無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)09101學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1無(wú)限無(wú)限(wxin)脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)09101第一頁(yè)，共125頁(yè)。)(jeX0)(jeYc0)()()(nhnxny)()()(jjjeHeXeY0)(jeHc16.1 基本概念基本概念 第2頁(yè)/共124頁(yè)第1頁(yè)/共124頁(yè)第二頁(yè)，共125頁(yè)。數(shù)字濾波數(shù)字濾波(lb)(lb)器：器： 是指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過(guò)一定運(yùn)算關(guān)是指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過(guò)一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的器件。些頻率成分的器件。優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 高精度、高穩(wěn)定性、體積小、重量輕、靈活；高精度、

2、高穩(wěn)定性、體積小、重量輕、靈活；不要求阻抗匹配；不要求阻抗匹配；可實(shí)現(xiàn)特殊濾波可實(shí)現(xiàn)特殊濾波(lb)(lb)功能；功能；通過(guò)通過(guò)A/DCA/DC和和D/ACD/AC，使用數(shù)字濾波，使用數(shù)字濾波(lb)(lb)器對(duì)模擬信器對(duì)模擬信號(hào)處理號(hào)處理第3頁(yè)/共124頁(yè)第2頁(yè)/共124頁(yè)第三頁(yè)，共125頁(yè)。 一、一、 數(shù)字濾波器的分類(lèi)數(shù)字濾波器的分類(lèi)(fn li)1、一般分類(lèi)、一般分類(lèi)(fn li)經(jīng)典濾波器：輸入經(jīng)典濾波器：輸入(shr)(shr)信號(hào)中的有用頻率成分和希信號(hào)中的有用頻率成分和希望濾除望濾除 的頻率成分占用不同頻帶的頻率成分占用不同頻帶 通過(guò)選頻濾波器達(dá)到濾波目的通過(guò)選頻濾波器達(dá)到濾波目

3、的現(xiàn)代濾波器：信號(hào)和干擾的頻帶相互重疊，要利用信現(xiàn)代濾波器：信號(hào)和干擾的頻帶相互重疊，要利用信 號(hào)的統(tǒng)計(jì)號(hào)的統(tǒng)計(jì)(tngj)(tngj)分布規(guī)律，從干擾中最佳提分布規(guī)律，從干擾中最佳提取取 信號(hào)，如：信號(hào)，如： 維納濾波器、維納濾波器、 卡爾曼濾波器、卡爾曼濾波器、 自適應(yīng)濾波器等自適應(yīng)濾波器等第4頁(yè)/共124頁(yè)第3頁(yè)/共124頁(yè)第四頁(yè)，共125頁(yè)。w0-|H(ejw)|低通(LF)頻率響應(yīng)2-2w0-|H(ejw)|高通(HF)頻率響應(yīng)2-2w0-|H(ejw)|帶通BF頻率響應(yīng)2-2w0-|H(ejw)|帶阻BS頻率響應(yīng)2-2特點(diǎn)：特點(diǎn)：(1)(1)單位脈沖響應(yīng)是非因果且無(wú)限長(zhǎng)，不可能實(shí)現(xiàn)

4、單位脈沖響應(yīng)是非因果且無(wú)限長(zhǎng)，不可能實(shí)現(xiàn)(shxin)(shxin)，只能盡，只能盡可可 能逼近；能逼近；(2)DF(2)DF的傳輸函數(shù)是以的傳輸函數(shù)是以2 2為周期，低通的中心頻帶處于為周期，低通的中心頻帶處于2 2的整的整 數(shù)倍處，高通的中心頻帶處于數(shù)倍處，高通的中心頻帶處于的奇數(shù)倍附近。的奇數(shù)倍附近。 2、按功能、按功能(gngnng)分：分：LP、HP、BP、BS、全、全通濾波器通濾波器 第5頁(yè)/共124頁(yè)第4頁(yè)/共124頁(yè)第五頁(yè)，共125頁(yè)。0)(jeHc10)(jeHc1如何用實(shí)際特性逼近如何用實(shí)際特性逼近(bjn)理想特性？理想特性？第6頁(yè)/共124頁(yè)第5頁(yè)/共124頁(yè)第六頁(yè)，共

5、125頁(yè)。3、按實(shí)現(xiàn)、按實(shí)現(xiàn)(shxin)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位抽樣響應(yīng)分：的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位抽樣響應(yīng)分：IIR濾波器濾波器（N階階） NkkkMkkkzazbzH101FIR濾波器濾波器（N-1階階） 10NnnznhzH全極點(diǎn)全極點(diǎn)(jdin)系統(tǒng)或零、極點(diǎn)系統(tǒng)或零、極點(diǎn)(jdin)系統(tǒng)系統(tǒng)全零點(diǎn)全零點(diǎn)(ln din)系統(tǒng)系統(tǒng)第7頁(yè)/共124頁(yè)第6頁(yè)/共124頁(yè)第七頁(yè)，共125頁(yè)。 二、 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程 1）按設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能要求(yoqi)，制定技術(shù)指標(biāo)； 2）用一個(gè)因果穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標(biāo)，根據(jù)不同要求(yoqi)可以用IIR系統(tǒng)函數(shù)，也可以用 FIR

6、系統(tǒng)函數(shù)去逼近； 3）利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算結(jié)構(gòu)、字長(zhǎng)的選擇等。第8頁(yè)/共124頁(yè)第7頁(yè)/共124頁(yè)第八頁(yè)，共125頁(yè)。 三、三、 數(shù)字?jǐn)?shù)字(shz)(shz)濾波器的技術(shù)指標(biāo)濾波器的技術(shù)指標(biāo)jwejjwjweeHeH|H(ejw)|系統(tǒng)的幅頻特性：表示信號(hào)通過(guò)該濾波器后系統(tǒng)的幅頻特性：表示信號(hào)通過(guò)該濾波器后各頻率各頻率(pnl)成分衰減情況。成分衰減情況。(ejw)系統(tǒng)的相頻特性：反映各頻率系統(tǒng)的相頻特性：反映各頻率(pnl)成分通成分通過(guò)濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。過(guò)濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。第9頁(yè)/共124頁(yè)第8頁(yè)/共124頁(yè)第九頁(yè)，共125頁(yè)。第10頁(yè)/共124頁(yè)第9

