2-12剛體運動學和定軸轉(zhuǎn)動ppt課件

1、第二章第二章 剛體和流體力學剛體和流體力學誰滾得快些？一、剛體的平動和轉(zhuǎn)動一、剛體的平動和轉(zhuǎn)動平動：用質(zhì)心運動討論平動：用質(zhì)心運動討論剛體在運動中，其上任意兩點的連線始終保持平行。剛體在運動中，其上任意兩點的連線始終保持平行。AA A BB B 剛體剛體:在外力作用下形狀和大小保持不變的物體在外力作用下形狀和大小保持不變的物體.各質(zhì)點間的相對位置永不發(fā)生變化的質(zhì)點系。各質(zhì)點間的相對位置永不發(fā)生變化的質(zhì)點系。轉(zhuǎn)動：對點、對軸轉(zhuǎn)動：對點、對軸定軸轉(zhuǎn)動：各質(zhì)元均作圓周定軸轉(zhuǎn)動：各質(zhì)元均作圓周運動，其圓心都在一條固定運動，其圓心都在一條固定不動的直線轉(zhuǎn)軸上。不動的直線轉(zhuǎn)軸上。O轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸Ot 時辰時辰t

2、+t 時辰時辰對定點O剛體的一般運動剛體的一般運動既平動又轉(zhuǎn)動：質(zhì)心的平動加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動既平動又轉(zhuǎn)動：質(zhì)心的平動加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動ocv.轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸參考參考方向方向PX各質(zhì)元的線速度、加速度一般不同，各質(zhì)元的線速度、加速度一般不同，但角量角位移、角速度、角加速度都相同但角量角位移、角速度、角加速度都相同描述剛體整體的運動用角量最方便。描述剛體整體的運動用角量最方便。二、定軸轉(zhuǎn)動的角量描述二、定軸轉(zhuǎn)動的角量描述QP XX角速度方向規(guī)定為沿軸方向，角速度方向規(guī)定為沿軸方向，指向用右手螺旋法則確定。指向用右手螺旋法則確定。rv vr加速轉(zhuǎn)動加速轉(zhuǎn)動 方向一致方向一致減速轉(zhuǎn)動減速轉(zhuǎn)動 方向相

3、反方向相反dtd 22dtddtd dtd 比較：比較：221 mvEk 一一 、剛體的轉(zhuǎn)動動能、剛體的轉(zhuǎn)動動能222ki2121E iiiirmvm 221 JEk 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動動能等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動動能等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與角速度平方乘積的一半。與角速度平方乘積的一半。2222221)(21)21( JrmrmEiiiiik 剛體對給定軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對給定軸的轉(zhuǎn)動慣量(moment of inertia) iiirmJ)(2 對于質(zhì)量元連續(xù)分布的剛體，其轉(zhuǎn)動慣量可寫成對于質(zhì)量元連續(xù)分布的剛體，其轉(zhuǎn)動慣量可寫成其中其中r是質(zhì)量元到轉(zhuǎn)軸的距離。是質(zhì)量元到轉(zhuǎn)軸的距離。

4、二、轉(zhuǎn)動慣量二、轉(zhuǎn)動慣量剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)元的質(zhì)量剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。*剛體的質(zhì)量剛體的質(zhì)量*質(zhì)量的分布質(zhì)量的分布*轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置與轉(zhuǎn)動慣量有關的因素：與轉(zhuǎn)動慣量有關的因素：對于離散型分布的剛體，其轉(zhuǎn)動慣量為對于離散型分布的剛體，其轉(zhuǎn)動慣量為 iiirmJ)(2 dmrrmJVniiin212limMimrdldmdsdmdVdm質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布其中其中 、 、 分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。分別為質(zhì)量的線密度

5、、面密度和體密度。留留意意只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量的剛體，才能用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量 dmrJ21、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解：細圓環(huán)解：細圓環(huán)dldmRdlLCdlRdmRJ222222mRRRdlRL又解又解:222mRdmRdmRJ J J是可加的，所以若為薄圓筒不計厚度結(jié)果相同。是可加的，所以若為薄圓筒不計厚度結(jié)果相同。例例2 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R、厚為、厚為l

6、 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為解：取半徑為r寬為寬為dr的薄圓環(huán)的薄圓環(huán),dVdm drlrdmrdJ322 lRdrlrdJJR403212 可見，轉(zhuǎn)動慣量與可見，轉(zhuǎn)動慣量與l無關。所以，實心圓柱對其軸的無關。所以，實心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是轉(zhuǎn)動慣量也是mR2/2。2221mRJlRm lrdr 2ZOrdr3. 求一質(zhì)量為求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑 為軸的為軸的 轉(zhuǎn)動慣量。轉(zhuǎn)動慣量。解：解： 一球繞一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，離離 球心球心Z高處切一厚為高處切一厚為dz的薄圓盤。

