2021年高三數學第一輪復習教案(新人教A)空間角

1、9.8 空間角鞏固夯實基礎一、自主梳理1 .過空間任一點。分別作異面直線 a與b的平行線a與b,那么直線a與b所成的 不大于90的角，叫做異面直線a與b所成的角.2 .平面的斜線與它在平面上的射影所成的角叫做這條斜線與平面所成的角3 .過二面角a -l- 3棱上任一點。作垂直于棱l的平面，與面a、3的交線分別為OA、OB,那么/ AOB叫做二面角a -l-3的平面角.4 .求線面角和二面角可以轉化為平面角去求解，也可以轉化為空間兩個向量的夾角去求解.(1)異面直線所成角的向量公式兩異面直線a、b的方向向量分別為 m和n.當m與n的夾角不大于90時，異面直線a、b 所成的角。與 m和n的夾角相等

2、；當m與n的夾角大于90時，直線a、b所成的角。與 m和 n的夾角互補.所以直線 a、b所成的角。=arccos 1n，m | , 0 C (0, ).|n|m|2(2)直線與平面所成角的向量公式直線a的方向向量和平面”的法向量分別為 m和n,若m與n的夾角不大于90時，直線a 與平面”所成的角等于 m與n的夾角的余角；若m與n的夾角大于90 時，直線a與平面a所 成的角等于 m與n的夾角的補角的余角，所以直線 a的方向向量和平面”所成的角。| n ?m |=-arccos2|n|m|或。=arcsin| n ?m |n|m|0 ： 0,.(3)平面與平面所成角的向量公式平面a與平面3的法向量

3、分別為m和n,則二面角與m、n的夾角0相等或互補八 | n?m| 0 =arccos .|n|m|當二面角 a -l- 3 大于 90 時，二面角 0 = % -arccos | n ?m | ., |n|m當二面角 a -l-3 小于 90 時,二面角 0 =arccos | n ? m | .|n|m|除利用上面公式計算面面角外，還可以直接在兩個平面內分別作垂直于兩平面交線的向量m、n,通過計算向量 m、n的夾角來計算兩平面的夾角.注意向量m、n的夾角與兩平面的夾角的關系.二、點擊雙基1 .如果平面的一條斜線長是它在這個平面上射影長的3倍，那么這條斜線與平面所成角的余弦值為()2 3B.3

4、C_2 C.2解析：由直線與平面所成角的定義易知，選A.答案:A2 .平面”的斜線與a所成的角為 30。，則此斜線和a內所有不過斜足的直線所成的角的最大值為()A.30B.60C.90D.150解析:本題易誤選D,因斜線和a內所有不過斜足的直線為異面直線，故最大角為90。.答案:Ci0i B.- 20iC.20.i0 D. i03 .在如圖所示的正方體 AiBiCiDi ABCD中,E是CiDi的中點，則異面直線 DE與AC所成角的 余弦值為()解法一：供9(B)選用建立空間直角坐標系如圖.不妨設正方體的棱長為2,則A(2,0,0),C(0,2,0),E(0,i,2).所以 AC =(-2,2

5、,0), DE =(0,i,2),AC?DEcos AC, DE= 一 一 |AC|DE|_2J02 .2?、5 i0 .解法二：取AiDi中點 F,連結 EF、DF,則EF / AC.在 EFD中，由余弦定理可求得cos/DEF=010答案:D4 .在ABC中,M、N分別是 AB、AC的中點，PM,平面 ABC,當BC=18,PM=3 J3時,PN和平面ABC所成的角是 解析：:PM，平面ABC, / PNM為PN與平面ABC所成的角,tan/PNM= PM =3L3 =2MN 93 ./ PNM=30 .答案：305 .PA、PB、PC是從P點引出的三條射線，它們之間每兩條的夾角都為60

6、,則直線PC與平面PAB所成的角的余弦值為.解:構造正四面體如圖，取AB中點D,連結PD,則/ CPD為直線PC與平面PAB所成白角.過C作CO，PD于。，則O為正三角形 PAB的中心.設PC刊則Pon*,一上PO /3在 RtPOC 中，求得 cos/CPD=PC 33或由 cos60 =cos/CPD - cos30cos/ CPD= .3答案：一3誘思實例點撥【例1】如圖，已知正方體ABCD AiBiCiDi的棱長為1.(1)求BiCi與平面ABiC所成角的正切值(2)求二面角B-BiD-Ci的平面角的大小.(1)解:設 ABiAiB=O,1. BC / BiCi, .BC與面ABiC所