7、頁(yè)/共124頁(yè)第十頁(yè)，共125頁(yè)。011 通帶截止頻率通帶截止頻率阻帶阻帶(z di)截止頻率截止頻率111PSSP2過(guò)渡帶過(guò)渡帶通帶通帶阻帶阻帶(z di)jweH 通帶容限通帶容限1 阻帶(z di)容限2第11頁(yè)/共124頁(yè)第10頁(yè)/共124頁(yè)第十一頁(yè)，共125頁(yè)。在通帶內(nèi)，幅度在通帶內(nèi)，幅度(fd)(fd)響應(yīng)以最大誤差響應(yīng)以最大誤差11逼近于逼近于1 1，即，即 在阻帶內(nèi)，幅度在阻帶內(nèi)，幅度(fd)(fd)響應(yīng)以誤差小于響應(yīng)以誤差小于22而逼近于零，即而逼近于零，即 2| )(|jeHs|1| )(|11jeH|p 在過(guò)渡帶，從通帶平滑地下降在過(guò)渡帶，從通帶平滑地下降(xijing)

8、到阻帶到阻帶第12頁(yè)/共124頁(yè)第11頁(yè)/共124頁(yè)第十二頁(yè)，共125頁(yè)。在具體技術(shù)指標(biāo)中往往使用通帶允許的最大衰減（波紋在具體技術(shù)指標(biāo)中往往使用通帶允許的最大衰減（波紋(bwn)）和阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減描述，定義分別為：和阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減描述，定義分別為： 2010lg20| )(|lg20| )(| )(|lg20)1lg(20| )(|lg20| )(| )(|lg20ssppjjjsjjjpeHeHeHeHeHeH 假定假定|H(ej0)|=1(已被歸一化已被歸一化)|H(ejc)|=0.707，則，則 =3 dB；wc為為3db通帶截止頻率通帶截止頻率|H(ejs)|=0.001

9、，則，則 =60 dB。ps第13頁(yè)/共124頁(yè)第12頁(yè)/共124頁(yè)第十三頁(yè)，共125頁(yè)。NkkMkkNkkkMkkkzdzcAzazbzH111110)1 ()1 (1)(IIRIIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)就是確定各系數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)就是確定各系數(shù)ak, bkak, bk或零極點(diǎn)或零極點(diǎn)(jdin)ck(jdin)ck，dkdk和和A A，以使濾波器滿足給定，以使濾波器滿足給定的性能要求。的性能要求。四、四、 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)(shj)方法方法第14頁(yè)/共124頁(yè)第13頁(yè)/共124頁(yè)第十四頁(yè)，共125頁(yè)。設(shè)計(jì)方法通常有以下兩種：設(shè)計(jì)方法通常有以下兩種： 1. 1

10、. 先設(shè)計(jì)模擬先設(shè)計(jì)模擬(mn)(mn)濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器wp , wsp, sH(s)H(z)巴特沃思設(shè)計(jì)巴特沃思設(shè)計(jì)(shj)切比雪夫設(shè)計(jì)切比雪夫設(shè)計(jì)(shj)脈沖響應(yīng)不變脈沖響應(yīng)不變雙線性變換法雙線性變換法第15頁(yè)/共124頁(yè)第14頁(yè)/共124頁(yè)第十五頁(yè)，共125頁(yè)。2. 2. 直接直接(zhji)(zhji)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)法 零極點(diǎn)位置累試法零極點(diǎn)位置累試法 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法第16頁(yè)/共124頁(yè)第15頁(yè)/共124頁(yè)第十六頁(yè)，共125頁(yè)。第17頁(yè)/共124頁(yè)第16頁(yè)/共124頁(yè)第十七頁(yè)，共125頁(yè)。第18頁(yè)/共124頁(yè)第17頁(yè)/共124頁(yè)第十

11、八頁(yè)，共125頁(yè)。6.2 常用模擬常用模擬(mn)低通濾波器的設(shè)計(jì)方法低通濾波器的設(shè)計(jì)方法 常用的模擬濾波器原型有常用的模擬濾波器原型有: : 巴特沃思（巴特沃思（ButterworthButterworth）濾波器）濾波器 具有單調(diào)下降具有單調(diào)下降(xijing)(xijing)的幅頻特性的幅頻特性 切比雪夫（切比雪夫（ChebyshevChebyshev）濾波器）濾波器 幅頻特性在通帶或阻帶有波動(dòng)幅頻特性在通帶或阻帶有波動(dòng) 橢圓（橢圓（EllipseEllipse）濾波器）濾波器 通帶和阻帶均為等波紋特性通帶和阻帶均為等波紋特性 貝塞爾（貝塞爾（BesselBessel）濾波器）濾波器 通

12、帶內(nèi)有較好的線性相位特性通帶內(nèi)有較好的線性相位特性以這些數(shù)學(xué)函以這些數(shù)學(xué)函數(shù)命名的濾波數(shù)命名的濾波器是低通濾波器是低通濾波器的原型器的原型第19頁(yè)/共124頁(yè)第18頁(yè)/共124頁(yè)第十九頁(yè)，共125頁(yè)。圖圖 各種各種( ( zhn zhn) )理想模擬濾波器的幅頻特性理想模擬濾波器的幅頻特性 )(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c第20頁(yè)/共124頁(yè)第19頁(yè)/共124頁(yè)第二十頁(yè)，共125頁(yè)。|Ha(j )|0.707 p s通帶通帶阻帶阻帶過(guò)過(guò)渡渡帶帶10 C p s通帶通帶過(guò)過(guò)渡渡帶帶阻帶阻帶 (dB) 衰減衰減 p S 0第21頁(yè)/共124頁(yè)第20頁(yè)/共124頁(yè)第二

13、十一頁(yè)，共125頁(yè)。22220lg100lg10saaspaapjHjHjHjH圖中c稱為(chn wi)3dB截止頻率，因 ()1/2, 20lg()3acacHjHjdB()1/ 2, 20lg()3acacHjHjdB22lg10lg101010saspapajHjHjH，即處幅度已歸一化到如果第22頁(yè)/共124頁(yè)第21頁(yè)/共124頁(yè)第二十二頁(yè)，共125頁(yè)。2、 逼近方法逼近方法用頻率響應(yīng)用頻率響應(yīng)(pn l xin yn)的幅度平方函數(shù)逼近的幅度平方函數(shù)逼近)()(| )(|*2jHjHjHaaa由于濾波器沖激響應(yīng)由于濾波器沖激響應(yīng)ha(t)是實(shí)函數(shù)，因而是實(shí)函數(shù)，因而(yn r)Ha

