考研數(shù)學(xué)模擬試題及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 模擬一一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）設(shè)函數(shù)則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（ ）（A）0（B）1 （C）2（D）3（2）設(shè)有兩個(gè)數(shù)列，若，則（ ）（A）當(dāng)收斂時(shí)，收斂. （B）當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散. （C）當(dāng)收斂時(shí)，收斂.（D）當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散.（3）已知函數(shù)對(duì)一切非零滿足（ ）（A）是的極大值（B）是的極小值（C）是曲線的拐點(diǎn)（D）是的極值，但也不是曲線的拐點(diǎn)（4）設(shè)在區(qū)間a,b上 （ ）（A） （B）（C） （D）（5）設(shè)矩陣，則于（ ）（A） 合同，且相似（B）合同，但不相似（

2、C） 不合同，但相似（D）既不合同，也不相似（6）設(shè)均為2階矩陣，分別為的伴隨矩陣，若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為（ ）（A）（B） （C）（D）（7）設(shè)是三個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)事件，且，則下列給定的四對(duì)事件中不相互獨(dú)立的是（ ）（A）與 （B）與 （C）與 （D）與（8）設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且其方差，令，則（ ）（A） （B）（C） （D）二、填空題：9?14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.（9）設(shè)函數(shù) 在處連續(xù)，則 （10）.（11）設(shè)函數(shù)由方程確定，則 （12）曲線與軸所圍成的圖形的面積A為 .（13）若4維列向量滿足，其中為的轉(zhuǎn)置，則矩陣的非零特征值為 （14）設(shè)為來

3、自二項(xiàng)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，和分別為樣本均值和樣本方差。若為的無偏估計(jì)量，則 。三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）求極限（16） （本題滿分10分）求微分方程的解（17）（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)大于零，并滿足，又曲線與所圍的圖形S的面積值為2，求函數(shù)并問為何值時(shí)，圖形一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.（18）（本題滿分10分）就的不同取值情況，確定方程在開區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.（19）（本題滿分10分）求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).（20）（本題滿分10分）已

4、知向量組向量組與向量組 具有相同的秩，且可由線性表示求a,b的值. （21）（本題滿分10分）設(shè)二次型的正負(fù)慣指數(shù)都是1，試計(jì)算的值并用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型（22（本題滿分10分）已知隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，求的聯(lián)合分布函數(shù)（23）（本題滿分12分）設(shè)總體的概率密度為 其中是未知參數(shù).從總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記，（1）求總體的分布函數(shù)；（2）求統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)；（3）如果用作為的估計(jì)量，討論它是否具有無偏性.模擬二一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）設(shè)，其中是有界函數(shù)，則在處（

5、）（A）極限不存在 （B）極限存在，但不連續(xù)（C）連續(xù)，但不可導(dǎo) （D）可導(dǎo)（2）“對(duì)任意給定的，總存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有”是數(shù)列收斂于的 （ ）（A） 充分條件但非必要條件； （B） 必要條件但非充分條件；（C）充分必要條件； （D） 既非充分條件也非必要條件；（3）設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，則（ ）（A）對(duì)任意 （B）對(duì)任意（C）函數(shù)單調(diào)增加 （D）函數(shù)單調(diào)減少（4）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且（不為常數(shù)），由曲線及所圍成平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體積為（ ）（A） （B）（C） （D）（5）設(shè)為矩陣, B為 矩陣, 為 階單位矩陣, 若 , 則（ ） （A） （B）（C） （D）（6）設(shè)

6、向量組：可由向量組：線性表示，則（ ）（A）當(dāng)時(shí)，向量組必線性相關(guān) （B）當(dāng)時(shí)，向量組必線性相關(guān)（C）當(dāng)時(shí)，向量組必線性相關(guān) （D）當(dāng)時(shí)，向量組必線性相關(guān)（7）設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 則（ ）（A）0 （B） （C） （D） （8）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且是區(qū)間是的均勻分布，的概率分布為，記為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則函數(shù)的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3二、填空題：9?14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.（9）設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 （10）微分方程滿足條件的解是. （11）曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（12）設(shè)，則 （13）設(shè)為3階矩陣，為線性

7、無關(guān)的3維列向量，則的非零特征值為（14）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）求極限.（16）（本題滿分10分）已知曲線，求曲線距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn).（17）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)（18）（本題滿分11分）將函數(shù)展開成以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，并計(jì)算.（19）（本題滿分11分）求半球面及旋轉(zhuǎn)拋物面所圍幾何體的表面積.（20）（本題滿分10分）設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根，求的值，并討論是否可相似對(duì)角化.（

