量子力學(xué)第二章2

1、NoImage第二章第二章 一維勢場一維勢場我們的目標(biāo)是-算命n“三歲看老”n行星的運動-微分方程的勝利n海王星“從筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”微分方程的簡單例子n斜拋運動n1.方程n2.初始條件GdtrdmGam22,就是)0( tv給定預(yù)測的兩個要素n一、普遍規(guī)律n 微分方程n二、具體條件n 初始條件哲學(xué)名詞：決定論n普遍存在因果聯(lián)系和規(guī)律性n未來可以據(jù)此預(yù)測。n量子力學(xué)是不是決定論的？雖然粒子出現(xiàn)的地點不是，概率是完全決定的。量子力學(xué)中的算命：初值問題n兩個要素任何時刻的預(yù)測（初值問題）dvtrtrtrEqSdingeroSchr | ),(| ),()0,(.) .( 概率力學(xué)量平均值得到對波函

2、數(shù)的命運（具體的出發(fā)點）初始條件（規(guī)律）方程Schrodinger方程222.( , )( ) ( , )2( , )( , ).( , )() ( , )2( , )( , )S Eqr tiV rr ttmHTVr tiHr ttS Eqp tpiV ip ttmpp tiHp tt 坐標(biāo)空間中的引入記號就是：動量空間中的就是：Schrodinger方程不同的方程，不同在哪里？不同在于勢。),(212),(21)(),(2),(0)(),()(2),(22222222222trkxxmttrikxxVtxxmttxixVtxxVxmttxi一維諧振子自由粒子一維情況總的進(jìn)攻路線力學(xué)量平均值

3、概率分布),()0 ,(. .trrEqS具體的進(jìn)攻路線局部圖-能量本征方程局部圖-含時部分局部圖-初始條件及展開局部圖-總裝具體的進(jìn)攻路線n具體詳解請記?。哼@里唯一重要的就是前面的路線圖。我們唯一的目標(biāo)就是把這路子走通。研究一種簡單的情況n波函數(shù)含有坐標(biāo)和時間。n簡單情形：n條件：n如果V(r)不顯含時間，則波函數(shù)可以分開為兩個獨立部分。簡單情況的結(jié)論EtiEEEEetfrErHrtfrtrtrrVmttriEqS)()()()()()(),(),()(2),(.22（能量本征方程）求出由方程其解為：坐標(biāo)空間中的上述結(jié)論的推導(dǎo)下面開始重要的另外一步n搞定能量本征方程最為關(guān)鍵的任務(wù)：能量本征方

4、程n要求解能量本征方程n顧名思義，就是解方程。n和線性代數(shù)中的求解本征方程類似，最后的解有配對的兩個部分：n1.能量本征值n2.本征函數(shù)族n需要注意的是：n一般而言，這樣的配對（能量本征值、本征函數(shù)）有不止一對（兩對、三對，甚至無數(shù)對）)()(rErHEE能量本征方程)()()()()()()()(10rErHrEnrrrErHrnnnnnnnnnEEE。和一個對應(yīng)的本征函數(shù)，有一個本征值對應(yīng)一個或者函數(shù)都是一個族一般而言，求得的本征（能量本征方程）求出由方程Luckily.n有些事情不需要做。n只需要記憶。n需要記憶的只有寥寥幾個而已。能量本征方程的例子n1.無限深勢阱22222 , 022

5、-,.6 , 4 , 2 )sin(2,.5 , 3 , 1 )cos(2)(manEaxanaxnanaxnaxnn對應(yīng)能量本征值為坐標(biāo)原點在中心。質(zhì)一樣。形式上和書上不同，實其它地方0-a/2a/2-a/2a/20能量本征方程的例子n1.無限深勢阱22222 , 00 , )sin(2)(manEelsewhereaxaxnaxnn對應(yīng)能量本征值為實質(zhì)一樣。坐標(biāo)原點在左邊，因坐標(biāo)原點選取不同，形式上和前面不同，皆0-a/2a/2-a/2a/20能量本征方程的例子n2.諧振子,.)2 , 1 , 0()21(E)(21)()(n02nnxmkkxxVmnn能量本征值為能量本征函數(shù)為自然頻率質(zhì)