14、(j)滿足滿足 )()(*jHjHaajsaaaaasHsHjHjHjH| )()()()(| )(|2第23頁(yè)/共124頁(yè)第22頁(yè)/共124頁(yè)第二十三頁(yè)，共125頁(yè)。u 如何如何(rh)由由|Ha(j)|2求求Ha(s)？jsaaaaasHsHjHjHjH| )()()()(| )(|2穩(wěn)定的濾波器要求左半平面的極點(diǎn)一穩(wěn)定的濾波器要求左半平面的極點(diǎn)一定屬于定屬于(shy)Ha(s)(shy)Ha(s)，則右半平面，則右半平面的極點(diǎn)必屬于的極點(diǎn)必屬于(shy)Ha(-s)(shy)Ha(-s)；將以虛軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱零點(diǎn)的任一將以虛軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱零點(diǎn)的任一半作為半作為Ha(s)Ha(s)的零

15、點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸半歸Ha(s)Ha(s)。第24頁(yè)/共124頁(yè)第23頁(yè)/共124頁(yè)第二十四頁(yè)，共125頁(yè)。由由|Ha(j)|2|Ha(j)|2確定確定Ha(s)Ha(s)的方法：的方法：由幅度平方函數(shù)得象限由幅度平方函數(shù)得象限(xingxin)(xingxin)對(duì)稱的對(duì)稱的s s平面函平面函數(shù)；數(shù)；將將Ha(s)Ha(-s)Ha(s)Ha(-s)因式分解，得到各零極點(diǎn)；因式分解，得到各零極點(diǎn)；對(duì)比對(duì)比Ha(j)Ha(j)和和Ha(s)Ha(s)，確定增益常數(shù)；，確定增益常數(shù)；由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得Ha(s)Ha(s)。第25頁(yè)/共124頁(yè)第24

16、頁(yè)/共124頁(yè)第二十五頁(yè)，共125頁(yè)。2222236492516jHa 222223649251622sssjHsHsHsaaa 67252sssksHa 672544200ssssHkjHsHaasa第26頁(yè)/共124頁(yè)第25頁(yè)/共124頁(yè)第二十六頁(yè)，共125頁(yè)。二、二、 巴特沃思低通逼近巴特沃思低通逼近(bjn)NcajH22)/(11|)(|u N為正整數(shù)，代表為正整數(shù)，代表(dibio)濾波器的階數(shù)。濾波器的階數(shù)。u 當(dāng)當(dāng)=0時(shí)，時(shí)，|Ha(j0)|=1； u 當(dāng)當(dāng)=c時(shí)，時(shí)，|Ha(jc)|=0.707，20lg|Ha(j0)/Ha(jc)|=3 dB， c為為3 dB截截止頻率。（

17、止頻率。（3分貝帶寬）分貝帶寬）第27頁(yè)/共124頁(yè)第26頁(yè)/共124頁(yè)第二十七頁(yè)，共125頁(yè)。 1) 在通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減??；在通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減??； 2) 過(guò)渡帶及阻帶過(guò)渡帶及阻帶(z di)內(nèi)快速單調(diào)減?。粌?nèi)快速單調(diào)減?。?3) N越大，通帶內(nèi)特性越平坦，過(guò)渡帶越窄；越大，通帶內(nèi)特性越平坦，過(guò)渡帶越窄； 4) 3dB不變性不變性;1. 1. 幅度幅度(fd)(fd)函數(shù)的特點(diǎn)函數(shù)的特點(diǎn)第28頁(yè)/共124頁(yè)第27頁(yè)/共124頁(yè)第二十八頁(yè)，共125頁(yè)。NcjsNcaaajssHsHjH2221111)()(Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)的極點(diǎn)(jdin)為為 N

18、kjccNkejs2122121)() 1(k=0,1, 2, , 2N-1 Ha(s)Ha(-s)的的2N個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)(jdin)等間隔分布在半徑為等間隔分布在半徑為c的的圓上。圓上。 2. 2. 幅度平方幅度平方(pngfng)(pngfng)特性特性的極點(diǎn)分布的極點(diǎn)分布全極點(diǎn)系統(tǒng)全極點(diǎn)系統(tǒng)第29頁(yè)/共124頁(yè)第28頁(yè)/共124頁(yè)第二十九頁(yè)，共125頁(yè)。ooc / 3jjc / 4(a) N3(b) N4 極點(diǎn)在極點(diǎn)在s平面呈象限平面呈象限(xingxin)對(duì)稱，分布在巴對(duì)稱，分布在巴特沃思圓上，共特沃思圓上，共2N個(gè)；個(gè)； 極點(diǎn)間的角度間隔為極點(diǎn)間的角度間隔為/N rad； 極點(diǎn)極點(diǎn)(j

19、din)不會(huì)落在虛軸上（起點(diǎn)不會(huì)落在虛軸上（起點(diǎn)(/2)+ (/2N)）；）； N=奇數(shù)奇數(shù) 實(shí)軸上有極點(diǎn)實(shí)軸上有極點(diǎn)(jdin)，N=偶數(shù)偶數(shù) 實(shí)軸上無(wú)極點(diǎn)實(shí)軸上無(wú)極點(diǎn)(jdin)。第30頁(yè)/共124頁(yè)第29頁(yè)/共124頁(yè)第三十頁(yè)，共125頁(yè)。 為形成穩(wěn)定的濾波器，Ha(s)Ha(-s)的2N個(gè)極點(diǎn)中只取S左半平面(pngmin)的N個(gè)極點(diǎn)為Ha(s)的極點(diǎn)，而右半平面(pngmin)的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)的極點(diǎn)。10)()(NkkNcasssHNkjckes21221k=0,1, 2, , 2N-1 3. 濾波器系統(tǒng)濾波器系統(tǒng)(xtng)函數(shù)函數(shù)Ha(s)230121 33231345

20、 jccjjccjccsessesesse 設(shè)設(shè)N=3N=3，極點(diǎn)有，極點(diǎn)有6 6個(gè)，它們個(gè)，它們(t men)(t men)分分別為別為 32323jccjccaessessH第31頁(yè)/共124頁(yè)第30頁(yè)/共124頁(yè)第三十一頁(yè)，共125頁(yè)。 cspaapHsHu由于各濾波器的幅頻特性不同由于各濾波器的幅頻特性不同(b tn(b tn) )，為使設(shè)，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對(duì)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對(duì)3dB3dB截止截止頻率頻率cc歸一化歸一化u s/c=j/c s/c=j/c u =/c =/c，稱為歸一化頻率；稱為歸一化頻率；u p=j p=j，p p稱為歸一

