新教材人教版高中數(shù)學(xué)必修143

1、4.4.3不同函數(shù)增長的差異用閶他正豳四(教師獨具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：利用計算器、計算機(jī)畫出幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象，探索、比較它們的變化規(guī)律.教學(xué)重點：比較一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的快慢差異，結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.教學(xué)難點：指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)不同區(qū)間增長快慢的差異.I核心概念掌握I【知識導(dǎo)學(xué)】知識點幾種函數(shù)模型的增長差異(1)當(dāng)a>1時，指數(shù)函數(shù)v=ax是m增函數(shù),并且當(dāng)a越位大時，其函數(shù)值的增長就越快.(2)當(dāng)a>1時，對數(shù)函數(shù)y=logax是03增函數(shù),并且當(dāng)a越04小時，其函數(shù)值的增長就越快.(3)當(dāng)x>0,n&g

2、t;1時，幕函數(shù)y=xn顯然也是05增函數(shù),并且當(dāng)x>1時，n越且大，其函數(shù)值的增長就越快.(4)一般地，雖然指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)在區(qū)間0,+)上都單調(diào)遞位增，但它們的增長速度不同，隨著x的增大，口.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)的增長速度越來越快，即使幽及的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于魚包的值，jBy=ax(a>1)的增長諫度最終都會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于/丫=kx的增長速度.盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，理_亡會小于nkx,但由于55指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)的增長最終會快于遠(yuǎn)一次函數(shù)y=kx(k>0)的增長、因此，總會存在一個xo,當(dāng)x>x

3、o時，恒有恒立>通拄.(5)一般地，雖然對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)在區(qū)間(0,十)上都單調(diào)遞理坦，但它們的增長速度不同.隨著x的增大，團(tuán)一次函數(shù)y=kx(k>0)保持固定的增長速度,而21對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)的增長速度越來越慢.不論圖且的值比J23k的值大多少，在一定范圍內(nèi)，®_logax可能會大干.g5.kx,但由于庭Jogax_的增長慢于J27kx的增長，因此總會存在一個x0,當(dāng)x>x。時，恒有28logax<29kx.【新知拓展】指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的增長差異一般地，在區(qū)間(0,+&#

4、176;°)±,盡管函數(shù)y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上.隨著x的增大，v=ax(a>1)的增長速度越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于v=xn(n>0)的增長速度，而y=logax(a>1)的增長速度則會越來越慢，總會存在一個x。，當(dāng)x>xo時,就有l(wèi)ogax<xn<ax.1 .判一判(正確的打，錯誤的打“X”)(1)函數(shù)y=x2比V=2x增長的速度更快些.()(2)函數(shù)y=kx+b(k>0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變.()

5、(3)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)的增長特點是隨自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢.()答案(1)x(2)V(3)V2 .做一做下圖反映的是下列哪類函數(shù)的增長趨勢()B.幕函數(shù)D.指數(shù)函數(shù)C. y=x100D. y=1002xA. 一次函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)(2)當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中，增長速度最快的應(yīng)該是()A.y=100xB. y=100lnx(3)已知變量x,y滿足y=13x,當(dāng)x增加1個單位時，y的變化情況是答案(1)C(2)D(3)減少3個單位核心素養(yǎng)形成題型一幾類函數(shù)模型增長差異的比較例1四個變量yi,y2,y3,y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表:J71510152025-S

6、30226101226401626901232102132768L05X1053.36X1071.07X109210203040506024.3225.3225,9076.3226.6446.907關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是.解析以爆炸式增長的變量是呈指數(shù)函數(shù)變化的.從表格中可以看出，四個變量yi,y2,y3,y4均是從2開始變化，變量yi,y2,y3,y4都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化.答案y2金版點睛常見的函數(shù)及增長特點(1)線性函數(shù)線性函數(shù)y=kx+b(k>0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變.(2)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函

