題型突破三　立體幾何綜合問題——2022屆高考數(shù)學二輪復習（word版含答案）

1、題型突破立體幾何綜合問題1.如圖,已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形.A1A=6,且A1A底面ABCD.點P,Q分別在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中點,證明AB1PQ;(2)若PQ平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值為37,求四面體A-DPQ的體積.2.九章算術(shù)是我國古代數(shù)學名著,它在幾何學中的研究比西方早1 000多年.在九章算術(shù)中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵;陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉臑指四個面均為直角三角形的四面體.如圖,在塹堵ABC-A1B1C1中,ABAC.(1)求證:四棱錐B -

2、A1ACC1為陽馬;(2)若C1C=BC=2,當鱉臑C1 -ABC體積最大時,求二面角C-A1B -C1的余弦值.3.(2021山東煙臺二中高三三模)在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,AA1=2AB=2.求:(1)BC到平面ADC1B1的距離;(2)二面角B1-AD-E1的余弦值.4.在如圖所示的組合體中,ABCD -A1B1C1D1是一個長方體,P-ABCD是一個四棱錐.AB=2,BC=3,點P平面CC1D1D,且PD=PC=2.(1)證明PD平面PBC;(2)求PA與平面ABCD所成角的正切值;(3)當AA1的長為何值時,PC平面AB1D?5.已知四棱錐S-ABCD的底面

3、ABCD是菱形,ABC=3,SA底面ABCD,E是SC上的任意一點.(1)求證:平面EBD平面SAC;(2)設(shè)SA=AB=2,是否存在點E使平面BED與平面SAD所成的銳二面角的大小為30?如果存在,求出點E的位置;如果不存在,請說明理由.6.已知四邊形ABCD滿足ADBC,BA=AD=DC=12BC=a,E是BC的中點,將BAE沿AE翻折成B1AE,使平面B1AE平面AECD,F為B1D的中點.(1)求四棱錐B1-AECD的體積;(2)證明B1E平面ACF;(3)求平面ADB1與平面ECB1所成銳二面角的余弦值.答案：1.解:由題設(shè)知,AA1,AB,AD兩兩垂直,以A為坐標原點,AB,AD,

4、AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則相關(guān)各點的坐標為A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0m6.(1)證明:若P是DD1的中點,則P0,92,3,PQ=6,m-92,-3.又AB1=(3,0,6),于是AB1PQ=18-18=0,所以AB1PQ,即AB1PQ.(2)由題設(shè)知,DQ=(6,m-6,0),DD1=(0,-3,6)是平面PQD內(nèi)的兩個不共線向量.設(shè)n1=(x,y,z)是平面PQD的法向量,則n1DQ=0,n1DD1=0,即6x+(m-6)y=0,-3y+6z=0.取y=6,得n1

5、=(6-m,6,3)為平面PQD的一個法向量.又平面AQD的一個法向量是n2=(0,0,1),所以cos=n1n2|n1|n2|=31(6-m)2+62+32=3(6-m)2+45 .而二面角P-QD-A的余弦值為37,因此3(6-m)2+45=37,解得m=4或m=8(舍去),此時Q(6,4,0).設(shè)DP=DD1(01),而DD1=(0,-3,6),由此得點P(0,6-3,6),所以PQ=(6,3-2,-6).因為PQ平面ABB1A1,且平面ABB1A1的一個法向量是n3=(0,1,0),所以PQn3=0,即3-2=0,亦即=23,從而P(0,4,4).于是,將四面體A-DPQ視為以ADQ為

6、底面的三棱錐P-ADQ,則其高h=4.故四面體A-DPQ的體積V=13SADQh=1312664=24.2.(1)證明:A1A平面ABC,AB平面ABC,A1AAB.又ABAC,A1AAC=A,AB平面ACC1A1.又四邊形ACC1A1為矩形,四棱錐B -A1ACC1為陽馬.(2)解:ABAC,BC=2,AB2+AC2=4.又C1C底面ABC,且C1C=2,VC1-ABC=13C1C12ABAC=13ABAC13AB2+AC22=23,當且僅當AB=AC=2時,等號成立.ABAC,A1A底面ABC,以A為原點,建立空間直角坐標系如圖所示,則B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2)

7、,C1(0,2,2),A1B=(2,0,-2),BC=(-2,2,0),A1C1=(0,2,0).設(shè)平面A1BC的法向量為n1=(x,y,z),由n1A1B=0,n1BC=0,得2x-2z=0,-2x+2y=0,令x=2,則y=2,z=1,故n1=(2,2,1)為平面A1BC的一個法向量.同理,平面A1BC1的一個法向量為n2=(2,0,1).cos=n1n2|n1|n2|=155.由圖可知,二面角C-A1B-C1的平面角為銳角.故二面角C-A1B -C1的余弦值為155.3.解:(1)連接AE,因為六邊形ABCDEF為正六邊形,所以AFE=DEF=120,AF=EF,所以AEF=30,故AE