21、化復(fù)變量，歸一化巴特沃斯稱為歸一化復(fù)變量，歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為的傳輸函數(shù)為101( )()aNkkccHsss101( )()aNkkHppp4 4、歸一化系統(tǒng)、歸一化系統(tǒng)(xtng)(xtng)函數(shù)函數(shù)第32頁(yè)/共124頁(yè)第31頁(yè)/共124頁(yè)第三十二頁(yè)，共125頁(yè)。121()22,0,1,1kjNkpekN2101211( )aNNNHpbb pb pbpp第33頁(yè)/共124頁(yè)第32頁(yè)/共124頁(yè)第三十三頁(yè)，共125頁(yè)。 （1）確定(qudng)模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)p, s，p s ； （2） 根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：5. 5. 濾波器的設(shè)計(jì)濾波器的設(shè)計(jì)(shj)(shj)步步驟

22、驟NcppapapjHjH2211lg201101 . 02pNcp通帶截止頻率關(guān)于通帶截止頻率關(guān)于c歸一化歸一化NcssasasjHjH2211lg201101 . 02sNcs阻帶截止頻率關(guān)于阻帶截止頻率關(guān)于c歸一化歸一化第34頁(yè)/共124頁(yè)第33頁(yè)/共124頁(yè)第三十四頁(yè)，共125頁(yè)。1101 . 02pNcp1101 . 02sNcs1101101 . 01 . 0spNsp,pssp 令令：110110k1 . 01 . 0spspspspkN lglg 取大于等于取大于等于(dngy)N(dngy)N的的最小整數(shù)最小整數(shù)第35頁(yè)/共124頁(yè)第34頁(yè)/共124頁(yè)第三十五頁(yè)，共125頁(yè)。

23、3）求出歸一化系統(tǒng)）求出歸一化系統(tǒng)(xtng)函數(shù)函數(shù)Ha (p) NkkapppH11Nkjkep21221k=0,1, 2, , N-1 巴特沃思圓巴特沃思圓第36頁(yè)/共124頁(yè)第35頁(yè)/共124頁(yè)第三十六頁(yè)，共125頁(yè)。第37頁(yè)/共124頁(yè)第36頁(yè)/共124頁(yè)第三十七頁(yè)，共125頁(yè)。巴特沃斯歸一化低通濾波器分母巴特沃斯歸一化低通濾波器分母(fnm)多項(xiàng)式的因式分解多項(xiàng)式的因式分解第38頁(yè)/共124頁(yè)第37頁(yè)/共124頁(yè)第三十八頁(yè)，共125頁(yè)。巴特沃斯歸一化低通濾波器分母巴特沃斯歸一化低通濾波器分母(fnm)(fnm)多項(xiàng)多項(xiàng)式系數(shù)式系數(shù)第39頁(yè)/共124頁(yè)第38頁(yè)/共124頁(yè)第三十九頁(yè)，

24、共125頁(yè)。 4）去歸一化）去歸一化 caspaacsHpHsHspc)(通帶指標(biāo)剛好通帶指標(biāo)剛好(gngho)，阻帶指標(biāo)有，阻帶指標(biāo)有富裕富裕阻帶指標(biāo)阻帶指標(biāo)(zhbio)剛好，通帶指標(biāo)剛好，通帶指標(biāo)(zhbio)有富裕有富裕pNcp1 . 02101sNcs1 . 02101Npcp211 . 0) 110(Nscs211 . 0) 110(第40頁(yè)/共124頁(yè)第39頁(yè)/共124頁(yè)第四十頁(yè)，共125頁(yè)。0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN 第41頁(yè)/共124頁(yè)第40頁(yè)/共124頁(yè)第四十一頁(yè)，共125頁(yè)。歸一化傳輸

25、歸一化傳輸(chun sh)函數(shù)為函數(shù)為401()()akkHppppk=ej (+(2k+1)/2N) k=0,1,2,N-15745632541530jjjjjepepepepep第42頁(yè)/共124頁(yè)第41頁(yè)/共124頁(yè)第四十二頁(yè)，共125頁(yè)。5432432101( )aHppb pb pb pb pb b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361 11618. 11618. 0122ppppppHa第43頁(yè)/共124頁(yè)第42頁(yè)/共124頁(yè)第四十三頁(yè)，共125頁(yè)。將將p=s/cp=s/c代入代入Ha(p)Ha(p)中得到中得到(d (d

26、 do)do)：554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsb10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckrad skrad s 此時(shí)算出的截止頻率比題目中給出的小，或者說(shuō)在截止頻率處的衰減(shui jin)大于30dB，所以說(shuō)阻帶指標(biāo)有富裕量。b0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361第44頁(yè)/共124頁(yè)第43頁(yè)/共124頁(yè)第四十四頁(yè)，共125頁(yè)。比同階的比同階的Butterworth濾波器具有濾波器具有(jyu)更陡峭更陡峭的過(guò)渡帶和更優(yōu)的阻帶衰減特性的過(guò)渡

27、帶和更優(yōu)的阻帶衰減特性.振幅具有振幅具有(jyu)等波紋等波紋.(1) Chebyshev低通濾波器特點(diǎn)低通濾波器特點(diǎn)(tdin)第45頁(yè)/共124頁(yè)第44頁(yè)/共124頁(yè)第四十五頁(yè)，共125頁(yè)。第46頁(yè)/共124頁(yè)第45頁(yè)/共124頁(yè)第四十六頁(yè)，共125頁(yè)。 ，表示通帶波紋大小，表示通帶波紋大小， 越大，波紋越大越大，波紋越大01N：濾波器的階數(shù)：濾波器的階數(shù))(11)()(2222pNaCjHA ：N階階Chebyshev多項(xiàng)式多項(xiàng)式( )NCx通帶截止頻率:p第47頁(yè)/共124頁(yè)第46頁(yè)/共124頁(yè)第四十七頁(yè)，共125頁(yè)。1),(1),arccoscos()(xNArchxchxxNxCN

28、第48頁(yè)/共124頁(yè)第47頁(yè)/共124頁(yè)第四十八頁(yè)，共125頁(yè)。)1ln(,22xxArchxeechxxx第49頁(yè)/共124頁(yè)第48頁(yè)/共124頁(yè)第四十九頁(yè)，共125頁(yè)。N為偶為偶數(shù)數(shù)2( 0)1/ 1aHjN為奇為奇數(shù)數(shù)( 0)1aHj0 v )(11)(22pNaCjH211)(,jHap時(shí)之間等波紋起伏和在通帶內(nèi)2111:p增大迅速下降隨通帶外:p第50頁(yè)/共124頁(yè)第49頁(yè)/共124頁(yè)第五十頁(yè)，共125頁(yè)。(2) 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)(shj)原理原理)(11)()(222pNaCjHA)(11)()(22pNaajsCsHsH)(,sHa確定求極點(diǎn)第51頁(yè)/共124頁(yè)第50頁(yè)/共124頁(yè)第五十

