一階線性偏微分方程53797

1、第七章一階線性偏微分方程研究對(duì)象一階線性齊次偏微分方程1基本概念1）一階線性齊次偏微分方程形如（7.1）的方程，稱為一階線性齊次偏微分方程，其中是自變量，是的未知函數(shù)，是域內(nèi)的已知函數(shù)，并設(shè)在域內(nèi)不同時(shí)為零。2）一階擬線性偏微分方程形如（7.2）的方程，稱為一階擬線性偏微分方程，其中是個(gè)變?cè)囊阎瘮?shù)。在其定義域內(nèi)不同時(shí)為零。所謂“擬線性”是指方程僅對(duì)未知函數(shù)的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，以下總設(shè)和在域內(nèi)連續(xù)可微。3）特征方程組常微分方程組（7.3）稱為一階線性齊次偏微分方程（7.1）的特征方程組。常微分方程組（7.4）稱為一階擬線性偏微分方程（7.2）的特征方程組。4）首次積分對(duì)一般的常微分方程

2、組（7.5）其中，右端函數(shù)都在某個(gè)域內(nèi)連續(xù)，設(shè)在域內(nèi)連續(xù)可微，并且不是常數(shù)。如果以方程組（7.5）的任一解代入之后，使得函數(shù)等于與無(wú)關(guān)的常數(shù)，則稱表達(dá)式為方程組（7.5）的一個(gè)首次積分，其中是任意常數(shù)，有時(shí)也簡(jiǎn)稱為首次積分。設(shè)是方程組（7.5）個(gè)首次積分，如果雅可比矩陣中某個(gè)階子陣的行列式不為零，而所有階子陣的行列式都等于零，即雅可比矩陣的秩為，則稱是方程組（7.5）的個(gè)獨(dú)立的首次積分。2基本理論與基本方法1）常微分方程組的首次積分解法定理7.1設(shè)已知微分方程組（7.5）的個(gè)獨(dú)立的首次積分則它們構(gòu)成方程組（7.5）的通積分（或隱式解），并由它們可確定含個(gè)任意常數(shù)的函數(shù)組則該函數(shù)組就是微分方程組

3、（7.5）的通解。常微分方程組的首次積分解法就是通過(guò)求方程組（7.5）的個(gè)獨(dú)立的首次積分來(lái)得到它的通積分（或通解）的方法。首次積分一般可通過(guò)下列兩種方法得到把方程組（7.5）中的部分或全部方程進(jìn)行重新組合，引進(jìn)新的變量代換，以獲得只含一個(gè)未知函數(shù)和一個(gè)自變量的一階方程。利用已得到的積分消去一部分未知函數(shù)，以減少方程和未知函數(shù)的個(gè)數(shù)。2）一階線性齊次偏微分方程與常微分方程組的關(guān)系定理7.2設(shè)函數(shù)在域內(nèi)連續(xù)可微，并且不是常數(shù)，則是常微分方程組（7.5）的首次積分的充分必要條件為在域內(nèi)成立恒等式。設(shè)在域內(nèi)連續(xù)可微，并且代入方程（7.1）之后，能使該式在域內(nèi)成為恒等式，則稱是方程（7.1）的一個(gè)解，域

4、是該解的定義域。定理7.3 是一階線性齊次偏微分方程（7.1）的解的充分必要條件是是方程（7.1）的特征方程組（7.3）的首次積分。3）一階線性齊次偏微分方程的解法定理7.4 設(shè)是一階線性齊次偏微分方程（7.1）對(duì)應(yīng)的特征方程組（7.3）的個(gè)獨(dú)立的首次積分，是任意的連續(xù)可微函數(shù)，則（7.6）包括了方程（7.1）的所有解，稱（7.6）為（7.1）的通解。對(duì)方程（7.1）可給出如下的初始條件（7.7）其中為中某一數(shù)，是給定的數(shù)，為某一給定函數(shù)，求一階線性齊次偏微分方程（7.1）滿足初始條件（7.7）的解的問(wèn)題稱為初值問(wèn)題或柯西問(wèn)題。定理7.5假設(shè)方程（7.1）中在域內(nèi)連續(xù)可微，且，則初值問(wèn)題存在唯一的解，其中是任意給定的數(shù)，是變?cè)囊阎晌⒑瘮?shù)。一階線性齊次偏微分方程的解法步驟1 首先寫出一階線性齊次偏微分方程（7.1）的特征方程組（7.3）。步驟2 求出常微分方程組（7.3）的個(gè)獨(dú)立的首次積分。步驟3寫出通解，其中是各變?cè)娜我膺B續(xù)可微函數(shù)。4）一階擬線性偏微分方程的解法定理7.6 設(shè)是常微分方程組（7.4）的個(gè)獨(dú)立的首次積分，那么，若（7.8）并能從（7.8）確定函數(shù)，則（7.8）即為一階擬線性偏微分方程（7.2）的通解，其中為的任意連續(xù)可微函數(shù)。一階擬線性偏微分方程的解法步驟1 首先寫出（7.2）的特征方程組（7.4）。步