8、D=90.因為EE1底面ABCDEF,不妨以點E為坐標原點,EA,ED,EE1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.則A(3,0,0),B(3,1,0),D(0,1,0),B1(3,1,2),E1(0,0,2).在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,BB1CC1且BB1=CC1,所以四邊形BB1C1C為平行四邊形,則BCB1C1.因為BC平面ADC1B1,B1C1平面ADC1B1,所以BC平面ADC1B1,所以BC到平面ADC1B1的距離等于點B到平面ADC1B1的距離.設(shè)平面ADC1B1的法向量為m=(x1,y1,z1).因為AD=(-3,1,0),AB1

9、=(0,1,2),所以mAD=-3x1+y1=0,mAB1=y1+2z1=0,取y1=23,則m=(2,23,-3)為平面ADC1B1的一個法向量,又AB=(0,1,0),所以直線BC到平面ADC1B1的距離d=|ABm|m|=2319=25719.(2)設(shè)平面ADE1的法向量為n=(x2,y2,z2),因為AD=(-3,1,0),DE1=(0,-1,2),所以nAD=-3x2+y2=0,nDE1=-y2+2z2=0,取y2=23,則n=(2,23,3)為平面ADE1的一個法向量,所以cos=mn|m|n|=1319.由圖可知,二面角B1-AD-E1為銳二面角,所以二面角B1-AD-E1的余弦

10、值為1319.4.(1)證明:如圖,建立空間直角坐標系.設(shè)棱長AA1=a,則點D(0,0,a),P(0,1,a+1),B(3,2,a),C(0,2,a).于是PD=(0,-1,-1),PB=(3,1,-1),PC=(0,1,-1),所以PDPB=0,PDPC=0.所以PDPB,PDPC.所以PD垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和PB,由線面垂直的判定定理,得PD平面PBC.(2)解:因為點A(3,0,a),PA=(3,-1,-1),而平面ABCD的一個法向量為n1=(0,0,1),所以cos=-1111=-1111.所以PA與平面ABCD所成角的正弦值為1111.所以PA與平面ABCD所成

11、角的正切值為1010.(3)解:因為點D(0,0,a),B1(3,2,0),A(3,0,a),所以DA=(3,0,0),AB1=(0,2,-a).設(shè)平面AB1D的法向量為n2=(x,y,z),則有DAn2=3x=0,AB1n2=2y-az=0,令z=2,可得平面AB1D的一個法向量為n2=(0,a,2).若要使得PC平面AB1D,則要PCn2,即PCn2=a-2=0,解得a=2.所以當AA1=2時,PC平面AB1D.5.(1)證明:SA平面ABCD,BD平面ABCD,SABD.四邊形ABCD是菱形,ACBD.ACAS=A,BD平面SAC.又BD平面EBD,平面EBD平面SAC.(2)解:設(shè)AC

12、與BD的交點為O,以O(shè)C,OD所在直線分別為x軸、y軸,以過O垂直平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標系(如圖).則點A(-1,0,0),C(1,0,0),S(-1,0,2),B(0,-3,0),D(0,3,0).設(shè)點E(x,0,z),則SE=(x+1,0,z-2),EC=(1-x,0,-z),設(shè)SE=EC,x=-1+1,z=2+1.E-1+1,0,2+1.DE=-1+1,-3,2+1,BD=(0,23,0).設(shè)平面BDE的法向量n=(x1,y1,z1),可得nDE,nBD,nDE=0,nBD=0,即-1+1x1-3y1+2+1z1=0,23y1=0, 令x1=2,可得z1=1-.故n=(

13、2,0,1-)為平面BDE的一個法向量.同理可得平面SAD的一個法向量為m=(3,-1,0).平面BED與平面SAD所成的銳二面角的大小為30,cos 30=|mn|m|n|=|(3,-1,0)(2,0,1-)|24+(1-)2=32,解得=1.E為SC的中點.6.(1)解:如圖,取AE的中點M,連接B1M.由題意可知,AB1E為等邊三角形,且AE=a,所以B1MAE,B1M=32a.又因為平面B1AE平面AECD,所以B1M平面AECD,所以四棱錐B1-AECD的體積V=1332aaasin3=a34.(2)證明:連接ED交AC于點O,連接OF,因為四邊形AECD為菱形,OE=OD,所以FOB1E,所以B1E平面ACF.(3)解:連接MD,則AMD=90,分別以ME,MD,MB1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖,則點Ea2,0,0,Ca,32a,0,A-a2,0,0,D0,32a,0,B10,0,32a,所以EC=a