數(shù)學(xué)美欣賞數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性

1、數(shù)學(xué)美欣賞（內(nèi)容選自數(shù)學(xué)美拾趣、數(shù)學(xué)聊齋和直觀幾何）課程簡(jiǎn)介了解數(shù)學(xué)的趣味性，初步懂得數(shù)學(xué)在理論和實(shí)際中的應(yīng)用，欣賞數(shù)學(xué)的絢麗多彩的藝術(shù)世界.學(xué)習(xí)要求1 .用U盤(pán)復(fù)制電子講稿，并打印.2 .課后認(rèn)真閱讀講稿.3 .適當(dāng)安排若干次課堂獨(dú)立作業(yè).做課堂作業(yè)時(shí)，允許參考本講稿，可以摘錄講稿內(nèi)容.考核要求1 .進(jìn)行期中考試和期末考試，均為開(kāi)卷.2 .期末總評(píng)成績(jī)=期中考試成績(jī)X50%期末考試成績(jī)X50%3 .期中考試、期末考試和課堂獨(dú)立作業(yè)中沒(méi)有任何計(jì)算題和證明題，也沒(méi)有填空題和選擇題，題型均為問(wèn)答題.第1講第1章數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性序后著名科學(xué)家伽利略說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是上帝用來(lái)書(shū)寫(xiě)宇宙的文字”.簡(jiǎn)潔本身就是一種

2、美，而數(shù)學(xué)的首要特點(diǎn)在于它的簡(jiǎn)渣.數(shù)學(xué)家莫德?tīng)栒f(shuō)：在數(shù)學(xué)美的各個(gè)屬性中、首先要推崇的大概是簡(jiǎn)單性了.自然界原本就是簡(jiǎn)潔的：光是沿直線方向傳播的一一這是光傳播的最捷路線.植物的葉序排布是植物葉子通風(fēng)、采光最佳的布局.某些攀緣植物如藤類(lèi)，它們繞著攀依物螺旋式的向上生長(zhǎng)，它們所選的螺線形狀對(duì)于植物上攀路徑來(lái)講是最節(jié)省的.大雁遷徙時(shí)排成的人字形，一邊與其飛行方向夾角是5次4口從空氣動(dòng)力學(xué)角度看，這個(gè)角度對(duì)于大雁隊(duì)伍飛行是最佳的，即阻力最?。槺阋惶幔航饎偸w中也蘊(yùn)含這種角度）.在人體中，人的粗細(xì)血管直徑之比總是我1,這種比值的分支導(dǎo)流系統(tǒng)經(jīng)流體動(dòng)力學(xué)研究表明，它在輸導(dǎo)液體時(shí)能量消耗最少.生物學(xué)家和數(shù)

3、學(xué)家們（如著名科學(xué)家開(kāi)普勒、數(shù)學(xué)家列厄木、柯尼希等）在研究蜂房構(gòu)造時(shí)發(fā)現(xiàn)：在體積一定的條件下，蜂房的構(gòu)造是最省材料的.這些最佳、最好、最省、的事實(shí),來(lái)自生物的進(jìn)化與自然選擇.然而它同時(shí)展現(xiàn)了自然界的簡(jiǎn)潔.而且也展現(xiàn)了自然界的和諧.宇宙萬(wàn)物如此.數(shù)學(xué).它作為用來(lái)描述宇宙的文字和工具也應(yīng)當(dāng)是簡(jiǎn)潔與和諧的.詩(shī)人但丁曾贊美道：“圓是最美的圖形:太陽(yáng)是圓的、滿(mǎn)月是圓的、水珠看上去（投影）是圓的、，圓的線條明快、簡(jiǎn)練、對(duì)稱(chēng).近代數(shù)學(xué)研究還發(fā)現(xiàn)圓的等周極值性質(zhì)：在周長(zhǎng)給定的封閉圖形中，圓所圍的面積最大.無(wú)論是古人，還是今人，人們對(duì)圓有著特殊親切的情感，都因?yàn)閳A的簡(jiǎn)潔美.數(shù)學(xué)中人們對(duì)于簡(jiǎn)潔的追求是永無(wú)止境的：