7、成的角即為所求. . /ACB= ZBCBi,2 BC在面ABiC上的射影在 OC上,/BCO即BC與面ABiC所成的角，tan/BCO=-.(2)解法一 ：- BOABi,CiBiBO, .BOL平面 ABiCiD.作OEDBi于點E,連ZEB,則EBDBi,/BEO為所求二面角的平面角的補角，,.2.3.6. 2 - OE=B iOsin Z EBiO= - ,= ,BO= ,，tan/BEO=3,/BEO=60 . 所求二面角的平面角為i20 .解法二：取DiA、DiCi、DiD為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系，則B(i,i,i)、D(0,0,i)、 Ci(0,i,0)、Bi(i,i,0

8、),AB i、DiBi 的中點分別為 O。，11,1)、Oi(i,- ,0),2 2 22 2OCi DBi =(-i, 1,-1) .(i,i,-i)=o, OiB - DBi x1,1/) (i,i,-i)=o,2 22 2 -OCiDBi,OiBDBi.OCi?OiB1 cos 0 =|OCi|OiB| 2. 所求二面角的平面角為120 鏈接提示:首先要找到從二面角的一個.對于新教材而言，三垂線定理的，求得相應二面角.,SAW ABCD,SA=AB=BC高考重視二面角的考查 ，重點是三垂線法作二面角的平面角 面到另一面的一條垂線，再用三垂線定理作出二面角的平面角 意義主要在這里.也可通過

9、求二面角兩個面的兩個法向量的夾角【例2】在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中,/ABC=90=2AD.求面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值，若從定義法入手，必須再找一剖析:顯然，本題中的二面角只有一個公共頂點，屬“無棱二面角” 個公共點，容易發(fā)現BA、CD相交，可得交點E,則SE為二面角的棱 解法一：（定義法）如圖，延長BA、CD交于E,連結SE,則SE為所求二面角的棱. AD / BC,BC=2AD, EA=AB=SA.ESB是直角三角形，且SESB.又 BC，AB,BC，SA, . BC,平面 SBE. SB是SC在面SBE上的射影.SEXSC./ BSC是所求二面角的平面角.在 R

10、t SAB 中，易得 SB= J2 AB.在 RtASBC 43,SC=SB2 BC2 = J3AB.SB .6 一 ，_ .6cos/ BSC=-=-，即面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值為 .解法二：（射影法）如上圖, SAL面ABCD, .,.SAXBC. 又 AB，BC, BC，面 SAB,而 AD / BC, .AD，面 SAB.SDC在面SAB上的射影是 SAB.于是八 S SABcos。=S SDC.SA=AB=BC=2AD,.SB= .2 AB,SC= . 3 AB._. 5SD=DC= 一AB,易求得 SDC中SC邊上的高為.SSDC=AB2sSAB=lAB2，cose

11、匹423故所求二面角的余弦值是解法三：（向量法）如圖所示建立空間直角坐標系Axyz.設 AD=1,則 SA=AB=BC=2,于是 A(0,0,0),D(0,1,0),C(-220),S(0,0,2), AD =(0,1,0)為面 SAB的一個法向量，SD =(0,i,-2), SC=(-2,2,2).設n=(a,b,1)是面SDC的一個法向量，由n - SD =0和n - SC =0得b 2 0, 2a 2b 2 0.a=1,b=2.n=(1,2,1). cos n, AD n?AD _6 |n|AD| = T由圖可知，所求二面角的余弦值為講評:本題是一個沒給出棱的二面角求解問題，分別采用三種方法求解.值得認真體會，優(yōu)化解題思想方法.【例3】已知異面直線a、b所成的角為70。，則過空間任意一點 M可作多少條不同的直線與 a、 b所成的角都是55。.解:過M作a / a,b / b,分直線與a、b共面和異面兩種情況討論.(1)當所作直線與a、b共面時，只有平分110。角的直線l符合題意.(2)當所作直線l與a、b不在同一平面內時(如圖)，在l上取一點P作POL”于O,由于 PM與a、b所成的角相等(55 ),因此,P在“上白射影 O在70角的平分線1i上. / PMA=55 ，/