29、一頁(yè)，共125頁(yè)。;,和參數(shù)確定階數(shù)和由技術(shù)指標(biāo)Nsspp)()(11psArchkArchN其中其中(qzhng)1101101 . 01 . 011psk1101 . 0p第52頁(yè)/共124頁(yè)第51頁(yè)/共124頁(yè)第五十二頁(yè)，共125頁(yè)。)()2(sHa求)1(1, 2 , 1,)212cos()212sin()(ArshNNiNichNichjssHpipiiiia其中的極點(diǎn)確定)(sHa用左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成第53頁(yè)/共124頁(yè)第52頁(yè)/共124頁(yè)第五十三頁(yè)，共125頁(yè)。6.3 6.3 模擬模擬(mn)(mn)濾波器的頻率變換濾波器的頻率變換 AF濾波器LP其他AF濾波器HP, BP, B

30、S設(shè)：傳輸(chun sh)函數(shù)歸一化截止頻率歸一化拉氏變量(binling)p=jq=j歸一化傳輸函數(shù)G(p)H(q) sG各類(lèi)模擬濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程圖 HPBPBS指標(biāo)LP指標(biāo)G(j)傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)頻率變換頻率變換設(shè)計(jì)jHjHjHBSBPHP sH第54頁(yè)/共124頁(yè)第53頁(yè)/共124頁(yè)第五十四頁(yè)，共125頁(yè)。0jGjH0sccscssc低通到高通低通到高通第55頁(yè)/共124頁(yè)第54頁(yè)/共124頁(yè)第五十五頁(yè)，共125頁(yè)。sccs00:00:sccs0csccsssc第56頁(yè)/共124頁(yè)第55頁(yè)/共124頁(yè)第五十六頁(yè)，共125頁(yè)。jjjcccc2ssccjs ccc11qpsscc1第57頁(yè)

31、/共124頁(yè)第56頁(yè)/共124頁(yè)第五十七頁(yè)，共125頁(yè)。 qppGqH1 csqqHsH spcpGsH第58頁(yè)/共124頁(yè)第57頁(yè)/共124頁(yè)第五十八頁(yè)，共125頁(yè)。解解:高通技術(shù)要求高通技術(shù)要求(yoqi)： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB歸一化頻率歸一化頻率低通技術(shù)低通技術(shù)(jsh)要求：要求：11,23,15psspsdBdB5 . 01cscsscpcppffff第59頁(yè)/共124頁(yè)第58頁(yè)/共124頁(yè)第五十九頁(yè)，共125頁(yè)。0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1( )221psspssppspspkkNNG pppp 求模擬求模

32、擬(mn)(mn)高通高通H(s)H(s)： pccccspfsssspGsHc22232233第60頁(yè)/共124頁(yè)第59頁(yè)/共124頁(yè)第六十頁(yè)，共125頁(yè)。設(shè)計(jì)技術(shù)設(shè)計(jì)技術(shù)(jsh)(jsh)成熟成熟有相當(dāng)簡(jiǎn)便的有相當(dāng)簡(jiǎn)便的公式和圖表公式和圖表模擬濾波器模擬濾波器)(sHaAF由此設(shè)計(jì)由此設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器)(zHDF要求要求DFDF特性特性(txng)(txng)模仿模仿AFAF的特性的特性(txng)(txng)實(shí)際上是個(gè)映射實(shí)際上是個(gè)映射(yngsh)(yngsh)問(wèn)題問(wèn)題MappingMapping離散時(shí)間域離散時(shí)間域(Z(Z平面平面) )轉(zhuǎn)換關(guān)系轉(zhuǎn)換關(guān)系連續(xù)時(shí)間域連續(xù)時(shí)間域(

33、S (S平面平面) )第61頁(yè)/共124頁(yè)第60頁(yè)/共124頁(yè)第六十一頁(yè)，共125頁(yè)。（1 1） H(z) H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿的頻率響應(yīng)要能模仿(mfng)Ha(s)(mfng)Ha(s)的頻率響應(yīng)的頻率響應(yīng) 也即也即S S平面虛軸平面虛軸jj必須映射到必須映射到Z Z平面的單位圓平面的單位圓ejej上上（2 2） 因果穩(wěn)定的因果穩(wěn)定的Ha(s)Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H(z)H(z) 也即也即S S平面的左半平面平面的左半平面ReRes s00必須映射到必須映射到Z Z平面單位平面單位 圓的內(nèi)部圓的內(nèi)部|z|1 |z|1 對(duì)轉(zhuǎn)換對(duì)轉(zhuǎn)換(zhunhun)關(guān)系提

34、出兩點(diǎn)要求關(guān)系提出兩點(diǎn)要求:滿足上述轉(zhuǎn)換關(guān)系滿足上述轉(zhuǎn)換關(guān)系(gun x)的映射方的映射方法有：法有：脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法和和雙線性變換法雙線性變換法第62頁(yè)/共124頁(yè)第61頁(yè)/共124頁(yè)第六十二頁(yè)，共125頁(yè)。一、一、 變換原理變換原理數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列(xli)h(n)(xli)h(n)模仿模擬濾波器的沖模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)激響應(yīng)ha(t)ha(t)，即將，即將ha(t)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，使進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)h(n)正好等于正好等于ha(t)ha(t)的采樣值，滿足：的采樣值，滿足： 6.4 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)用脈沖響應(yīng)

35、不變法設(shè)計(jì)(shj)IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 nTtathnhHa(s)H(z)第63頁(yè)/共124頁(yè)第62頁(yè)/共124頁(yè)第六十三頁(yè)，共125頁(yè)。 sHzHaezsT)(Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)時(shí)域采樣時(shí)域采樣(ci yn)h(n)ZTh(n)H(z)所以說(shuō)脈沖響應(yīng)不變法是一種時(shí)域上的變換所以說(shuō)脈沖響應(yīng)不變法是一種時(shí)域上的變換(binhun)(binhun)方法方法sTez S S平面平面(pngmin)(pngmin)到到Z Z平面平面(pngmin)(pngmin)的映射關(guān)系為：的映射關(guān)系為：kTjsHTjksHTkaska21)(1)(,)(,)(,)()(zHzsHezs