4、建立公理體系時(shí)，人們?cè)噲D找出最少的幾條（拋棄任何多余的贅物）；對(duì)命題的證明，人們力求嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)練（因而人們對(duì)某些命題的證明在不斷地改進(jìn)）；對(duì)計(jì)算的方法，人們要求盡量便捷、明快（因而人們不斷地在探索計(jì)算方法的創(chuàng)新），數(shù)學(xué)拒絕繁冗.正如牛頓所說(shuō)：數(shù)學(xué)家不但更容易接受漂亮的結(jié)果，不喜歡丑陋的結(jié)論，而且他們也非常推崇優(yōu)美與雅致的證明，而不喜歡笨拙與繁復(fù)的推理.數(shù)學(xué)大師歐拉曾研究過(guò)天平祛碼最優(yōu)（少）配置問(wèn)題,并且證明了：若有1,2,22,23,，2n克的祛碼，只允許其放在天平的一端，利用它們可稱(chēng)出12n*-1（=2n+2n+IH+22+2+1）之間的任何整數(shù)克重物體的重量.例如，當(dāng)n=3時(shí)，我們有4個(gè)祛碼

5、：1克，2克，22克和23克,即1克，2克，4克和8克.利用它們，我們可稱(chēng)出1克邛一1克（即15克）之間的任何整數(shù)克重物體的重量，即可稱(chēng)出1克，2克,3克，15克的重量.這由下表可以明白重量（克）12345678祛碼組合121+241+42+41+2+48重量（克）9101112131415祛碼組合1+82+81+2+84+81+4+82+4+81+2+4+8這個(gè)問(wèn)題其實(shí)與數(shù)的二進(jìn)制有關(guān).進(jìn)而，歐拉還證明了（它與數(shù)的三進(jìn)制有關(guān)）：有1,3,32,33,，3"克重的祛碼，允許其放在天平兩端，利用它們可以稱(chēng)出1-除1（=3"+3"，+川+32+3+1）之間任何整數(shù)克重

6、物體的重量.例如，當(dāng)n=2時(shí)，我們有3個(gè)祛碼：1克，3克和32克，即1克,3克和9克.利用它們，我們可稱(chēng)出1克切克（即13克）之間的任何整數(shù)克重物體的重量，即可稱(chēng)出1克，2克，3克，,13克的重量.這由下表可以明白.重量（克）1234567祛碼組合13-131十39-1-39-31+9-3重量（克）8910111213祛碼組合9-191+93+9-13+91+3+9以上兩個(gè)事實(shí)是“以少應(yīng)付多”的典范，這也是數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔性使然.下面的所謂“省刻度尺問(wèn)題”,盡管人們尚未對(duì)此得出一般結(jié)論，但目前僅有的結(jié)果也足以使人倍感興趣：一根6cm長(zhǎng)的尺子，只須刻上兩個(gè)刻度（在icm和4cm處），就可量出icm6cm

7、之間任何整數(shù)厘米長(zhǎng)的物體長(zhǎng)，即可量出icm,2cm,3cm,4cm,5cm和6cm的長(zhǎng)度（下簡(jiǎn)稱(chēng)“完全度量）Y6ITI01*4若用aTb表示從a量到b的話，那么具體度量如下：1（0Tl）,2（4t6）,3（1t4）,4（0t4）,5（1t6）,6（0t6）.一根13cm的尺子，只須在icm,4cm,5cm和11cm四處刻上刻度，便可完成113cm的完全度量.具體度量如下：1（0>1）,2（11>13）,3（1>4）,4（0>4）,5（0>5）,6（5>11）,7（4t11）,8（5t13）,9（4t13）,10（1t11）,11（0t11）,12（1t13）

8、,13（0T13）.卜”HI力）一ii對(duì)于22cm的尺子，只須刻上六個(gè)刻度，即在：1cm,2cm,3cm,8cm,13cm和18cm;或者icm,4cm,5cm,12cm,14cm和20cm處刻上刻度，可完成122cm的完全度量.I2381313»_1_ii1._1對(duì)于23cm的尺子來(lái)講，也只須六個(gè)刻度：1cm,4cm,10cm,16cm,18cm和21cm,便可完成123cm的完全度量.-i4而記根36cm的尺子，只須在1cm,3cm,6cm,13cm,20cm,27cm,31cm和35cm處刻上八個(gè)刻度，便可完成1cm36cm的完全度量.I3613X號(hào)3i.a&_,對(duì)于4

