2-12剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)ppt課件

1、第二章第二章 剛體和流體力學(xué)剛體和流體力學(xué)誰滾得快些？一、剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)一、剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)：用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)討論平動(dòng)：用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)討論剛體在運(yùn)動(dòng)中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。剛體在運(yùn)動(dòng)中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。AA A BB B 剛體剛體:在外力作用下形狀和大小保持不變的物體在外力作用下形狀和大小保持不變的物體.各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置永不發(fā)生變化的質(zhì)點(diǎn)系。各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置永不發(fā)生變化的質(zhì)點(diǎn)系。轉(zhuǎn)動(dòng)：對(duì)點(diǎn)、對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)：對(duì)點(diǎn)、對(duì)軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：各質(zhì)元均作圓周定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心都在一條固定運(yùn)動(dòng)，其圓心都在一條固定不動(dòng)的直線轉(zhuǎn)軸上。不動(dòng)的直線轉(zhuǎn)軸上。O轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸Ot 時(shí)辰時(shí)辰t

2、+t 時(shí)辰時(shí)辰對(duì)定點(diǎn)O剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)既平動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)：質(zhì)心的平動(dòng)加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)既平動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)：質(zhì)心的平動(dòng)加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)ocv.轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸參考參考方向方向PX各質(zhì)元的線速度、加速度一般不同，各質(zhì)元的線速度、加速度一般不同，但角量角位移、角速度、角加速度都相同但角量角位移、角速度、角加速度都相同描述剛體整體的運(yùn)動(dòng)用角量最方便。描述剛體整體的運(yùn)動(dòng)用角量最方便。二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述QP XX角速度方向規(guī)定為沿軸方向，角速度方向規(guī)定為沿軸方向，指向用右手螺旋法則確定。指向用右手螺旋法則確定。rv vr加速轉(zhuǎn)動(dòng)加速轉(zhuǎn)動(dòng) 方向一致方向一致減速轉(zhuǎn)動(dòng)減速轉(zhuǎn)動(dòng) 方向相

3、反方向相反dtd 22dtddtd dtd 比較：比較：221 mvEk 一一 、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能222ki2121E iiiirmvm 221 JEk 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積的一半。與角速度平方乘積的一半。2222221)(21)21( JrmrmEiiiiik 剛體對(duì)給定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)給定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(moment of inertia) iiirmJ)(2 對(duì)于質(zhì)量元連續(xù)分布的剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可寫成對(duì)于質(zhì)量元連續(xù)分布的剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可寫成其中其中r是質(zhì)量元到轉(zhuǎn)軸的距離。是質(zhì)量元到轉(zhuǎn)軸的距離。

4、二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。*剛體的質(zhì)量剛體的質(zhì)量*質(zhì)量的分布質(zhì)量的分布*轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素：與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素：對(duì)于離散型分布的剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為對(duì)于離散型分布的剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 iiirmJ)(2 dmrrmJVniiin212limMimrdldmdsdmdVdm質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布其中其中 、 、 分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。分別為質(zhì)量的線密度

5、、面密度和體密度。留留意意只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的剛體，才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 dmrJ21、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解：細(xì)圓環(huán)解：細(xì)圓環(huán)dldmRdlLCdlRdmRJ222222mRRRdlRL又解又解:222mRdmRdmRJ J J是可加的，所以若為薄圓筒不計(jì)厚度結(jié)果相同。是可加的，所以若為薄圓筒不計(jì)厚度結(jié)果相同。例例2 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R、厚為、厚為l

6、 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為解：取半徑為r寬為寬為dr的薄圓環(huán)的薄圓環(huán),dVdm drlrdmrdJ322 lRdrlrdJJR403212 可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是mR2/2。2221mRJlRm lrdr 2ZOrdr3. 求一質(zhì)量為求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑 為軸的為軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：解： 一球繞一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，離離 球心球心Z高處切一厚為高處切一厚為dz的薄圓盤。

7、其半徑為的薄圓盤。其半徑為22ZRrdZZRdZrdV)(222dZZRdVdm)(22dZZRdmrdJ2222)(2121其體積：其體積：其質(zhì)量：其質(zhì)量：其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：YXZORrdZZdmrdJ2212552158mRR334RmdJJRRdZZR222)(21dZZR222)(21YXZORrdZZ4、求長(zhǎng)為、求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)解：取如圖坐標(biāo)122222/mLdxxJLLC 3202/mLdxxJLA xdxdm=dx dmrJ2平行軸定理平行軸定理前例中前例