8、21）（本題滿分10分）設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求二次曲面為橢球面的概率.（22）（本題滿分11分）一個(gè)電子儀器由兩個(gè)部件構(gòu)成，以和分別表示兩個(gè)部件的壽命（單位：千小時(shí)），已知和的聯(lián)合分布函數(shù)為：（1）問和是否獨(dú)立；（2）求兩個(gè)部件的壽命都超過100小時(shí)的概率.（23）（本題滿分11分）設(shè)總體服從正態(tài)分布，其中參數(shù)已知，未知，是來自總體的容量為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問是的無偏估計(jì)量嗎？模擬三一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在處的增量，與分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增

9、量與微分，若，則（ ）（A） （B） （C） （D）（2）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則等于（ ）（A） （B）（C） （D）（3）設(shè)有三元方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(diǎn)(0,1,1)的一個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程（ ）（A）只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù) （B）可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和（C）可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和（D）可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和（4）設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是（ ）（A）若收斂，則收斂. （B）若單調(diào)，則收斂.（C）若收斂，則收斂.（D）若單調(diào)，則收斂.（5）設(shè)是3維向量空間的一組基，則由基到基的過渡矩陣為（ ）（A） （B） （C） （

10、D）（6）設(shè)是矩陣的兩個(gè)不同的特征值, 是的分別屬于的特征向量, 則（ ）（A）對(duì)任意, 都是的特征向量.（B） 存在常數(shù), 是的特征向量.（C） 當(dāng)時(shí), 不可能是的特征向量.（D）存在惟一的一組常數(shù), 使是的特征向量.（7）兩只一模一樣的鐵罐里都裝有大量的紅球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）內(nèi)的紅球數(shù)與黑球數(shù)之比為，另一罐（取名“乙罐”）內(nèi)的黑球數(shù)與紅球數(shù)之比為，今任取一罐并從中取出只球，查得其中有只紅球和只黑球，則該罐為“甲罐”的概率是該罐為“乙罐”的概率的（ ）(A) (B) 倍 (C) 倍 (D) （8）已知服從二維正態(tài)分布，與的相關(guān)系數(shù)，則與（ ）（A）獨(dú)立且有相同的分布 （B）獨(dú)立

11、且有不相同的分布（C）不獨(dú)立且有相同的分布 （D）不獨(dú)立且有不相同的分布二、填空題：9?14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.（9）_（10）設(shè)，求（11）若二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為，則非齊次方程 滿足條件的解為 （12）已知曲線L的方程為，,起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，則曲線積分（13）設(shè)都是階可逆矩陣，且， 則 （14）隨機(jī)地向半圓為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn), 點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比, 則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于的概率為_.三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分

12、9分）求極限（16）（本題滿分10分）在拋物線上求一點(diǎn)，使得該點(diǎn)的切線與直線所圍成的三角形面積最大（17）（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，若極限存在，證明： （1）在內(nèi)； （2）在內(nèi)存在，使 ； （3）在內(nèi)存在與（2）中相異的點(diǎn)，使（18）（本題滿分10）設(shè)為橢球面的上半部分，點(diǎn)，為在點(diǎn)處的切平面，為原點(diǎn)到的距離，求（19）（本題滿分11分）設(shè)冪級(jí)數(shù)在負(fù)無窮到正無窮內(nèi)收斂，其和函數(shù)冪級(jí)數(shù)為 ，且和函數(shù)（1） 證明：，（2） 求的表達(dá)式（20）（本題滿分11分）設(shè)是實(shí)矩陣，滿足：（1），其中為元素的代數(shù)余子式；（2）；（3）求非齊次線性方程組的解（21）（本題滿分10

13、）設(shè)有元實(shí)二次型，其中為實(shí)數(shù)。試問：當(dāng)滿足何種條件時(shí)，二次型為正定二次型（22）（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布是正方形的均勻分布。試求隨機(jī)變量的概率密度（23）（本題滿分10分）設(shè)總體的概率密度為：，其中是未知參數(shù)，是來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，（1）求的矩估計(jì)量；（2）求.模擬四一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）函數(shù)在區(qū)間上的第一類間斷點(diǎn)是（ ）（A） 0 （B） 1 （C） （D）（2）設(shè)函數(shù)任意階可導(dǎo)，且滿足,則（ ） （A）?為的極小值? （B）為的極大值?（C） 點(diǎn)的拐點(diǎn)