9、0cm的尺子，刻上九個(gè)刻度：1cm,2cm,3cm,4cm,10cm,17cm,24cm,29cm和35cm,即可完成140cm的完全度量.-723-1/O17商這類(lèi)問(wèn)題與應(yīng)用數(shù)學(xué)中所謂最優(yōu)化方法有關(guān)，這門(mén)學(xué)科的核心是最省、最好（對(duì)效益講是最大）.用“少”去表現(xiàn)“多或者求極大、極小等，均是數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔性的另類(lèi)表現(xiàn).比如“植樹(shù)問(wèn)題”.英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾經(jīng)很喜歡下面一類(lèi)題目：9棵樹(shù)栽9行，每行栽3棵，如何栽？乍看此題似乎無(wú)解，其實(shí)不然，看了左下圖（圖中黑點(diǎn)表示樹(shù)的位置，下同），你會(huì)恍然大悟！?施樹(shù)我也AV7W7椽樹(shù)淄因）源/管顯M潞/竹牛頓還發(fā)現(xiàn)：9棵樹(shù)每行栽3棵，可栽行數(shù)的最大值不是9,而是

10、10,見(jiàn)右上圖.左下圖給出10棵樹(shù)，栽10行，每行栽3棵的栽法.I。卷樹(shù)其實(shí)，10棵樹(shù)，每行栽3棵，可栽的最多行數(shù)也不是10,而是12,見(jiàn)右上圖.英國(guó)數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家道奇生在其童話名著艾麗絲漫游仙境中也提出下面一道植樹(shù)問(wèn)題：10棵樹(shù)，栽成5行，每行栽4棵，如何栽？此題答案據(jù)說(shuō)有300種之多，下面諸圖給出了其中的幾種.十九世紀(jì)末，英國(guó)的數(shù)學(xué)游戲大師杜登尼在其所著520個(gè)趣味數(shù)學(xué)難題中也提出了下面的問(wèn)題：16棵樹(shù)，栽成15行,每行栽4棵，如何栽？杜登尼的答案見(jiàn)左下圖.美國(guó)趣味數(shù)學(xué)大師山姆洛伊德曾花費(fèi)大量精力研究“20棵樹(shù)，每行栽4棵，至多可栽多少行”，他給出了可栽18行的答案，見(jiàn)右下圖b媚樹(shù)我4樨

11、/彳幾年前人們借助于電子計(jì)算機(jī)給出了上述問(wèn)題可栽20行的最佳方案，見(jiàn)左下圖.稍后曾見(jiàn)報(bào)載，國(guó)內(nèi)有人給出可栽21行的方案（右上圖）,然而嚴(yán)格的驗(yàn)證工作恐非易事一一這些點(diǎn)是否真的共線？既便結(jié)論無(wú)誤，但它是否是可栽的最多行數(shù)，人們尚不得而知.在英國(guó)數(shù)學(xué)家薛爾維斯特在臨終前幾年（1893年）提出了一個(gè)貌似簡(jiǎn)單的問(wèn)題：對(duì)于在平面上不全共線的任意n個(gè)點(diǎn)，總可以找到一條直線，使其僅過(guò)其中的兩個(gè)點(diǎn).直到1933年，人們才找到一個(gè)繁瑣的證明.此后，1944年、1948年又先后有人給出了證明.1980年前后，美國(guó)科學(xué)新聞雜志重提舊事時(shí)，又一次向人們介紹了薛爾維斯特問(wèn)題和凱利于1948年給出的證明.我們很容易體會(huì)到