8、中JC表示相對(duì)通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，表示相對(duì)通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， JA表示相對(duì)通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩軸平行，相表示相對(duì)通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩軸平行，相距距L/2?？梢姡?。可見：222231411212mLmLmLLmJJCA 推廣上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)推廣上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為心的軸平行，相距為d，剛體對(duì)其轉(zhuǎn)，剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為動(dòng)慣量為J，則有：，則有： JJCmd2。這個(gè)結(jié)論稱為平行軸定理。這個(gè)結(jié)論稱為平行軸定理。MCAd 右圖所示剛體對(duì)經(jīng)過棒端右圖所示剛體對(duì)經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？如何計(jì)算？(棒長(zhǎng)為棒長(zhǎng)為L(zhǎng)、

9、球半、球半徑為徑為R）2131LmJLL 252RmJoo 2002002)(RLmJdmJJL 2225231)(RLmRmLmJooL LmOmFrMz Z2frPO轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面1fF sinrFMz 作用在剛體上的軸的力矩作用在剛體上的軸的力矩三、轉(zhuǎn)動(dòng)定律三、轉(zhuǎn)動(dòng)定律iiiiamfF iiiiiiamfF sinsin 2sinsiniiiiiiiirmrfrF iiiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin2M合合外外力力矩矩0 i ifiFi im Zir 將切向分量式兩邊同乘以將切向分量式兩邊同乘以 ,變換得變換得irJ JM iiirmJ)(2 JM 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體

10、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于剛體上的合外力矩剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于剛體上的合外力矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積。等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積。m反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性, J反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性. JM 與與地位相當(dāng)?shù)匚幌喈?dāng)amF JM JM 是把質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的規(guī)律應(yīng)用到組成剛體的是把質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的規(guī)律應(yīng)用到組成剛體的 質(zhì)點(diǎn)系。質(zhì)點(diǎn)系。 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系剛體剛體研究對(duì)象：剛體研究對(duì)象：剛體理想模型理想模型運(yùn)動(dòng)模式：剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式：剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)研究方法：研究方法：JMmaFz小結(jié)：小結(jié)：平動(dòng)、轉(zhuǎn)

11、動(dòng)的類比：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)的類比：;JJMmmvvF轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mrJd2重點(diǎn)提示：要注意重點(diǎn)提示：要注意 M,I ,是對(duì)于同一根軸的力矩、是對(duì)于同一根軸的力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度。轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用舉例轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用舉例 解題步驟解題步驟: 1. 認(rèn)剛體認(rèn)剛體; 2. 定轉(zhuǎn)軸定轉(zhuǎn)軸,找運(yùn)動(dòng)找運(yùn)動(dòng); 3. 分析力和力矩分析力和力矩; 4. 定轉(zhuǎn)向定轉(zhuǎn)向,列方程。列方程。 特別注意特別注意: 1. 明確轉(zhuǎn)動(dòng)軸位置。明確轉(zhuǎn)動(dòng)軸位置。2. 選定轉(zhuǎn)動(dòng)的正方向選定轉(zhuǎn)動(dòng)的正方向, 注意力矩、角速度、角加速注意力矩、角速度、角加速 度的正負(fù)。度的正負(fù)。 3. 同一方程式中所有量都必須相對(duì)同一轉(zhuǎn)軸。同一方程式中

12、所有量都必須相對(duì)同一轉(zhuǎn)軸。二類問題二類問題:第一類第一類: 由角量運(yùn)動(dòng)由角量運(yùn)動(dòng),求力矩。求力矩。(微分法微分法)第二類第二類: 由力矩及初始條件由力矩及初始條件,求剛體運(yùn)動(dòng)。求剛體運(yùn)動(dòng)。(積分法積分法)例例1 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R的定的定滑輪當(dāng)作均勻圓盤上面繞有細(xì)滑輪當(dāng)作均勻圓盤上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下由靜止下落高度落高度h時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。速度。mgMmmghRRv 241 242Mmm

13、ghahv gMmma2 解解方方程程得得：mg解：解： RamaTmgm :對(duì)對(duì)221 MRJJTRMM：對(duì)對(duì) 例例2、一個(gè)飛輪的質(zhì)量為、一個(gè)飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為，半徑為0.25m,正在以每正在以每分分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)在要制動(dòng)飛輪，要求在轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)。現(xiàn)在要制動(dòng)飛輪，要求在5.0秒秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。摩擦系數(shù)為內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。摩擦系數(shù)為0.2。求閘。求閘瓦對(duì)輪子的壓力瓦對(duì)輪子的壓力N為多大？為多大？F0解：飛輪制動(dòng)時(shí)有角加速度解：飛輪制動(dòng)時(shí)有角加速度t0 20rad/s920s5 0 rad/s7104r1000.min/ t外力矩是摩擦阻力矩，角加速度