14、? （D）由才能的極值或拐點(diǎn)（3）設(shè)與均為可微函數(shù)，且. 已知是在約束條件下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（ ）（A）若，則.（B）若，則.（C）若，則.（D）若，則.（4）等于（ ）（表示不超過的最大整數(shù)）（A）. （B）.（C）. （D） （5）若都是四維列向量，且四階行列式 則四階行列式（ ） （A） （B） （C） （D） （6）對(duì)于元方程組，下列命題正確的是 （ ）（A）如果只有零解，則有唯一解（B）如果有非零解，則有無窮解（C）如果有兩個(gè)不同解，則有無窮多解（D）有唯一解的充要條件是（7）設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且，。則的分布函數(shù)（ ）（A）是連續(xù)函數(shù) （B）恰有個(gè)間斷點(diǎn) （C） 恰

15、有個(gè)間斷點(diǎn) （D）有無窮多個(gè)間斷點(diǎn)（8）設(shè)，則與 （ ） （A）獨(dú)立且互不相關(guān) （B）互不相關(guān)但不獨(dú)立 （C） 相關(guān) （D）無法判斷二、填空題：9?14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.（9）極限 （10）微分方程的通解為 （11）已知兩直線的方程是，則過且平行于的平面方程為 （12）曲面，所圍立體的體積為 （13）二次型的矩陣是 （14）甲、乙二人輪流投籃，游戲規(guī)則為甲先開始，且甲每輪只投一次，而乙每輪連續(xù)投兩次，先投中者為勝。設(shè)甲、乙每次投籃的命中率分別是與 ，則時(shí)，甲乙勝負(fù)概率相同三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明

16、、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）設(shè)，證明存在，并求其值（16）（本題滿分10分）設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足， ，求（17）（本題滿分10分）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在,，使得 （18）（本題滿分10分）?，若對(duì)于一切的，恒有，問常數(shù)最小應(yīng)取什么值？（19）（本題滿分10分）將展成的冪極數(shù)（20）（本題滿分10分）設(shè)，證明：方程組有解的充分必要條件是方程組無解（其中是矩陣）（21）（本題滿分12分）設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值分別為，是的兩個(gè)不同的特征向量，且（1）求參數(shù)的值；（2）求方程的通解；（3）求矩陣（22）（本題滿分11分）假設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無故障工作時(shí)間X服從指數(shù)分

17、布，平均無故障工作的時(shí)間EX為5小時(shí)。設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī)。試求該設(shè)備每次開機(jī)無故障工作的時(shí)間Y的分布函數(shù)F(y)（23）（本題滿分11分）設(shè)總體的概率密度為 為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，是樣本均值.（1）求參數(shù)的矩估計(jì)量.（2）判斷是否為的無偏估計(jì)量，并說明理由.模擬五一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）當(dāng)是地，下列無窮小中階數(shù)最高的是（ ）（A） （B） （C） （D）（2）函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） （A） （B） （C） （D）（3）設(shè)

18、為的一個(gè)原函數(shù)，且，則等于（ ）（A） （B） （C） （D）（4）設(shè)是閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則極限為（ ）（A） （B） （C） （D） （5）設(shè)為階方陣，是經(jīng)過若干次初等變換后所得到的矩陣，則有（ ）（A） （B）（C）若，則一定有 （D）若，則一定有（6）設(shè)為階方陣，且，則（ ）（A） （B）（C） （D）（7）下列函數(shù)能作為分布函數(shù)的是（ ）（A） （B）（C） （D）（8）設(shè)隨機(jī)變量，對(duì)任意，利用切比雪夫不等式估計(jì)有（ ）（A） （B） （C） （D） 二、填空題：9?14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.（9）已知，則 （10）曲線在點(diǎn)處的曲率 （11）由方程

19、所確定的函數(shù)在點(diǎn)處的全微分 （12）若級(jí)數(shù)收斂，則 （13）設(shè)為三階方陣，且，且已知存在三階方陣，使得，則 （14）在重伯努利試驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)成功的概率為，則成功次數(shù)是奇數(shù)次的概率為 三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）設(shè)連續(xù)函數(shù)在單調(diào)減少，且，若，證明：存在（16）（本題滿分10分）求在圓周上的最大值和最小值（17）（本題滿分10分）過點(diǎn)且滿足關(guān)系式的曲線方程（18）（本題滿分10分）求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)（19）（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)連續(xù)且恒大于零，其中，（1） 討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；（2