12、：一個(gè)定理（或習(xí)題）證明（或解法）的簡(jiǎn)化，將認(rèn)為是做了一件漂亮的工作，即它是美妙的.由于簡(jiǎn)潔，數(shù)學(xué)語(yǔ)言（包括圖形）不僅能描述世界上的萬(wàn)物，而且也能為世界上所有文明社會(huì)所接受和理解，甚至還將成為與其它星球上的居民（如果存在的話）交流思想的工具.在為美國(guó)發(fā)射的在茫茫太空中去尋覓地球外文明的“先驅(qū)者號(hào)飛船”（探測(cè)器）征集所攜帶的禮物時(shí)，我國(guó)已故著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議帶上數(shù)學(xué)中用以表示勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）的簡(jiǎn)單、明快的數(shù)形圖，它似乎應(yīng)為宇宙所有文明生物所理解.數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)潔性的例子是不勝枚舉的：比如三角形，盡管它有千姿百態(tài)，但人們卻可用S=3（a為底邊長(zhǎng)，h為該邊上高）或海倫公式S7P（p-aXp

13、-bXpW（p為三角形半周長(zhǎng)）去表達(dá)所有三角形的面積.數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性系指其抽象，性、概括性和統(tǒng)一性.正是因?yàn)閿?shù)學(xué)具有抽象性和統(tǒng)一性、因而其形式應(yīng)當(dāng)是簡(jiǎn)單的.實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單性（抽象、統(tǒng)一）的重要手段是使用數(shù)學(xué)符號(hào).附錄有趣的數(shù)制十進(jìn)制數(shù)809306=810000001000091000310001061543_210=810501049103310201016100.562.4=08父32>1父06100+2由0+4/0一+0父10+810310.特點(diǎn)：十進(jìn)制數(shù)由十個(gè)數(shù)字0,1,2,34567,89組成.二進(jìn)制數(shù)4321011011=1x2+1x2+0x2+1x2+1父2.1110.1101

14、=1父23+1父22+1父21+0父2°+1父2,+1父2/+0父2,+1父2工，特點(diǎn)：二進(jìn)制數(shù)由兩個(gè)數(shù)字。和1組成.三進(jìn)制數(shù)_4_3_2_1_0_q一二12101.221=1父34+2父33+1父32+0父31+1父30+2父3+2父3+1父3.特點(diǎn)：三進(jìn)制數(shù)由兩個(gè)數(shù)字0,1和2組成.前面講過(guò)，利用四個(gè)祛碼：1g,2g,4g,8g,可以稱(chēng)出1g-15g的整數(shù)克重量.把重量用二進(jìn)制表示,可以得到相應(yīng)的祛碼組合方式.用四個(gè)祛碼1g,2g,4g,8g可以稱(chēng)出1g15g的整數(shù)克重量重量（克）12345678重量的二進(jìn)制表不110111001011101111000祛碼組合122+144+1

15、4+24+2+18重量（克）9101112131415重量的二進(jìn)制表不1001101010111100110111101111祛碼組合8+18+28+2+18+48+4+18+4+28+4+2+1前面還講過(guò),利用二個(gè)祛碼：K,3g,9g,可以稱(chēng)出1g13g的整數(shù)克重量（允許祛碼放在天平的兩個(gè)托盤(pán)中）.把重量用三進(jìn)制表示，可以得到相應(yīng)的祛碼組合方式.下表中加下標(biāo)3的數(shù)（如1013）表示三進(jìn)制數(shù),不加下標(biāo)3的數(shù)為十進(jìn)制數(shù)用二個(gè)祛碼1g,3g,9g可以稱(chēng)出1g13g的整數(shù)克重量重量（克）13=123=2103=3113=4123=5203=62%=7湊數(shù)。3=013=1。3=0。3=0113=3+1

16、103=3103=3前兩數(shù)之和13=1103=3103=3113=3+11003=91003=91013=9+1祛碼組合13-133+19-3-19-39+1-3重量（克）223=81003=91013=101023=111103=121113=13湊數(shù)13=1。3=0。3=013=1。3=0。3=0前兩數(shù)之和1003=91003=91013=9+11103=9+31103=9+31113=9+3+1祛碼組合9-199+19+3-19+39+3+11.1數(shù)學(xué)符號(hào)人總想給客觀事物賦予某種意義和價(jià)值，利用符號(hào)認(rèn)識(shí)新事物，研究新問(wèn)題，從而使客觀世界秩序化，這便創(chuàng)造了科學(xué)、技術(shù)、文化、藝術(shù)、.符號(hào)就是