14、為負(fù)值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。 2mRJNRRfMr 2mRNR mRN 0Nfr 知：知：M0M1= aJ |t=0=0求：求：（t）=？解：解：1以剛體為研究對(duì)象；以剛體為研究對(duì)象；2分析受力矩分析受力矩3建立軸的正方向；建立軸的正方向；4列方程：列方程：JMM10M+M0M1J例例3 3 一靜止剛體受到一等于一靜止剛體受到一等于 （N.m)N.m)的不變力矩的作的不變力矩的作用用, ,同時(shí)又引起一阻力矩同時(shí)又引起一阻力矩 ， 的大小與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角的大小與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度成正比速度成正比, ,即即 (Nm),( (Nm),( 為常數(shù)為常數(shù)) )。又已知?jiǎng)傮w。又已知?jiǎng)傮w對(duì)轉(zhuǎn)軸的

15、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,J,試求剛體角速度變化的規(guī)律。試求剛體角速度變化的規(guī)律。aM 11M1M0MaM+M0M1=a解：解：4列方程：列方程：JMM10JMM10JaM0JaMdtd0JdtaMd0tJdtaMd000JtMaMa)(ln100JateMaM00)1 (10JateMa分離變量：分離變量：例例4、一根長(zhǎng)為、一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時(shí)角時(shí)的角加速度和角速度。的角加

16、速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對(duì)力矩為重力對(duì)O的力矩。的力矩。 棒棒上取質(zhì)元上取質(zhì)元dm,當(dāng)棒處在下擺當(dāng)棒處在下擺角時(shí)，該質(zhì)量元的重力對(duì)角時(shí)，該質(zhì)量元的重力對(duì)軸的元力矩為軸的元力矩為 Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩為重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩為 coscosmgLgL2122 LgmLmgLJM2331212 coscos LdlgldMM0 cos Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可得代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可得 ddJdtdddJdtdJJM 21 cosmglM代入 dJdmgL

17、 cos21 0021dJdmgL cos22121 JmgL sinLgJmgL sinsin3 dJMd 231mLJ 四、四、 力矩的功力矩的功 MdrdFdsFrdFdW 式中式中 cosFF rFM 21 MdW力矩做功是力做功的角量表達(dá)式力矩做功是力做功的角量表達(dá)式.FrPOdrd Z力矩的瞬時(shí)功率力矩的瞬時(shí)功率 MdtdWp 五、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理五、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 ddJdtdddJJdtdJM 2121 dJdM21222121 JJ 合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功等于剛體合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

18、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理21222121 JJW 六六 、包括剛體的系統(tǒng)的場(chǎng)中機(jī)械能守恒定律、包括剛體的系統(tǒng)的場(chǎng)中機(jī)械能守恒定律 iiiiphmgghmE剛體的重力勢(shì)能等于其重力與質(zhì)心高度之積剛體的重力勢(shì)能等于其重力與質(zhì)心高度之積. 剛體的重力勢(shì)能是組成它的各個(gè)質(zhì)元的重力剛體的重力勢(shì)能是組成它的各個(gè)質(zhì)元的重力勢(shì)能之和勢(shì)能之和.mhmmgEiip CpmghE mymhiic CChim POihh若在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過程中若在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,只有重力做功只有重力做功,其他非保守內(nèi)其他非保守內(nèi)力不做功力不做功,則剛體在重力場(chǎng)中機(jī)械能守恒則剛體在重力場(chǎng)中機(jī)械能守恒.常常量量 CmghJE221 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律例例5 設(shè)一細(xì)桿的質(zhì)量為設(shè)一細(xì)桿的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為L(zhǎng)，一端支以樞軸而能，一端支以樞軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水平靜止釋放。求：當(dāng)桿過鉛直自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水平靜止釋放。求：當(dāng)桿過鉛直位置時(shí)的角速度。位置時(shí)的角速度。知：知：m，L求：求：，1以桿為研究對(duì)象以桿為研究對(duì)象 受力：受力：mg，N不產(chǎn)生不產(chǎn)生對(duì)軸的力矩）對(duì)軸的力矩）建立建立OXYZ