6、量一維諧振子能量本征方程的求解n實質(zhì)是求解常微分方程n數(shù)學(xué)問題，不應(yīng)該成為障礙。能量本征方程，再總結(jié)一下)()()()()()()()(10rErHrEnrrrErHrnnnnnnnnnEEE。和一個對應(yīng)的本征函數(shù)，有一個本征值對應(yīng)一個或者函數(shù)都是一個族一般而言，求得的本征（能量本征方程）求出由方程給圖添點東西除了基本概念，除了基本概念，要記憶總共要記憶總共3個個具體案例。具體案例。下面是另外一步n展開初始條件（就是t=0時刻波函數(shù)）的問題。初始條件的展開n關(guān)于“展開”的回憶。n泰勒展開初始條件的展開n關(guān)于展開的回憶n傅里葉展開初始條件的展開n以前的：n都是用某一個函數(shù)的“族”來展開一個已知的

7、函數(shù)。n將要的：n依然是用“本征函數(shù)族”來展開咱們的初始波函數(shù)。初始條件的展開兩個問題：兩個問題：1.能不能？能不能？2.能了，那該咋整？能了，那該咋整？初始條件的展開n能展開。n展開定理：任意波函數(shù)，都可以用本征函數(shù)族來展開。來展開。也可以用，所以，叫作展開系數(shù)nnnnnnnrrcrcr)()0( , )()(展開：能了，咋個實現(xiàn)？n即展開系數(shù)怎么求？n利用能量本征函數(shù)的正交歸一性。lmmllmmlmlnnmlifmlifrrdvrrr),( , 0 , 1)()()(),()(*簡記為：則必有：態(tài)）是本征函數(shù)（也叫本征能量本征函數(shù)。是一族已經(jīng)歸一化了的體會一下正交歸一性n考慮l=1,m=1

8、的情況n這種情況，說明了什么問題？n考慮l=1,m=2的情況n這種情況，和l=4,m=9的情況，有何相同之處？展開怎么實現(xiàn)？. , )()0 ,(210？怎么求？怎么求？怎么求請考慮：cccrcrnnn展開怎么實現(xiàn)？記號請證明),( , )()0 ,(*mmmnnndVcrcr再給圖添點東西除了基本概念，除了基本概念，要記憶總共要記憶總共3個個具體案例。具體案例。正交歸一性正交歸一性展開的總結(jié)n每個系數(shù)就是求一個積分而已。展開式的歸一化問題？1|)()()()(1)( , )()(2,*,*3,*nnnmnmnmnmnmnmnmnnmmnnncccccrrrdrcrcdVdVdVrrcr一性根

9、據(jù)本征函數(shù)的正交歸另一方面已經(jīng)歸一化，則如果1| , )()(2nnnnncrcr就是已經(jīng)歸一化的充要條件函數(shù)已被本征函數(shù)展開的波1|)()()()(1, 1| , )()(*2,*,*3,*2dVcccccrrrdrcrcdVdVdVcrcrnnnmnmnmnmnmnmnmnnmmnnnnn根據(jù)已知條件有一性根據(jù)本征函數(shù)的正交歸注意到現(xiàn)在要證如果學(xué)到這里n是不是可以回到原來的地圖上，在原來的積分歸一化的旁邊，n加上新的歸一化的方法呢？下面，練習(xí)一下展開這一步。n說白了，展開就是把所有的系數(shù)都求出來。n所以，原則上要計算無窮多個積分。n但是，練習(xí)1：在勢阱中的粒子?),( 2| ),cos()

10、sin(21 (1)0 ,(txaxaxaxiax練習(xí)1：在勢阱中的粒子 2| ),cos()sin(21 (1)0 ,(axaxaxiax有沒有特殊性？提示：看看題給波函數(shù)要求到天荒地老？只是這樣求積分，似乎根據(jù)前面，。這個式子中全部的系數(shù)下面式子數(shù)來展開，就是要給出題給波函數(shù)要用上述函根據(jù)題意，本征函數(shù)為)0 ,()0 ,(,()0 ,(,.6 , 4 , 2 )sin(2,.5 , 3 , 1 )cos(2*1xdxxcccxnaxnanaxnannnnnnnn練習(xí)1：在勢阱中的粒子易見。是否已經(jīng)歸一化？則展開已經(jīng)完成。展開.)(0)(0)( 2)(21)( 2)(21)( )( )2s

11、in(221)cos(221)cos()sin(21 (1)0 ,(43212121xxxixxixxxaxaiaxaaxaxiax練習(xí)2：一維諧振子。來展開請用諧振子的本征函數(shù)為實數(shù)，且滿足：與為諧振子的本征函數(shù)，和其中，時刻波函數(shù)為已知諧振子)0 ,(1)()()()()0 ,(0222020202200 xccccxxxcxcx練習(xí)2：一維諧振子太菜。并且已經(jīng)歸一化。因為容易看出，已經(jīng)展開為實數(shù)，且滿足：與為諧振子的本征函數(shù)，和其中，時刻波函數(shù)為已知諧振子.)(0)(0)()()0 ,(1)()()()()0 ,(0432200222020202200 xxxcxcxccccxxxcxc