17、某種事物的代號(hào)，人們總是探索用簡(jiǎn)單的記號(hào)去表現(xiàn)復(fù)雜的事物，符號(hào)也正是這樣產(chǎn)生的.文字是表達(dá)事物的符號(hào)，一個(gè)語(yǔ)種就是一個(gè)“符號(hào)系統(tǒng)”.這些符號(hào)的組合便是語(yǔ)言.人們?cè)噲D用“精密”的方法研究藝術(shù)，這在很大程度上依靠符號(hào).符號(hào)對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展來(lái)講更是極為重要的.它可使人們擺脫數(shù)學(xué)自身的抽象與約束，集中精力于主要環(huán)節(jié)，這在事實(shí)上增加了人們的思維能力.沒(méi)有符號(hào)去表示數(shù)及其運(yùn)算，數(shù)學(xué)的發(fā)展是不可想象的.數(shù)學(xué)語(yǔ)言是困難的，但又是永恒的（紐曼語(yǔ)）.數(shù)是數(shù)學(xué)乃至科學(xué)的語(yǔ)言，符號(hào)則是記錄、表達(dá)這些語(yǔ)言的文字.正如沒(méi)有文字，語(yǔ)言也難以發(fā)展一樣，幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)分支都是靠一種符號(hào)語(yǔ)言而生存，數(shù)學(xué)符號(hào)是貫穿于數(shù)學(xué)全部的支古代

18、數(shù)學(xué)的漫長(zhǎng)歷程，今日數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，十七世紀(jì)、十八世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的興起，我國(guó)幾千年數(shù)學(xué)發(fā)展講程的緩慢，這些在某種程度匕都?xì)w咎于數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)用得當(dāng)與否簡(jiǎn)練、方便的數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)于書(shū)寫(xiě)、運(yùn)算、推理來(lái)講.是何等重要！反之.沒(méi)有符號(hào)或符號(hào)不恰當(dāng)、不簡(jiǎn)練,勢(shì)必影響到數(shù)學(xué)的推理和演算.然而，數(shù)學(xué)符號(hào)的產(chǎn)生、使用和流傳卻經(jīng)歷了一個(gè)十分漫長(zhǎng)的過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中，始終貫穿著人們對(duì)于自然、和諧與美的追求.古埃及和我國(guó)一樣，是世界上四大文明古國(guó)之一.早在四千多年以前，埃及人已懂得了數(shù)學(xué)，在數(shù)的計(jì)算方面還會(huì)使用分?jǐn)?shù)，不過(guò)，他們用的是“單位分?jǐn)?shù)”（分子是1的分?jǐn)?shù)）.此外，他們還能計(jì)算直線形和圓的面積.他們知道了圓周率1000

19、001000000約為3.16,同時(shí)也懂得了棱臺(tái)和球的體積計(jì)算等.可是，他們卻是用下面的符號(hào)記數(shù)的：IneJy110100100010000這樣書(shū)寫(xiě)和運(yùn)算起來(lái)都不方便，比如寫(xiě)數(shù)2314,就要用門(mén)rccnwi表示.后來(lái)他們把符號(hào)作了簡(jiǎn)化而成為|UI”一W：；二Hv八十£A123456789102030古代巴比倫人（巴比倫即當(dāng)今希臘一帶地方）計(jì)數(shù)使用的是六十進(jìn)制，當(dāng)然它也有其優(yōu)點(diǎn)，因?yàn)?0有約數(shù)2,3,4,5,6,10,12,15,30,60等，這樣，在計(jì)算分?jǐn)?shù)時(shí)會(huì)帶來(lái)某種方便（現(xiàn)在時(shí)間上的小時(shí)、分、秒制及角度制，仍是六十進(jìn)制）.巴比倫人已經(jīng)研究了二次方程和某些三次方程的解法，他們?cè)诠?/p>

