X,X0;h=plot(X(1,1),X(2,1),'R',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-');holdontext(X0(1,1),X0(2,1)

8、,'X0')quiver(X(1,2),1,X(2,2),1,X(1,1)-X(1,2),0,X(2,1)-X(2,2),0,p)set(h,'MarkerSize',6),grid,endend五.結論與分析因為當k趨近于無窮大時，0.6”趨近于0,所以取1.可知貓頭鷹和老鼠的數(shù)量幾乎每月都相當。系統(tǒng)趨向于不穩(wěn)定平衡的狀態(tài)。當出生率下降或者捕食率增大，或者相反的情況，該平衡狀態(tài)就會被打破。直到重新平衡或者系統(tǒng)完全崩潰。問題二一.實驗目的1 .掌握特征值、特征向量、特征方程、矩陣的對角化等概念和理論；2 .掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法；3 .理解由差分方程X

9、k+i=Axk所描述的動力系統(tǒng)的長期行為或演化；4 .提高對離散動力系統(tǒng)的理解與分析能力.二.問題描述在美國的黃杉森林中，班頭貓頭鷹主要以豚鼠為食。假設這兩個種群的捕食率-被捕食率矩陣為A=0.40.3;-p1.2(1)證明：如果捕食參數(shù)p=0.325,則兩個種群都會增長。估計長期的增長率及貓頭鷹與豚鼠的最終比值。(2)證明：如果捕食率p=0.5,則貓頭鷹和豚鼠都將滅絕。(3)試求一個P值，使得貓頭鷹和豚鼠的數(shù)量趨于穩(wěn)定。此時，對應的種群數(shù)量是多少？三.問題分析將線性變換關Axk的作用分解為易于理解的成分，其中特征值與特征向量是分析離散動態(tài)系統(tǒng)的關鍵。根據(jù)已知信息，找到系統(tǒng)對應的差分方程Xk+

10、i=Axk,求出A的特征值和對應的特征向量，再根據(jù)不同特征值的個數(shù)、絕對值大于1還是小于1、是實特征值還是復數(shù)特征值等情形，分析出系統(tǒng)的演化過程。四.實驗過程問題對應的差分方程為Xk+1=AXk,其中A=0.40.3、-P1.21J,演化過程求解如下：(1)當P=0.325時，類似問題一的結決方案，可求出A的特征向量與特征值，代碼如下：A=0.40.3;-0.3251.2;pc,lambda=eig(A);Y,I=sort(diag(abs(lambda),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)運行程序可得A的

11、特征值為lambda=1.05000.5500A的特征向量pc=-0.4191-0.8944-0.9080-0.4472將小數(shù)乘以相應倍數(shù)變成整數(shù)V1=5V2=2/P=52fP31AP=1.050、111I111tC0.55J<J由此可知，當k趨近于無窮大時，0.55”趨近于0.所以A的特征值取1.05.即貓頭鷹和老鼠的數(shù)量幾乎每個月都近似增加到原來的1.05倍，即有5%勺增長率.所以天約為（511）,即每5只貓頭鷹對應著6500只老鼠。最終比值為1300.(2)當P=0.5時，類似問題一的解決方案，可求出A的特征向量與特征值，代碼如下：A=0.40.3;-0.51.2;pc,lambd

12、a=eig(A);Y,I=sort(diag(abs(lambda),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)運行程序可得A的特征值為lambda=0.90000.7000A的特征向量pc=-0.5145-0.7071-0.8575-0.7071將小數(shù)乘以相應倍數(shù)變成整數(shù)V1=5V2=1P=53CP11AP=0.90、0J0.7因為所有的特征值得絕對值都小于1,所以當k趨近于無窮大時,xk趨近于零。所以這個模型預示著斑點貓頭鷹最終將會滅絕。(3)采用試值法取p=0.4.可求出A的特征向量與特征值如下：A=0.40

13、.3;-0.41.2;pc,lambda=eig(A);Y,I=sort(diag(abs(lambda),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)運行程序可得A的特征值為lambda=1.00000.6000A的特征向量pc=-0.4472-0.8321-0.8944-0.5547因為當k趨近于無窮大時，0.6”趨近于0.所以取1.可知貓頭鷹和老鼠的數(shù)量幾乎每月都相當。系統(tǒng)趨向于不穩(wěn)定平衡的狀態(tài)。五.實驗結論捕食者-被捕食者問題說明了動態(tài)系統(tǒng)Xk+1=AXk的幾個基本事實:1 .若它的特征值|入|A1,|入j|W1,對于j=1,2,3,，并且Vi為入i的特征向量。如果初始向量X