20、）證明當(dāng)時(shí)，（20）（本題滿分10分）假設(shè). 如果是方程組的一個(gè)解, 試求 的通解.（21）（本題滿分10分）設(shè)矩陣，求的特征值與特征向量，其中為的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.（22）（本題滿分10分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立,其中X的概率分布為,而Y的概率分布為,試求隨機(jī)變量的概率密度（23）（本題滿分12分）設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù).從總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記，（1）求總體的分布函數(shù)；（2）求統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)；（3）如果用作為的估計(jì)量，討論它是否具有無偏性.數(shù)一?？?答案一、選擇題（1）B （2）C （3）D （4）B （5）D （6）B （7）B （8）A二、填空題（9） （10

21、） （11） （12） （13）3 （14） 三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）求極限【解】：（16）求微分方程的解【解】：令得到 令, 得到為關(guān)于y的一階線性方程. 且解得 所以 , .于是 , , , , 得到, 得解 （17）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)大于零，并滿足，又曲線與所圍的圖形S的面積值為2，求函數(shù)并問為何值時(shí)，圖形一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.【解】由題設(shè)知，當(dāng)即根據(jù)此并由處的連續(xù)性，得又由已知條件得即因此旋轉(zhuǎn)體的體積為得又因故時(shí)，旋轉(zhuǎn)體體積最小.（18）就的不同取值情況，確定方程在開

22、區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.【解】設(shè)則在上連續(xù).由得在內(nèi)的由于當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)減少，在上單調(diào)增加，因此是在內(nèi)的唯一的最小值點(diǎn)，最小值為又因，故在的取值范圍為時(shí)，原方程在內(nèi)沒有根；當(dāng)時(shí)，原方程在內(nèi)有唯一根；當(dāng)時(shí)，原方程在內(nèi)各恰有一根，即原方程在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的根。（19）求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).解：因?yàn)?，所以當(dāng), 即時(shí)，原冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，由萊布尼茲判別法顯然收斂，故原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?又 令 則 由于，所以 . 從而冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，和函?shù)為 .（20）已知向量組向量組與向量組具有相同的秩，且可由線性表示求a,b的值. 【解】方法一：因?yàn)榫€性無關(guān)，所以向量組線性相關(guān)，且秩

23、為為它的一個(gè)極大線性無關(guān)組.由于向量組與具有相同的秩，故線性相關(guān).從而行列式由此解得又可由線性表示，從而可由，于是線性相關(guān).因此有化簡(jiǎn)得于是方法二：因可由線性表示，故線性方程組有解，對(duì)增廣矩陣施行初等行變換：由非齊次線性方程有解的條件知解得又因?yàn)榫€性無關(guān)，所以向量組的秩為2，而題設(shè)與同秩，從而有由此解得（21）設(shè)二次型的正負(fù)慣指數(shù)都是1，試計(jì)算的值并用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。【解】：二次型的矩陣為由二次型的正負(fù)慣性指數(shù)都是1，可知，所以，或又時(shí)，顯然，故只取此時(shí)所以的特征值是當(dāng)時(shí)，解方程組，得基礎(chǔ)解系為當(dāng)時(shí)，解方程組，得基礎(chǔ)解系為當(dāng)時(shí)，解方程組，得基礎(chǔ)解系為將單位化得,因此所求的正交變換為

24、所求的標(biāo)準(zhǔn)型為（22）已知隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，求的聯(lián)合分布函數(shù)【解】：由分布函數(shù)的定義可知，由于只在區(qū)域上取值。因此，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則（23）設(shè)總體的概率密度為 其中是未知參數(shù).從總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記，（1） 求總體的分布函數(shù)；（2） 求統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)；（3） 如果用作為的估計(jì)量，討論它是否具有無偏性.【解】：（1），當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，.（2），所以（3）的概率密度為，所以，可見，即不是的無偏估計(jì).數(shù)一?？级鸢敢?、選擇題：18小題，每小題4分，共32分（1）D （2）C （3）C （4）B （5）A （6）D （7）D （8）B二、填空題：9?14小題，每小題4分，