20、前2000年就開(kāi)始將楔形線條組成符號(hào)（稱(chēng)為楔形文字），且將它們刻在泥板上，然后放到烈日下曬干以備保存.同樣，他們也是用楔形文字來(lái)表示數(shù)，無(wú)論是用來(lái)記錄還是運(yùn)算，都相對(duì)來(lái)說(shuō)方便了許多.Tf/Torun110060421=8160，+。+22=3622我國(guó)在紙張沒(méi)有發(fā)明以前，已經(jīng)開(kāi)始用算籌進(jìn)行記數(shù)和運(yùn)算了.算籌是指計(jì)算時(shí)使用的小竹棍（或木棍、骨棍），這也是世界上最早的計(jì)算工具.用算籌表示數(shù)的方法是：麒（i;Id|ll|HHIT（lmin/修大一二三三SJ-s韭123456789記數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，其余位縱橫相間，故有“一縱十橫，百立千僵”之說(shuō).數(shù)字中有0時(shí)，將其位置空出，比如86021可表示為：I

21、H1二I在甲骨文中，數(shù)字是用下面的符號(hào)表示的（形象、自如）:二三三二八十）（41下7%12345678910100100010000阿拉伯?dāng)?shù)字未流行之前，我國(guó)商業(yè)上還通用所謂“蘇州碼”的記數(shù)方法（方便、明快）：Ihhix4/x+、,+h。123456789101001000100000它在計(jì)數(shù)和運(yùn)算上已帶來(lái)較大方便.在計(jì)數(shù)上歐洲人開(kāi)始使用的是羅馬數(shù)字：I口,迎17VVIVI%12345678IXxLCPM910501005001000阿拉伯?dāng)?shù)字據(jù)說(shuō)是印度人發(fā)明的，后傳入阿拉伯國(guó)家，經(jīng)阿拉伯人改進(jìn)、使用，因其簡(jiǎn)便性而傳遍整個(gè)世界，成為通用的記數(shù)符號(hào).J23又qG、8Q015世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)字寫(xiě)法我們

22、再來(lái)看看方程用符號(hào)表示的歷史（代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與方程研究關(guān)系甚密）.在埃及出土的3600年前的萊因特紙草上有下面一串符號(hào)：它既不是什么繪畫(huà)藝術(shù)，也不是什么裝飾圖案，它表達(dá)的是一個(gè)代數(shù)方程式，用今天的符號(hào)表示，即x|1；1=37.327宋、元時(shí)期我國(guó)也開(kāi)始了相當(dāng)于現(xiàn)代方程論的研究，當(dāng)時(shí)記數(shù)仍使用算籌.在那時(shí)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)著作中，就是用下圖中的記號(hào)來(lái)表示二次三項(xiàng)式412x2-x+136的，其中，x的系數(shù)旁邊注以“元”字，常數(shù)項(xiàng)注以“太”字，籌上畫(huà)斜線表示“負(fù)數(shù)”到了十六世紀(jì)，數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾、韋達(dá)等人對(duì)方程符號(hào)有了改進(jìn).直到笛卡兒才第一個(gè)提倡用x、y和Z表示未知數(shù),他曾用xxx-9xx26x-一24

23、7;0表示x3-9x2+26x-24=0,這與現(xiàn)在的方程寫(xiě)法幾乎一致.其實(shí)，數(shù)學(xué)表達(dá)式的演變正是人們追求數(shù)學(xué)的和諧、簡(jiǎn)潔、方便和明晰的審美過(guò)程.笛卡兒的符號(hào)已接近現(xiàn)代通用的記號(hào)，直到1693年，沃利斯創(chuàng)造了現(xiàn)在人們?nèi)栽谑褂玫挠浱?hào)：4,32x+bx+cx+dx+e=0.韋達(dá)是第一個(gè)引進(jìn)字母系數(shù)的人，但他仍用希臘人的齊次原則、拉丁記號(hào)plano和solido分別表示平面數(shù)和立體數(shù)；用aequtur表示等于，in表示乘號(hào)，quad和cub分別表示平方和立方，這顯然不簡(jiǎn)便.笛卡兒的符號(hào)已有較大程度的簡(jiǎn)化.我們還想指出一點(diǎn)：數(shù)及其運(yùn)算只有用符號(hào)去表示，才能更加確切和明了.隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，隨著人們對(duì)于數(shù)的