36、HssHthAFasTaaas得到得到平面上平面上映射到映射到將將關(guān)系關(guān)系的映射的映射然后再經(jīng)過(guò)然后再經(jīng)過(guò)得到得到周期延拓周期延拓平面上沿虛軸平面上沿虛軸在在的拉氏變換的拉氏變換的的 第64頁(yè)/共124頁(yè)第63頁(yè)/共124頁(yè)第六十四頁(yè)，共125頁(yè)。 j S/2- S/23 S/2ImZReZjwsTrezezTerTjs第65頁(yè)/共124頁(yè)第64頁(yè)/共124頁(yè)第六十五頁(yè)，共125頁(yè)。二、混疊失真二、混疊失真(sh zhn)(sh zhn)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為 TkjHTeHkaj21)(數(shù)字濾波器的頻率數(shù)字濾波

37、器的頻率(pnl)響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率(pnl)響應(yīng)的周響應(yīng)的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率(pnl)響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率(pnl)以內(nèi)時(shí)，數(shù)字濾以內(nèi)時(shí)，數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率波器的頻響在折疊頻率(pnl)內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混疊失真。生混疊失真。 0)(jHa2|sTTjHTeHaj1)(|第66頁(yè)/共124頁(yè)第65頁(yè)/共124頁(yè)第六十六頁(yè)，共125頁(yè)。 任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，任何一個(gè)實(shí)際

38、的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的， 變變換后就會(huì)產(chǎn)生換后就會(huì)產(chǎn)生(chnshng)(chnshng)周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生(chnshng)(chnshng)頻率響應(yīng)的混疊失真。這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同頻率響應(yīng)的混疊失真。這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。 當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)

39、計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。 脈沖響應(yīng)不變法只適合脈沖響應(yīng)不變法只適合(shh)(shh)于設(shè)計(jì)于設(shè)計(jì)LPLP和和BPBP濾波器濾波器第67頁(yè)/共124頁(yè)第66頁(yè)/共124頁(yè)第六十七頁(yè)，共125頁(yè)。圖圖 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法(bin f)(bin f)中的頻響混疊現(xiàn)象中的頻響混疊現(xiàn)象 3 2)j(aHoo23 T)(ejHT2TTT2第68頁(yè)/共124頁(yè)第67頁(yè)/共124頁(yè)第六十八頁(yè)，共125頁(yè)。第69頁(yè)/共124頁(yè)第68頁(yè)/共124頁(yè)第六十九頁(yè)，共125頁(yè)。 三、模擬三、模擬(mn)(mn)濾波器的數(shù)字化方法濾波器的數(shù)字化方法 設(shè)模擬設(shè)模擬(mn

40、)(mn)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)Ha(s)只有單階極點(diǎn)，只有單階極點(diǎn)，且假定分母的階數(shù)高于分子的階數(shù)且假定分母的階數(shù)高于分子的階數(shù) NkkkassAsH1)(NktskaatueAsHLthk11)()()(NknTskNknTskanueAnueAnThnhkk11)()()()()( NkTskNknTsnknNknTsknnzeAzeAzeAznhzHkkk111100111)()()()(第70頁(yè)/共124頁(yè)第69頁(yè)/共124頁(yè)第七十頁(yè)，共125頁(yè)。（1 1）極點(diǎn)：）極點(diǎn)：S S平面平面s=sk Zs=sk Z平面上平面上z=eskTz=eskT（2 2）系數(shù)相同：

41、）系數(shù)相同：Ak Ak （3 3）穩(wěn)定性不變：）穩(wěn)定性不變：S S平面平面ReResksk0 Z0 Z平面平面|eskT|1|eskT|1（4 4）零點(diǎn)位置）零點(diǎn)位置(wi zhi)(wi zhi)沒(méi)有這種代數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系沒(méi)有這種代數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系 NkTskNkkkazeAzHssAsHk1111第71頁(yè)/共124頁(yè)第70頁(yè)/共124頁(yè)第七十一頁(yè)，共125頁(yè)。21211)()(:sssHa形式一極點(diǎn)極點(diǎn)(jdin)-(jdin)-1 1j j1 1+=0nnnT1jnT1jnT1nnz)ee(21ez )n( h)z(H1111121211cos12cosTTTzeTzeTze第72頁(yè)/共124頁(yè)第7

42、1頁(yè)/共124頁(yè)第七十二頁(yè)，共125頁(yè)。21211)()(:ssHa形式二極點(diǎn)極點(diǎn)(jdin)-(jdin)-1 1j j1 1+=0nnnT1jnT1jnT1nnz)ee(21ez )n( h)z(H1111112211112121,()sin1 2cosTTTjsz eTz eTz e 第73頁(yè)/共124頁(yè)第72頁(yè)/共124頁(yè)第七十三頁(yè)，共125頁(yè)。TjHTeHaj1)(| 如果采樣頻率很高，即如果采樣頻率很高，即T很小，數(shù)字濾波器可能具有太高的增益，容易很小，數(shù)字濾波器可能具有太高的增益，容易溢出，這是不希望的。為了使數(shù)字濾波器增益不隨采樣頻率而變化溢出，這是不希望的。為了使數(shù)字濾波器增

43、益不隨采樣頻率而變化(binhu)，可以作以下簡(jiǎn)單的修正，令，可以作以下簡(jiǎn)單的修正，令 h(n)=Tha(nT) NkTskzeTAzHk111)(TjHkTjTjHTTeHakaj21)(| 第74頁(yè)/共124頁(yè)第73頁(yè)/共124頁(yè)第七十四頁(yè)，共125頁(yè)。例例 6-3 6-3 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)(xtng)(xtng)函數(shù)為函數(shù)為 3111342)(2sssssHa試?yán)妹}沖響應(yīng)不變法將試?yán)妹}沖響應(yīng)不變法將Ha(s)Ha(s)轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成IIRIIR數(shù)字?jǐn)?shù)字(shz)(shz)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) H(z) 解：解： 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)(

44、xtng)(xtng)函數(shù)為函數(shù)為 TTTTTTTezeezeeTzezTezTzH423131311)(1)(11)(設(shè)設(shè)T T=1=1，則有，則有 21101831. 04177. 013181. 0)(zzzzH第75頁(yè)/共124頁(yè)第74頁(yè)/共124頁(yè)第七十五頁(yè)，共125頁(yè)。 模擬濾波器的頻率響應(yīng)Ha(j)以及(yj)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ej)分別為: 2201831. 04177. 013181. 0)(432)(jjjjaeeeeHjjH）（把把|Ha(j)|Ha(j)|和和|H(ej)|H(ej)|畫(huà)在圖上。由該圖可看出畫(huà)在圖上。由該圖可看出(kn ch)(kn ch)，由于，