12、x關(guān)于展開的小小總結(jié)n兩種類型：n1.其實已經(jīng)是展開了的（具體例子：勢阱；諧振子）；n2.確實需要實際計算的。加入時間因素（一）n給展開了的初始條件加入時間因素n這就是我們需要的解。加入時間因素（二）n還得學(xué)點名詞之類的。加入時間因素（二）n定態(tài)解：直接給本征函數(shù)加入對應(yīng)的時間因素得到的解。n定態(tài)解是方程的解（請自行驗證）n定態(tài)解就是初始時刻位于能量本征態(tài)的解（請自行驗證）。n定態(tài)解的基本性質(zhì)（3條）n注意，定態(tài)解是解，但是還有好多解不是定態(tài)解。n最簡單的例子：定態(tài)解的線性疊加就是解，但不是定態(tài)解。再給圖添點東西除了基本概念，除了基本概念，要記憶總共要記憶總共3個個具體案例。具體案例。正交歸一

13、性正交歸一性其實是用定態(tài)解其實是用定態(tài)解“拼拼”出任意時刻出任意時刻的波函數(shù)。的波函數(shù)。定態(tài)解定態(tài)解1.是解是解2.是初始時刻是初始時刻為能本函數(shù)的解。為能本函數(shù)的解。練習(xí)3：在勢阱中的粒子?),( 2| ),cos()sin(21 (1)0 ,(txaxaxaxiax練習(xí)3：在勢阱中的粒子tiEtiEexiextxccxxxixxixaxaxiax21)( 2)(21),() 1|(.)(0)(0)( 2)(21)( 2)(21)cos()sin(21 (1)0 ,(212221432121加入時間因素：符合已經(jīng)歸一化展開練習(xí)4：一維諧振子。求為實數(shù)，且滿足：與為諧振子的本征函數(shù)，和其中，時

14、刻波函數(shù)為已知諧振子),(1)()()()()0 ,(0222020202200txccccxxxcxcx練習(xí)4：一維諧振子tiEtiEexcexctxxcxcx20)()(),()()()0 ,(022002200加入時間因素：并且已經(jīng)歸一化？時刻波函數(shù)為已知諧振子第五周作業(yè)1?),(sin)cos1 (58)0 ,()0(txaxaxaxax中，粒子在無限深勢阱第五周作業(yè)2n本題只要求進(jìn)行力所能及的思考，然后寫下思考過程即可。n（本題來自今天課間一位同學(xué)的提問）n教材習(xí)題1.3和習(xí)題1.4的完全求解有一點難度，但是如果要考研的同學(xué)必須自己學(xué)會。n那么問題來了：n這兩道題，你怎么看？n思路如

15、何？n你能做到什么程度？作業(yè)1?),(sin)cos1 (58)0 ,()0(txaxaxaxax中，粒子在無限深勢阱麻省理工的試題tiEtiEexextxaxaaxaaxaxax21)(51)(54),(51542sin52sin58sin)cos1 (58)0 ,(2121函數(shù)族請注意選擇合適的本征考研的同學(xué)注意了n簡稱“原來存在，某時刻突然消失的極其狹窄的勢阱”n0時刻之前，微觀粒子處在一個極為狹窄的勢阱中。0時刻，此勢阱突然消失。n求此后該粒子波函數(shù)隨時間的變化。解法n本質(zhì)上還是一個初始時刻波函數(shù)展開的問題。n1.初始時刻的波函數(shù)，“極為狹窄”怎么理解？由此決定了波函數(shù)怎么取。n可考慮

16、函數(shù)。n2.要用哪一個本征函數(shù)族來展開初始波函數(shù)呢？n消失之后的勢是什么？由此決定的S方程是什么？n自然：用自由粒子本征函數(shù)來展開即可。解題的總結(jié)：n分清點菜n堅守菜譜初值問題的菜譜n1.根據(jù)勢能寫清楚S. Eq.。n2.把能量本征問題的答案寫清楚（本征函數(shù)和對應(yīng)本征值都要交代清楚）n3.初始波函數(shù)歸一化。n4.寫清楚初始條件展開的過程（有兩種情況，分別對待），進(jìn)行正確計算。n5.加入時間因素，得到任意時刻的波函數(shù)。初值問題會有衍生題型n都是老問題：n1.歸一化n2.概率分布相關(guān)n3.平均值（看菜譜）來一點變化n變寬的勢阱（習(xí)題2.5）n請嚴(yán)格按照地圖來做。？。瞬間，寬度能級。，處于的勢阱寬度