24、認(rèn)識(shí)的深化，用原有符號(hào)去表示新的概念，有時(shí)竟會(huì)感到無(wú)能為力（沒(méi)有根號(hào)如何表示某些無(wú)理數(shù)？），這需要?jiǎng)?chuàng)新.圓周率（圓的周長(zhǎng)與直徑的比）是一個(gè)常數(shù)，但它又是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).1737年歐拉首先倡導(dǎo)用希臘字母"來(lái)表示它（早在1600年英國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W特雷德曾用幾作為圓周長(zhǎng)的符號(hào)），且通用于全世界.用e表示特殊的無(wú)理常數(shù)（也是超越數(shù)）一一歐拉常數(shù)1nlim1-=2.71828182845904511n：二n的也是歐拉.我們知道，要具體寫(xiě)出圓周率或歐拉常數(shù)，這是根本不可能的（它們無(wú)限且不循環(huán)），然而用數(shù)學(xué)符號(hào)卻可精確地表示它們（正像不能寫(xiě)完忘=1.41421356川，但我們卻可用我表達(dá)一樣）.虛數(shù)單

25、位G用符號(hào)i表示，還是數(shù)學(xué)家歐拉于1777年首創(chuàng)的（這也使我們想到：歐拉的成就與他對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的創(chuàng)造不無(wú)關(guān)系）.在奇妙的等式爐+1=0中，所出現(xiàn)的五個(gè)數(shù)中的三個(gè)符號(hào)都是出自數(shù)學(xué)大師歐拉之手！從上面的例子我們可以看到：數(shù)學(xué)符號(hào)的重要在于它有無(wú)限的力量和手段來(lái)協(xié)助直覺(jué)，把社會(huì)和自然乃至宇宙中的數(shù)學(xué)關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，去解答一些已知或未知的問(wèn)題，去創(chuàng)造更深、更新白思維形式.說(shuō)到數(shù)學(xué)符號(hào)，我們當(dāng)然還不應(yīng)忘記圖形.點(diǎn)、線、面、體的產(chǎn)牛正是人們對(duì)客觀事物的抽象和概括.歐幾里得幾何、非歐幾何、解析幾何正是研究這些圖形的分支.除此之外，還有許多精彩的例子.首先我們會(huì)想到“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”.布勒格爾河流經(jīng)哥尼斯堡市區(qū)

26、，河中有兩個(gè)河心島，它們之間以及它們與河岸之間共有七座橋連接.當(dāng)?shù)鼐用裨灰粋€(gè)問(wèn)題搞得百思不得其解，這個(gè)問(wèn)題是：你能否無(wú)遺漏又不重復(fù)地走遍七座橋而回到出發(fā)地？人們?cè)诓煌５刈咧?、試著，卻無(wú)一人成功.數(shù)學(xué)大師歐拉接觸此問(wèn)題后，他巧妙地用數(shù)學(xué)手段將問(wèn)題轉(zhuǎn)化、化簡(jiǎn)，并成功地解決了這個(gè)難題.首先，他將問(wèn)題抽象成圖形：用點(diǎn)代表河岸和小島，用線代表橋（注意上面兩個(gè)圖中的A,B,C,D的對(duì)應(yīng)），于是得到右上圖這個(gè)簡(jiǎn)單的圖形，同時(shí)問(wèn)題相應(yīng)地改為：能否一筆畫(huà)出這個(gè)圖形？為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們首先明確：一筆畫(huà)就是從圖形上某點(diǎn)出發(fā).筆不離開(kāi)紙,并且每條線都只畫(huà)一次不重復(fù).其次，我們定義：若從圖中某點(diǎn)出發(fā)的線的條數(shù)是偶