7、其半徑為的薄圓盤。其半徑為22ZRrdZZRdZrdV)(222dZZRdVdm)(22dZZRdmrdJ2222)(2121其體積：其體積：其質(zhì)量：其質(zhì)量：其轉(zhuǎn)動慣量：其轉(zhuǎn)動慣量：YXZORrdZZdmrdJ2212552158mRR334RmdJJRRdZZR222)(21dZZR222)(21YXZORrdZZ4、求長為、求長為L、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細棒對圖中不的均勻細棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。同軸的轉(zhuǎn)動慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標解：取如圖坐標122222/mLdxxJLLC 3202/mLdxxJLA xdxdm=dx dmrJ2平行軸定理平行軸定理前例中前例

8、中JC表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量，表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量， JA表示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相表示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距距L/2?？梢姡??？梢姡?22231411212mLmLmLLmJJCA 推廣上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)推廣上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為心的軸平行，相距為d，剛體對其轉(zhuǎn)，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為動慣量為J，則有：，則有： JJCmd2。這個結(jié)論稱為平行軸定理。這個結(jié)論稱為平行軸定理。MCAd 右圖所示剛體對經(jīng)過棒端右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計算？如何計算？(棒長為棒長為L、

9、球半、球半徑為徑為R）2131LmJLL 252RmJoo 2002002)(RLmJdmJJL 2225231)(RLmRmLmJooL LmOmFrMz Z2frPO轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面1fF sinrFMz 作用在剛體上的軸的力矩作用在剛體上的軸的力矩三、轉(zhuǎn)動定律三、轉(zhuǎn)動定律iiiiamfF iiiiiiamfF sinsin 2sinsiniiiiiiiirmrfrF iiiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin2M合合外外力力矩矩0 i ifiFi im Zir 將切向分量式兩邊同乘以將切向分量式兩邊同乘以 ,變換得變換得irJ JM iiirmJ)(2 JM 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律剛體

10、定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，作用于剛體上的合外力矩剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，作用于剛體上的合外力矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積。等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積。m反映質(zhì)點的平動慣性反映質(zhì)點的平動慣性, J反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性. JM 與與地位相當?shù)匚幌喈攁mF JM JM 是把質(zhì)點力學的規(guī)律應用到組成剛體的是把質(zhì)點力學的規(guī)律應用到組成剛體的 質(zhì)點系。質(zhì)點系。 質(zhì)點質(zhì)點質(zhì)點系質(zhì)點系剛體剛體研究對象：剛體研究對象：剛體理想模型理想模型運動模式：剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動運動模式：剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動研究方法：研究方法：JMmaFz小結(jié)：小結(jié)：平動、轉(zhuǎn)

11、動的類比：平動、轉(zhuǎn)動的類比：;JJMmmvvF轉(zhuǎn)動慣量mrJd2重點提示：要注意重點提示：要注意 M,I ,是對于同一根軸的力矩、是對于同一根軸的力矩、轉(zhuǎn)動慣量和角速度。轉(zhuǎn)動慣量和角速度。轉(zhuǎn)動定律應用舉例轉(zhuǎn)動定律應用舉例 解題步驟解題步驟: 1. 認剛體認剛體; 2. 定轉(zhuǎn)軸定轉(zhuǎn)軸,找運動找運動; 3. 分析力和力矩分析力和力矩; 4. 定轉(zhuǎn)向定轉(zhuǎn)向,列方程。列方程。 特別注意特別注意: 1. 明確轉(zhuǎn)動軸位置。明確轉(zhuǎn)動軸位置。2. 選定轉(zhuǎn)動的正方向選定轉(zhuǎn)動的正方向, 注意力矩、角速度、角加速注意力矩、角速度、角加速 度的正負。度的正負。 3. 同一方程式中所有量都必須相對同一轉(zhuǎn)軸。同一方程式中

12、所有量都必須相對同一轉(zhuǎn)軸。二類問題二類問題:第一類第一類: 由角量運動由角量運動,求力矩。求力矩。(微分法微分法)第二類第二類: 由力矩及初始條件由力矩及初始條件,求剛體運動。求剛體運動。(積分法積分法)例例1 一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R的定的定滑輪當作均勻圓盤上面繞有細滑輪當作均勻圓盤上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下由靜止下落高度落高度h時的速度和此時滑輪的角時的速度和此時滑輪的角速度。速度。mgMmmghRRv 241 242Mmm