17、),(20)0(, 01txatEaxat變寬的勢阱，請抄寫出來。解：本征問題已經(jīng)搞定變寬的勢阱222222228)20( ,2sin1)(2)0( ,sin2)(manEaxaxaxormanEaxaxaxnnnn，請抄寫出來。解：本征問題已經(jīng)搞定變寬的勢阱22228)20( ,2sin1)(,20manEaxaxaxann所以選時刻之后，勢阱寬度為由于，請抄寫出來。解：本征問題已經(jīng)搞定變寬的勢阱出來。解：初始條件，請抄寫變寬的勢阱)0( ,sin2)0 ,(axaxax解：初始條件變寬的勢阱請自己畫一個圖。解：初始條件)2( , 0)0( ,sin2)0 ,(axaaxaxax變寬的勢阱0

18、sin2sin2)0 ,(),()0 ,()(01annnndxaxaxnaxxcxx展開系數(shù)。來展開解：使用變寬的勢阱ntiEannnannanexctxxcx)2()(),()()0 ,()2()2(加入時間因素：。解：話題n其實上面那題的積分，可以用軟件來做的。MathematicaMathematicaMathematica繼續(xù)復(fù)習(xí)：能量平均值n在我們已經(jīng)求得任意時刻波函數(shù)的基礎(chǔ)上，如何求任何一個時刻能量的平均值？n請回憶求平均值的方法。能量平均值nnnnnnnnmmnntiEtiEnmnmnmntiEtiEnmnnmtiEtiEnmnmntiEnnnntiEmmntiEnnnmtiE

19、mmntiEnnmtiEmmEcEccEeccxxdVEeccEexxccdVexcEexcdVexcEexcdVexcHexcdVHdVEnmnmnmnmnmnm2*,*,*,*|)()()()()()()()()()(能量平均值nnnEcE2|溫故：看看我們的疆界地圖要擴(kuò)展了更為宏大的n更為宏大的本征值問題n更為宏大的展開問題n更為宏大的測量問題更廣泛的展開問題n回顧：已經(jīng)學(xué)過的是用能量本征函數(shù)展開任意的波函數(shù)。n算符的本征函數(shù)還有其它更重要的意義。n比如，幾乎所有算符的本征函數(shù)都可以用來展開任意的波函數(shù)。n而且歸一化了的展開系數(shù)也是有概率的意義在里面。量子力學(xué)基本假定n迄今為止，3個假定

20、。n下面要深入、全面地學(xué)習(xí)一下。假定一：波函數(shù)的假定是任意的復(fù)常數(shù)。、也是體系的一個態(tài)，們的線性疊加是體系的狀態(tài)，那么他，設(shè)）態(tài)的疊加原理：（找到粒子的概率中正比于在體元）波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋：（時間和空間的復(fù)值函數(shù)一般是函數(shù)完全描述，波函數(shù)）微觀體系的狀態(tài)用波（2122112123| ),(|2),(1ccccdvdvtrtr假定二：薛定諤方程的假定),()(2),(.),()(2),(.),(),(.222tppiVmpttpiEqStrrVmttriEqSVTHtrHttriEqS動量空間中的坐標(biāo)空間中的哈密頓算符：決定：變化由微觀體系狀態(tài)隨時間的假定三：測量的假定下述。有概率的含義，具體見

21、，此時，各則有已經(jīng)歸一化，。如果的本征函數(shù)展開，即用）將（和對應(yīng)的本征值然后得到本征函數(shù)解本征方程：的本征值問題，就是求）先求出（：，計算測量結(jié)果的方法學(xué)量狀態(tài)，若對體系測量力設(shè)體系處于2211|1|)()()()(2)()()(1)(nnnnnnnnnnnnnccrrcrArArrArAAAr假定三：測量的假定。對應(yīng)的本征態(tài)本征值化，進(jìn)入由之后，體系也發(fā)生了變值的體系測量，得到本征當(dāng)對在狀態(tài)）波函數(shù)的坍縮（的平均值另外，測得力學(xué)量。已經(jīng)歸一化），就是假設(shè)的概率是可以確知的（得各個本征值，對于測般是無法確定的。當(dāng)然體是哪一個本征值，一對于本次測量的結(jié)果具測量之前，的諸本征值之一。但是學(xué)量得到的