7、數(shù)y=ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”.(3)對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩.(4)幕函數(shù)幕函數(shù)v=xn(n>0)的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間.跟蹤訓(xùn)練1有一組數(shù)據(jù)如下表:現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是()A.v=log2tB.v=log【t2八t2Tr八C.v=2D.v=2t2答案C解析從表格中看到此函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，排除B;增長速度越來越快，排除A,D,選C.題型二指數(shù)

8、函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)的比較例2函數(shù)£僅)=2'和g(x)=x3的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A(xi,yi),B(x2,y2),且xi<x2.(1)請指出圖中曲線Ci,C2分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷f(6),g(6),f(2018),g(2018)的大小.解(1)當(dāng)x充分大時，圖象位于上方的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y=2x,另一個函數(shù)就是幕函數(shù)y=x3.C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x.(2) .f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),1<x1<2,

9、9<x2<10.-x1<6<x2,2018>x2.從圖象上可以看出，當(dāng)x1<x<x2時，f(x)<g(x),.f(6)<g(6).當(dāng)x>x2時，f(x)>g(x),.f(2018)>g(2018).又g(2018)>g(6),f(2018)>g(2018)>g(6)>f(6).金版點睛由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的方法根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)時，通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù).2,跟蹤訓(xùn)練2函

10、數(shù)f(x)=1.1,g(x)=lnx+1,h(x)=x的圖象如圖所小，試分別指出各曲線對應(yīng)的函數(shù)，并比較三個函數(shù)的增長差異(以1,a,b,c,d,e為分界點).解由指數(shù)爆炸、對數(shù)增長、幕函數(shù)增長的差異可得曲線Ci對應(yīng)的函數(shù)是f(x)1.1x,2曲線C2對應(yīng)的函數(shù)是h(x)=x,曲線C3對應(yīng)的函數(shù)是g(x)=lnx+1.由題圖知，當(dāng)x<1時，f(x)>h(x)>g(x);當(dāng)1<x<e時，f(x)>g(x)>h(x)；當(dāng)e<x<a時，g(x)>f(x)>h(x)；當(dāng)a<x<b時，g(x)>h(x)>f(x)；

11、當(dāng)b<x<c時，h(x)>g(x)>f(x)；當(dāng)c<x<d時，h(x)>f(x)>g(x)；當(dāng)x>d時，f(x)>h(x)>g(x).隨堂水平達(dá)標(biāo)I1 .下列函數(shù)中，隨著x的增大，增長速度最快的是()A.y=50B.y=1000xC.y=0.42D.y-i000e答案D解析指數(shù)函數(shù)y=ax,在a>1時呈爆炸式增長，而且a越大，增長速度越快，選D.2.有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示：w12345yk.L55.913.424.137J'下列所給函數(shù)較適合的是()A.y=logax(a>1)B.y=ax+b(a>1

12、)C.y=ax2+b(a>0)D.y=logax+b(a>1)答案C解析通過所給數(shù)據(jù)可知y隨x增大，其增長速度越來越快，而A,D中的函數(shù)增長速度越來越慢，而B中的函數(shù)增長速度保持不變，故選C.3.當(dāng)2Vx<4時，2x,x2,10g2x的大小關(guān)系是()A.2x>x2>1og2xB.x2>2x>1og2xC.2x>1og2x>x2D,x2>1og2x>2x答案B解析解法一：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=1og2x,y=x2和y=2x的圖象(圖略)，在區(qū)間(2,4)內(nèi)從上往下依次是y=x2,v=2x,y=1og2x的圖象，所以x2>2x>1og2x.解法二：比較三個函數(shù)值的大小，作為選擇題，可以采用特殊值代入法，如取乂=3,經(jīng)檢驗易知選B.4.已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿足關(guān)系v=a(0.5)x+b,現(xiàn)已知該廠今年1月、2月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件、1.5萬件，則此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為萬件.答案1.75解析y=a(0.5)x+b,且當(dāng)x=1時，y=1,當(dāng)x=2時，y=1.5,則有1=ax0.5+b,1.5=ax0.25+b,解得a=-2,b=2.y=2X(0.5)x+2.當(dāng)x=3時，y=2X0.1