25、共24分（9） （10）. （11）（12） （13） （14）三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）求極限解：（16）（本題滿分10分）已知曲線，求曲線距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn).解：點(diǎn)到面的距離為，故求上距離面的最遠(yuǎn)點(diǎn)和最近點(diǎn)的坐標(biāo)，等價(jià)于求函數(shù)在條件與下的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn). 令 所以 由(1)(2)得，代入(4)(5)有 ，解得 或 （17）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)解：方法一：在按泰勒公式展開，得其中介于0與x之間，分別令并結(jié)合已知條件，

26、得兩式相減，得由的連續(xù)性，知在閉區(qū)間在上有最大值和最小值，設(shè)它們分別為M、m則有再由連續(xù)函數(shù)的介值定理知至少存在一點(diǎn)方法二：令則則由羅爾定理，知又由羅爾定理，知再由羅爾定理而所以（18）（本題滿分11分）將函數(shù)展開成以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，并計(jì)算解：由于是偶函數(shù)，所以，所以令，則可求出，又所以（19）（本題滿分11分）求半球面及旋轉(zhuǎn)拋物面所圍幾何體的表面積。解：先求兩曲面的交線：由 解得。因此，我們可以將該曲面分為兩部分：和。它們的面積分別為則總面積為（20）（本題滿分10分）設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根，求的值，并討論是否可相似對(duì)角化.解：的特征多項(xiàng)式為 =當(dāng)是特征方程的二重根，則有 解得.當(dāng)

27、時(shí)，的特征值為2,2,6, 矩陣的秩為1，故對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量有兩個(gè)，從而可相似對(duì)角化.若不是特征方程的二重根，則為完全平方，從而，解得 當(dāng)時(shí)，的特征值為2，4，4，矩陣秩為2，故對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè)，從而不可相似對(duì)角化（21）（本題滿分10分）設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求二次曲面為橢球面的概率解：二次型的矩陣為設(shè)的特征值為，則存在正交矩陣，使得，即二次型所以要使二次曲面為橢球面，必須均大于零或都小于零，又的順序主子式為，所以只能是正定陣所以 故二次曲面為橢球面的概率為（22）（本題滿分11分）一個(gè)電子儀器由兩個(gè)部件構(gòu)成，以和分別表示兩個(gè)部件的壽命（單位：千小時(shí)），已知和的聯(lián)

28、合分布函數(shù)為： （1）問和是否獨(dú)立；（2）求兩個(gè)部件的壽命都超過100小時(shí)的概率.解：（1）由于，可知與獨(dú)立。（2）由于與獨(dú)立，可知。（23）（本題滿分11分）設(shè)總體服從正態(tài)分布，其中參數(shù)已知，未知，是來自總體的容量為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問是的無偏估計(jì)量嗎？解：令，則，其概率密度為，的數(shù)學(xué)期望為于是所以是的無偏估計(jì)量數(shù)一?？既鸢敢?、選擇題：（1）B（2）C （3）B （4）B （5）A （6）C （7）D （8）A二、填空題（9）_. （10）0 （11）（12） （13） （14）三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15

29、）（本題滿分9分）求極限解：時(shí)，所以（16）（本題滿分10分）在拋物線上求一點(diǎn)，使得該點(diǎn)的切線與直線所圍成的三角形面積最大。解：過拋物線上一點(diǎn)的切線斜率為，于是切線方程為。將代入直線方程得直線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，類似得到直線與交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。于是三角形面積先找極值點(diǎn)。解得，代入得再找端點(diǎn)。于是使得三角形面積最大的點(diǎn)為（17）（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，若極限存在，證明： （1）在內(nèi)； （2）在內(nèi)存在，使 ； （3）在內(nèi)存在與（2）中相異的點(diǎn)，使證明：（1）因?yàn)榇嬖?，故，由在上連續(xù)，從而。又知在內(nèi)單調(diào)增加，故 , （2）設(shè)， 則，故，滿足柯西中值定理的條件，于是在內(nèi)存在

30、點(diǎn)，使 ， 即 （3）因，在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在內(nèi)存在一點(diǎn)，使，從而由（2）的結(jié)論得 ，即有 。（18）（本題滿分10）設(shè)為橢球面的上半部分，點(diǎn)，為在點(diǎn)處的切平面，為原點(diǎn)到的距離，求解：先求出，設(shè)為上任一點(diǎn)，則的方程為 即 由的方程，于是 這樣 區(qū)域 所以 原式（19）（本題滿分11分）設(shè)冪級(jí)數(shù)在負(fù)無窮到正無窮內(nèi)收斂，其和函數(shù)冪級(jí)數(shù)為 ，且和函數(shù)（1） 證明：，（2） 求的表達(dá)式解:(1)由,得,代入,得比較的系數(shù)可得化簡(jiǎn)即得,(2)又由,可得到所以因此 （20）（本題滿分11分）設(shè)是實(shí)矩陣，滿足：（1），其中為元素的代數(shù)余子式；（2）；（3）求非齊次線性方程組的解解：因?yàn)?，所以有，?/p>