45、由于Ha(j)Ha(j)不是充分限帶的，所以不是充分限帶的，所以H(ej)H(ej)產(chǎn)生了嚴(yán)重的頻譜混疊失真。產(chǎn)生了嚴(yán)重的頻譜混疊失真。 第76頁(yè)/共124頁(yè)第75頁(yè)/共124頁(yè)第七十六頁(yè)，共125頁(yè)。圖圖 例例6-36-3的幅頻特性的幅頻特性 / T2/ T2)j(aH)(ejHoo第77頁(yè)/共124頁(yè)第76頁(yè)/共124頁(yè)第七十七頁(yè)，共125頁(yè)。四、優(yōu)缺點(diǎn)四、優(yōu)缺點(diǎn) 1 1、優(yōu)點(diǎn)：、優(yōu)點(diǎn)： 脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是波器的單位沖激響應(yīng)，也就是(jish)(jish)時(shí)域逼近良好；時(shí)

46、域逼近良好； 模擬頻率模擬頻率和數(shù)字頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系之間呈線性關(guān)系=T=T。 因而，一個(gè)線因而，一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法得到的仍性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。然是一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。 第78頁(yè)/共124頁(yè)第77頁(yè)/共124頁(yè)第七十八頁(yè)，共125頁(yè)。 2、缺點(diǎn)、缺點(diǎn)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)(xioyng) 脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，例如， 衰衰減特性很好的低通或帶通濾波器減特性很好的低通或帶通濾波器)

47、，而且高頻衰減越快，混疊，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)效應(yīng)(xioyng)越小。越小。 不適于高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)，由于它們?cè)诟哳l部分不不適于高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)，由于它們?cè)诟哳l部分不衰減，衰減， 因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。第79頁(yè)/共124頁(yè)第78頁(yè)/共124頁(yè)第七十九頁(yè)，共125頁(yè)。第80頁(yè)/共124頁(yè)第79頁(yè)/共124頁(yè)第八十頁(yè)，共125頁(yè)。6.5 6.5 用雙線性變換法設(shè)計(jì)用雙線性變換法設(shè)計(jì)(shj)IIR(shj)IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 一、變換原理一、變換原理從從S S平面到平面是多值的映射關(guān)系造成頻率響應(yīng)的混疊失真平面到平面是多值的映射關(guān)系造成

48、頻率響應(yīng)的混疊失真克服：克服：第一步先將整個(gè)第一步先將整個(gè)S S平面壓縮平面壓縮(y su)(y su)映射到映射到S1S1平面的平面的-/T-/T/T/T一一條橫帶里；條橫帶里；第二步再通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系第二步再通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z(mì)=es1Tz=es1T將此橫帶變換到整個(gè)將此橫帶變換到整個(gè)Z Z平面上去。平面上去。這樣就使這樣就使S S平面與平面與Z Z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系， 消除了多值變消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。 第81頁(yè)/共124頁(yè)第80頁(yè)/共124頁(yè)第八十一頁(yè)，共125頁(yè)。j 平面的單位圓外的右半平面平面的

49、單位圓上平面的虛軸平面的單位圓內(nèi)的左半平面映射zszszsezzHsHsTsa11111)()( 1j 1 S/2- S/2ImZReZ 第82頁(yè)/共124頁(yè)第81頁(yè)/共124頁(yè)第八十二頁(yè)，共125頁(yè)。 為了將S平面的整個(gè)虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的-/T到/T段上，可以通過(guò)以下(yxi)的正切變換實(shí)現(xiàn) 2tan22tan21TTT式中式中, T, T仍是采樣間隔。仍是采樣間隔。 當(dāng)當(dāng)11由由-/T-/T經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)0 0變化變化(binhu)(binhu)到到/T/T時(shí)，時(shí)，由由-經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)0 0變化變化(binhu)(binhu)到到+， 也即映射了整個(gè)也即映射了整個(gè)jj軸。將式（軸。將式（5

50、-5-4242）寫(xiě)成）寫(xiě)成 2/2/2/2/11112TjTjTjTjeeeeTj第83頁(yè)/共124頁(yè)第82頁(yè)/共124頁(yè)第八十三頁(yè)，共125頁(yè)。 將此關(guān)系解析(ji x)延拓到整個(gè)S平面和S1平面，令j=s，j1=s1， 則得111111/2/21/2/2222 1tan21sTsTsTsTsTsTsTeeesT eeTTe再將再將S1S1平面平面(pngmin)(pngmin)通過(guò)以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到通過(guò)以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z Z平面平面(pngmin)(pngmin)： z=es1T 從而從而(cng r)(cng r)得到得到S S平面和平面和Z Z平面的單值映射關(guān)系為：平面的單值

51、映射關(guān)系為： 11112zzTssTsTsTsTz222121S S平面與平面與Z Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換。比，因此稱為雙線性變換。 第84頁(yè)/共124頁(yè)第83頁(yè)/共124頁(yè)第八十四頁(yè)，共125頁(yè)。二、逼近的情況二、逼近的情況 雙線性變換雙線性變換(binhun)(binhun)符合映射變換符合映射變換(binhun)(binhun)應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。求。 （1 1）把）把z=ejz=ej代入式，可得代入式，可得 jTjeeTsjj2tan2112即即S S平面的虛軸映射平面的虛

52、軸映射(yngsh)(yngsh)到到Z Z平面的單位圓。平面的單位圓。 第85頁(yè)/共124頁(yè)第84頁(yè)/共124頁(yè)第八十五頁(yè)，共125頁(yè)。（2 2） 將將s s= =+j+j代入式得代入式得 jTjTz22222222|TTz第86頁(yè)/共124頁(yè)第85頁(yè)/共124頁(yè)第八十六頁(yè)，共125頁(yè)。 由此看出： 當(dāng)0時(shí)， |z|0時(shí)，|z|1。 即 S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。 因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得(su d)的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 第87頁(yè)/共124頁(yè)第86頁(yè)/共124頁(yè)第八十七頁(yè)，共12

53、5頁(yè)。三、優(yōu)缺點(diǎn)三、優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)閮?yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)镾 S平面平面(pngmin)(pngmin)與與Z Z平面平面(pngmin)(pngmin)是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。S S平面平面(pngmin)(pngmin)整個(gè)整個(gè)jj軸單值地對(duì)應(yīng)于軸單值地對(duì)應(yīng)于Z Z平面平面(pngmin)(pngmin)單位圓一周，單位圓一周， 即頻率軸是單值變換關(guān)系。即頻率軸是單值變換關(guān)系。2tan2TS S平面上平面上與與Z Z平面的平面的成非線性的正切成非線性的正切(zhngqi)(zhngqi)關(guān)系。關(guān)系。 第88頁(yè)/共124頁(yè)