22、結(jié)果，必定為力測量力學(xué)量kkknnnnnAAAcAAAcAAA3|),( |22測量的假定的值，結(jié)果是？下測量的本征態(tài)如果在力學(xué)量AAn測量的假定。這是本征態(tài)的特殊之處定的。測量，得到的結(jié)果是確換句話說，在本征態(tài)下。一樣的，都是，測得的值都是，而且每一次測不但平均值為（為什么？），所以的概率為另一方面，測得對應(yīng)的本征值。平均值就是這個本征態(tài)下測該力學(xué)量，得到的在力學(xué)量的某個本征態(tài)也就是說簡單套公式的值，結(jié)果是？下測量的本征態(tài)如果在力學(xué)量mmmmmmmAAAAAAAA1),(測量的假定n舉例：n在能量本征態(tài)下測能量，測得的值是確定的，就是對應(yīng)能量本征態(tài)的那個本征值。練習(xí)題n一個簡單的測量問題。，

23、請問測的結(jié)果？態(tài)下的系統(tǒng)測量力學(xué)量）對于在（測得的結(jié)果是？次，最后一次量，又測了對測量后的系統(tǒng)繼續(xù)測，接著量，測得態(tài)下的系統(tǒng)測量哈密頓）對在（）能量平均值為？（能值和相應(yīng)概率？態(tài)下測量哈密頓量的可）在（）歸一化條件？（。對應(yīng)本征值為為能量本征函數(shù)，AEExcxcxcii5104321),()()(2332211練習(xí)題iiiiiiiEccEcccExcxcxc22232221332211|3|,21|1),()()(）能量平均值為（。對應(yīng)概率為能值為各假設(shè)已經(jīng)歸一化，則可能值和相應(yīng)概率？態(tài)下測量哈密頓量的可）在（簡單：）歸一化條件？（。對應(yīng)本征值為為能量本征函數(shù)，練習(xí)題。）就是概率（假設(shè)已經(jīng)歸一

24、化。的本征值之一是那么測得的可能值只能的本征函數(shù)展開，用：要把記得嚴(yán)格按照測量假定，請問測的結(jié)果？態(tài)下的系統(tǒng)測量力學(xué)量）對于在（。次后，結(jié)果還是。所以波函數(shù)都不變：不管那一次測量，。根據(jù)測量假定，其后，波函數(shù)必然坍縮，即直接按照假定來，測得測得的結(jié)果是？次，最后一次量，又測了對測量后的系統(tǒng)繼續(xù)測，接著量，測得態(tài)下的系統(tǒng)測量哈密頓）對在（222222|,510104mmmmmaAAaAAEEE再強調(diào)n一、基本假定，接受就是。n二、測量就是這么回事兒。n再復(fù)習(xí)一下。n請注意，后面還要回過來做測量的習(xí)題，這部分重要?；氐阶儗挼膭葳澹ń滩牧?xí)題2。5）的值式中的概率，那么就是展開能量仍為解：教材習(xí)題中求

25、的是2)2(22222222)(1)2(222cEammaEaa回到變寬的勢阱（教材習(xí)題2。5）2122sin2sin20sin22sin2)0 ,(),(0202022aaaaxdaxaadxaxadxaxaxaxxc）（）（解：。的概率是能量還是這表明：21)(1aE回顧求平均值的方法n目前的菜譜有幾種？請自行總結(jié)。求平均值的方法n一、用波函數(shù)通過積分直接求。n二、如果是可以展開的（用啥子?xùn)|西展開？你可要弄清楚才行），那么可以求出展開系數(shù)，然后用求和的方式來做。n三、兩種方法有沒有啥子聯(lián)系？一維勢場中的粒子（教材2.1）n一維勢場中的粒子，有一些新的基本概念，而且還會有一些特殊的性質(zhì)，需要

26、單獨研究一下。一維勢場中的粒子tiEnnnnnnnnnextxxVxVxExxVdxdmxExHtxxVxmtxti)(),()()()()()(2)()(),()(2),(*2222定態(tài)解為：況（勢能是實函數(shù)）的情今后，只研究就是：本征方程為：一維勢場中的粒子n一、基本概念（必考）n1.簡并n（1）相同的波函數(shù)n如果兩個波函數(shù)只相差一個常數(shù)因子n（2）簡并的波函數(shù)n如果兩個波函數(shù)不相同，但是又能滿足對應(yīng)相同能量本征值的本征方程，則它們是簡并的。這相當(dāng)于一個本征方程對應(yīng)一個本征值有多于一個的解（波函數(shù)）。注意：簡并的波函數(shù)怎么用符號表示？再加一個標(biāo)號即可。一維勢場中的粒子n2.束縛態(tài)n如果粒子