27、數(shù)，則稱(chēng)該點(diǎn)為偶£；若從圖中某點(diǎn)出發(fā)的線的條數(shù)是奇數(shù)，則稱(chēng)該點(diǎn)為奇點(diǎn).在左圖中，從每一點(diǎn)出發(fā)都有兩條線.因此，這四個(gè)點(diǎn)都是偶點(diǎn).在右圖中有4個(gè)點(diǎn)，從、兩點(diǎn)出發(fā)的線有2條，故、是偶點(diǎn)；從、兩點(diǎn)出發(fā)的線有3條，故這兩個(gè)點(diǎn)是奇點(diǎn).一個(gè)圖形能否一筆畫(huà)成，關(guān)鍵在于圖中的奇點(diǎn)的個(gè)數(shù).歐拉發(fā)現(xiàn)了一個(gè)圖形可以一筆畫(huà)成的判定準(zhǔn)則：一個(gè)圖形能一筆畫(huà)成。一圖中的奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0或2.奇點(diǎn)在一筆畫(huà)中只能作為起點(diǎn)或終點(diǎn).在上述哥尼斯堡七橋問(wèn)題中，所有的點(diǎn)都是奇點(diǎn)，因此，要想一筆畫(huà)出下圖是不可能的，也就是說(shuō)，要想不重復(fù)地走過(guò)哥尼斯堡的七座橋,那是不可能的.歐拉的這項(xiàng)研究導(dǎo)致了拓?fù)鋵W(xué)這門(mén)數(shù)學(xué)分支的誕生很大程度上講，

28、這也促進(jìn)了圖論這門(mén)學(xué)科的創(chuàng)立).例下面的圖形能一筆畫(huà)成嗎？答第1圖可以一筆畫(huà)成.P在第2圖中，e點(diǎn)是偶點(diǎn)，其它點(diǎn)是奇點(diǎn)，所以第2圖不能一筆畫(huà)成.第3圖可以一筆畫(huà)成.很難想象，如果歐拉不是運(yùn)用了圖形符號(hào)而是用河、橋去探討這個(gè)問(wèn)題，結(jié)果將會(huì)是怎樣？那樣的話，解決問(wèn)題的難度要變得很大，更談不上新的數(shù)學(xué)分支的誕生.運(yùn)用類(lèi)似的方法，歐拉還證明了著名的關(guān)于多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F之間的關(guān)系式歐拉公式：VE+F=2.由此人們發(fā)現(xiàn)了正多面體僅有五種：正四面體、正六面體（立方體）、正八面體、正十二面體和正二十面體.關(guān)于歐拉公式，我們可以用四面體和六面體來(lái)驗(yàn)證.VEFV-E+F四面體4642六面體ED81

29、262六人相識(shí)問(wèn)題:在任何6個(gè)人中，必可從中找出3個(gè)人,使得他們要么彼此都相識(shí)，要么彼此都不相識(shí).把這個(gè)抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成“點(diǎn)”與“染色直線；從而巧妙地解答它，這不能不說(shuō)是符號(hào)的一大功勞（要知道，6人之間的相互關(guān)系的可能情況有2c2=215=32768種）.把六個(gè)人用點(diǎn)A、B、C、D、E和F表示.若兩個(gè)人相識(shí),則用紅線連接相應(yīng)的點(diǎn)，若兩人不相識(shí)，則用黑線連接相應(yīng)的點(diǎn).點(diǎn)A與B、C、D、E和F的連線（5條）中，必有三條線的顏色相同,不妨設(shè)AB、AC和AD為紅色.再考慮B、C、D三點(diǎn)間的連線.若它們?nèi)珵楹谏?，則B、C、D三點(diǎn)為所求（左上圖，它們代表的三個(gè)人彼此都不相識(shí)）；若三點(diǎn)間的連線至少有一條為紅色，設(shè)它為BC,這時(shí)A、B、C三點(diǎn)為所求（右上圖，它們代表的三個(gè)人彼此都相識(shí)）.我們還可以有進(jìn)一步的結(jié)論：上述（彼此都相識(shí)或都不相識(shí)的）“三人組”在六個(gè)人中至少存在兩組（證明見(jiàn)本節(jié)末附錄）.順便講一句：若要求彼此相識(shí)或不相識(shí)的人數(shù)是4,則總?cè)藬?shù)要增至18；若要求彼此相識(shí)或不相識(shí)的人數(shù)是5（這時(shí)有1產(chǎn)種組合方式），則總?cè)藬?shù)要增至43人一一49人之間（具體人數(shù)至今不詳）；若要求彼此相識(shí)或不相識(shí)的人數(shù)是6,則總?cè)藬?shù)要增至102人一165