54、第87頁(yè)/共124頁(yè)第八十八頁(yè)，共125頁(yè)。雙線性變換法的頻率雙線性變換法的頻率(pnl)(pnl)變換關(guān)系變換關(guān)系 o2tan2T在零頻率在零頻率(pnl)附近，模擬附近，模擬角頻率角頻率(pnl)與數(shù)字頻率與數(shù)字頻率(pnl)之間的變換關(guān)系接近之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；于線性關(guān)系；當(dāng)當(dāng)進(jìn)一步增加時(shí)，進(jìn)一步增加時(shí)，增增長(zhǎng)得越來(lái)越慢，最后當(dāng)長(zhǎng)得越來(lái)越慢，最后當(dāng)時(shí)，時(shí)，終止在折疊終止在折疊頻率頻率=處，因而雙線處，因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混頻部分超過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，淆到低頻部分去的現(xiàn)象， 從而從而(cng r)(cng r)消

55、除了頻消除了頻率混疊現(xiàn)象。率混疊現(xiàn)象。第89頁(yè)/共124頁(yè)第88頁(yè)/共124頁(yè)第八十九頁(yè)，共125頁(yè)。模擬角頻率模擬角頻率和數(shù)字角頻率和數(shù)字角頻率的映射的映射(yngsh)(yngsh)關(guān)系關(guān)系22tanT Ha(j ) 2 第90頁(yè)/共124頁(yè)第89頁(yè)/共124頁(yè)第九十頁(yè)，共125頁(yè)。 頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問(wèn)題。 首先，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字(shz)濾波器，不再保持原有的線性相位了； 其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響

56、應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字(shz)濾波器幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會(huì)有畸變。 第91頁(yè)/共124頁(yè)第90頁(yè)/共124頁(yè)第九十一頁(yè)，共125頁(yè)。雙線性變換法幅度和相位雙線性變換法幅度和相位(xingwi)(xingwi)特性的非線性映射特性的非線性映射ooo)j (aH)(ejHooo)(eargjH)j (argaH第92頁(yè)/共124頁(yè)第91頁(yè)/共124頁(yè)第九十二頁(yè)，共125頁(yè)。 對(duì)于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到(d do)幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變， 這種頻率的畸變，可以通過(guò)頻率的預(yù)畸來(lái)加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸

57、變， 然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。 第93頁(yè)/共124頁(yè)第92頁(yè)/共124頁(yè)第九十三頁(yè)，共125頁(yè)。)(jeH)( jHa)2tan(2T第94頁(yè)/共124頁(yè)第93頁(yè)/共124頁(yè)第九十四頁(yè)，共125頁(yè)。)(jeH)2tan(2T)( jHa第95頁(yè)/共124頁(yè)第94頁(yè)/共124頁(yè)第九十五頁(yè)，共125頁(yè)。四、模擬四、模擬(mn)(mn)濾波器的數(shù)字化方法濾波器的數(shù)字化方法 雙線性變換法比起脈沖響應(yīng)不變法來(lái)，在設(shè)計(jì)和運(yùn)算上也比較雙線性變換法比起脈沖響應(yīng)不變法來(lái)，在設(shè)計(jì)和運(yùn)算上也比較直接和簡(jiǎn)單。由于雙線性變換法中，直接和簡(jiǎn)單。由于雙線性變換法中，s s到到z z之間的變換是簡(jiǎn)單的代數(shù)之

58、間的變換是簡(jiǎn)單的代數(shù)關(guān)系，即關(guān)系，即 11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa頻率響應(yīng)也可用直接頻率響應(yīng)也可用直接(zhji)代換的方法得到代換的方法得到 2tan2)()(2tan2TjHjHeHTaj第96頁(yè)/共124頁(yè)第95頁(yè)/共124頁(yè)第九十六頁(yè)，共125頁(yè)。 （1） 如果給出的是待設(shè)計(jì)的帶通濾波器的數(shù)字(shz)域轉(zhuǎn)折頻率（通、 阻帶截止頻率）1、2、3、4及采樣頻率(1/T)，則直接利用式2tan2T計(jì)算出相應(yīng)的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率計(jì)算出相應(yīng)的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率11、22、33和和44。這樣得到。這樣得到的模擬濾波器的模擬濾波器Ha(s)Ha(s)的轉(zhuǎn)折頻率的轉(zhuǎn)折

59、頻率11、22、33和和44，經(jīng)雙線性變換后，經(jīng)雙線性變換后就映射就映射(yngsh)(yngsh)到數(shù)字濾波器到數(shù)字濾波器H(z)H(z)的原轉(zhuǎn)折頻率的原轉(zhuǎn)折頻率11、22、33和和44。 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)(shj)步驟：步驟：第97頁(yè)/共124頁(yè)第96頁(yè)/共124頁(yè)第九十七頁(yè)，共125頁(yè)。 如果給出的是待設(shè)計(jì)如果給出的是待設(shè)計(jì)(shj)的帶通濾波器的模擬域轉(zhuǎn)折頻率（通、的帶通濾波器的模擬域轉(zhuǎn)折頻率（通、 阻阻帶截止頻率）帶截止頻率）f1、f2、f3、f4和采樣頻率和采樣頻率(1/T)，則需要先計(jì)算數(shù)字濾波器的，則需要先計(jì)算數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)折頻率（通、阻帶截止頻率）轉(zhuǎn)折頻率（通、阻帶截止頻率）、2、3

60、 和和4。 =2fT 再進(jìn)行再進(jìn)行(jnxng)(jnxng)預(yù)畸變得預(yù)畸變得11、 3 3和和4 4 2tan2THa(s) Ha(s) 經(jīng)雙線性變換后映射到數(shù)字濾波器經(jīng)雙線性變換后映射到數(shù)字濾波器H(z)H(z)的轉(zhuǎn)折頻率的轉(zhuǎn)折頻率11、22、 3 3、44，并且，并且(bngqi)(bngqi)能保證數(shù)字域頻率能保證數(shù)字域頻率11、22、33、44與給定的模擬域轉(zhuǎn)折頻率與給定的模擬域轉(zhuǎn)折頻率f1f1、f f、f f、f4f4成線性關(guān)成線性關(guān)系。系。第98頁(yè)/共124頁(yè)第97頁(yè)/共124頁(yè)第九十八頁(yè)，共125頁(yè)。 （3 3）將）將 代入代入H Ha a( (s s) )，得，得H H( (