27、只出現(xiàn)在有限的空間中，則粒子處于束縛態(tài)，描寫它的波函數(shù)是束縛態(tài)的波函數(shù)。0)(,|xx一維勢場中的粒子n3.宇稱n（1）波函數(shù)如果滿足n則叫做“具有偶宇稱”，其實就是偶函數(shù)。n（2）波函數(shù)如果滿足n則叫做“具有奇宇稱”，其實就是奇函數(shù)。)()(xx)()(xx需要記憶的一維能量本征態(tài)能量本征態(tài)的一些結(jié)論必定不簡并。束縛態(tài)，則波函數(shù)無奇點）運動，且處于設(shè)粒子在規(guī)則勢場中（有確定的宇稱。并，那么的解無簡，且屬于本征值即具有空間反射對稱性，若也是。程的解，那么是能量本征方，則若即具有空間反射對稱性，若）（請思考該結(jié)論的含義可以取為實解。，則這個解，本征方程的解無簡并如果對應(yīng)本征值。也是解，且本征值也

28、是的解，那么是本征方程本征值為設(shè)，即前提：勢能是實值函數(shù))()(. 5)()- ()()(. 4)- ()()- ()()(. 3)(. 2)()(. 1)()(. 0*xxVxExVxVxVxxxVxVxVxEExExxVxV在考慮證明之前n對于我們已知的：n一維無限深勢阱n一維諧振子n上述定理可以告訴我們什么？n用具體的例子來驗證一些定理，是學(xué)習(xí)它們的好方法。證明n就不需要鳥。請考慮使用上述結(jié)論證明下列命題n（1）一維勢場中的粒子，如果勢函數(shù)具有對稱性，且解無簡并，則能量本征態(tài)下坐標(biāo)的平均值為0.n對不對？n如果對，可以用在哪里？可以回顧一下。n（2）一維束縛本征態(tài)下，動量的平均值為0。n

29、對不對？n如果對，可以用在哪里？可以回顧一下。推薦一種方法來破解n你可能有點暈吧？n看看如果用畫圖的方法效果如何？證明0)()()()()()() 1 (2*xxxdxxxxxdxxxxVxV所以積分區(qū)間對稱，勢函數(shù)具有對稱性被積函數(shù)為奇函數(shù)，又實函數(shù)考慮到波函數(shù)可以取成為奇函數(shù)或者偶函數(shù)。即能量本征函數(shù)之一。即是奇宇稱或者偶宇稱波函數(shù)有確定的宇稱，證明。均值是實數(shù)，所以只有物理上有意義的動量平實數(shù)。這個結(jié)果必然是可以取成實函數(shù)波函數(shù)本征函數(shù)不簡并束縛本征態(tài)0)()()()()()()()()2(pixdxdxdxixdxdixdxxpxdxpx命題的應(yīng)用n1.命題1n注意：成立的條件-本征態(tài)

30、n2.命題2n注意：成立的條件可以更寬一些，束縛態(tài)下實的波函數(shù)都滿足（你能證明嗎？）。能量本征值問題再總結(jié)一下)()()()()()()()(10rErHrEnrrrErHrnnnnnnnnnEEE。和一個對應(yīng)的本征函數(shù)，有一個本征值對應(yīng)一個或者函數(shù)都是一個族一般而言，求得的本征（能量本征方程）求出由方程本征值問題無限深方勢阱（2.2）n前面已經(jīng)講過，這里僅僅復(fù)習(xí)一下。無限深勢阱22222 , 022-,.6 , 4 , 2 )sin(2,.5 , 3 , 1 )cos(2)(manEaxanaxnanaxnaxnn對應(yīng)能量本征值為坐標(biāo)原點在中心。質(zhì)一樣。形式上和書上不同，實其它地方0-a/2a/2-a/2a/20-a/2a/2-a/2a/20無限深勢阱22222 , 00 , )sin(2)(manEelsewhereaxaxnaxnn對應(yīng)能量本征值為實質(zhì)一樣。坐標(biāo)原點在左邊，因坐標(biāo)原點選取不同，形式上和前面不同