13、ghahv gMmma2 解解方方程程得得：mg解：解： RamaTmgm :對對221 MRJJTRMM：對對 例例2、一個飛輪的質(zhì)量為、一個飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為，半徑為0.25m,正在以每正在以每分分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)在要制動飛輪，要求在轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)在要制動飛輪，要求在5.0秒秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。摩擦系數(shù)為內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。摩擦系數(shù)為0.2。求閘。求閘瓦對輪子的壓力瓦對輪子的壓力N為多大？為多大？F0解：飛輪制動時有角加速度解：飛輪制動時有角加速度t0 20rad/s920s5 0 rad/s7104r1000.min/ t外力矩是摩擦阻力矩，角加速度

14、為負值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負值。 2mRJNRRfMr 2mRNR mRN 0Nfr 知：知：M0M1= aJ |t=0=0求：求：（t）=？解：解：1以剛體為研究對象；以剛體為研究對象；2分析受力矩分析受力矩3建立軸的正方向；建立軸的正方向；4列方程：列方程：JMM10M+M0M1J例例3 3 一靜止剛體受到一等于一靜止剛體受到一等于 （N.m)N.m)的不變力矩的作的不變力矩的作用用, ,同時又引起一阻力矩同時又引起一阻力矩 ， 的大小與剛體轉(zhuǎn)動的角的大小與剛體轉(zhuǎn)動的角速度成正比速度成正比, ,即即 (Nm),( (Nm),( 為常數(shù)為常數(shù)) )。又已知剛體。又已知剛體對轉(zhuǎn)軸的

15、轉(zhuǎn)動慣量為對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J,J,試求剛體角速度變化的規(guī)律。試求剛體角速度變化的規(guī)律。aM 11M1M0MaM+M0M1=a解：解：4列方程：列方程：JMM10JMM10JaM0JaMdtd0JdtaMd0tJdtaMd000JtMaMa)(ln100JateMaM00)1 (10JateMa分離變量：分離變量：例例4、一根長為、一根長為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細直棒，其一端的均勻細直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時角時的角加速度和角速度。的角加

16、速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對力矩為重力對O的力矩。的力矩。 棒棒上取質(zhì)元上取質(zhì)元dm,當棒處在下擺當棒處在下擺角時，該質(zhì)量元的重力對角時，該質(zhì)量元的重力對軸的元力矩為軸的元力矩為 Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 重力對整個棒的合力矩為重力對整個棒的合力矩為 coscosmgLgL2122 LgmLmgLJM2331212 coscos LdlgldMM0 cos Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 代入轉(zhuǎn)動定律，可得代入轉(zhuǎn)動定律，可得 ddJdtdddJdtdJJM 21 cosmglM代入 dJdmgL

17、 cos21 0021dJdmgL cos22121 JmgL sinLgJmgL sinsin3 dJMd 231mLJ 四、四、 力矩的功力矩的功 MdrdFdsFrdFdW 式中式中 cosFF rFM 21 MdW力矩做功是力做功的角量表達式力矩做功是力做功的角量表達式.FrPOdrd Z力矩的瞬時功率力矩的瞬時功率 MdtdWp 五、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理五、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 ddJdtdddJJdtdJM 2121 dJdM21222121 JJ 合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所做的功等于剛體合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。轉(zhuǎn)動動能的增量。剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理

18、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理21222121 JJW 六六 、包括剛體的系統(tǒng)的場中機械能守恒定律、包括剛體的系統(tǒng)的場中機械能守恒定律 iiiiphmgghmE剛體的重力勢能等于其重力與質(zhì)心高度之積剛體的重力勢能等于其重力與質(zhì)心高度之積. 剛體的重力勢能是組成它的各個質(zhì)元的重力剛體的重力勢能是組成它的各個質(zhì)元的重力勢能之和勢能之和.mhmmgEiip CpmghE mymhiic CChim POihh若在剛體轉(zhuǎn)動過程中若在剛體轉(zhuǎn)動過程中,只有重力做功只有重力做功,其他非保守內(nèi)其他非保守內(nèi)力不做功力不做功,則剛體在重力場中機械能守恒則剛體在重力場中機械能守恒.常常量量 CmghJE221 機械能守恒定律機械能守恒定律例例5 設一細桿的質(zhì)量為設一細桿的質(zhì)量為m，長為，長為L，一端支以樞軸而能，一端支以樞軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設此桿自水平靜止釋放。求：當桿過鉛直自由旋轉(zhuǎn)，設此桿自水平靜止釋放。求：當桿過鉛直位置時的角速度。位置時的角速度。知：知：m，L求：求：，1以桿為研究對象以桿為研究對象 受力：受力：mg，N不產(chǎn)生不產(chǎn)生對軸的力矩）對軸的力矩）建立建立OXYZ