31、即，于是根據(jù)可逆知有唯一解，且（21）（本題滿分10）設(shè)有元實(shí)二次型，其中為實(shí)數(shù)。試問：當(dāng)滿足何種條件時(shí)，二次型為正定二次型。解：由二次型的形式,我們可以作代換寫成矩陣形式為此時(shí)原二次型變形為因此上式為正定陣，要求原二次型正定的充要條件為替換陣是可逆的即即時(shí)，原二次型為正定二次型.（22）（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布是正方形的均勻分布。試求隨機(jī)變量的概率密度解：和的聯(lián)合概率密度為設(shè)的分布函數(shù)為，則由于，可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，可知，進(jìn)而有（23）（本題滿分10分）設(shè)總體的概率密度為：其中是未知參數(shù)，是來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，（1）求的矩估計(jì)量；（2）求.解：（1），所以，故為的矩估

32、計(jì).（2），.數(shù)一模考四答案一、選擇題（1）A （2）C （3）D （4）C （5）C （6）C （7）A （8）C二、填空題（9） （10） （11）（12） （13） （14）三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）設(shè)，證明存在，并求其值證明：由知有界，又由知單調(diào)遞增故收斂，即存在設(shè)，兩邊取極限得，解之得或，又單調(diào)遞增，故不合題意，舍去，因此（16）（本題滿分10分）設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足， ，求 解：， ， 故：， 所以：（17）（本題滿分10分）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在,，使得 證

33、明：由題設(shè)在上滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在，使.又，在上滿足柯西中值定理的條件，故存在，使.合并上兩式可得.（18）（本題滿分10分）?，若對(duì)于一切的，恒有，問常數(shù)最小應(yīng)取什么值？解：由，得令由，知，得所以在上是是單調(diào)遞減的設(shè)相切于點(diǎn)又所以，即，聯(lián)立，可得，或（舍去）時(shí)，可得所以的最小值為（19）（本題滿分10分）將展成的冪極數(shù)解：，而，故有，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂知，（20）（本題滿分10分）設(shè)，證明：方程組有解的充分必要條件是方程組無解（其中是矩陣）【證明】：必要性：設(shè)方程組有解，則對(duì)滿足的向量，從而有，可見方程組無解充分性：設(shè)方程組無解，則線性方程組的增廣矩陣的秩另一方面，所以有。又由

34、于?？芍?，從而方程組有解（21）（本題滿分12分）設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值分別為，是的兩個(gè)不同的特征向量，且（1）求參數(shù)的值；（2）求方程的通解；（3）求矩陣解：（1）若均為的特征向量，則有，矛盾若均為的特征向量，則有，矛盾可見是屬于實(shí)對(duì)稱矩陣的兩個(gè)不同特征值的特征向量，且是屬于特征值的特征向量，是屬于特征值的特征向量，根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，必正交，故有，得（2）因?yàn)榭梢詫?duì)角化，且，可見于是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為，而，因此可作為的基礎(chǔ)解系，又是的特解，故的通解為，為任意常數(shù)（3）設(shè)的另一特征向量為，則與正交，不妨進(jìn)一步要求與也正交，則有，解得由，得（22）（本題滿分11分）

35、假設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無故障工作時(shí)間X服從指數(shù)分布，平均無故障工作的時(shí)間EX為5小時(shí)。設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī)。試求該設(shè)備每次開機(jī)無故障工作的時(shí)間Y的分布函數(shù)F(y)解：由題意可知，其分布函數(shù)。的分布函數(shù)?？芍寒?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。因此，的分布函數(shù)。（23）（本題滿分11分）設(shè)總體的概率密度為 為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，是樣本均值.（1）求參數(shù)的矩估計(jì)量.（2）判斷是否為的無偏估計(jì)量，并說明理由.解：（1），得，參數(shù)的矩估計(jì)量.（2），由于, ，可知，所以不是否為的無偏估計(jì).數(shù)一?？嘉宕鸢敢弧⑦x擇題（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）D （7）C （8）C二、填空題（9） （10） （11）（12） （13） （14）三、解答題