新課標(biāo)人教A高中數(shù)學(xué)必修空間中直線與直線之間的位置關(guān)系學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第一頁，共44頁。平面平面(pngmin)內(nèi)兩條直線的內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系相交直線相交直線相交直線相交直線（有一個公共點）（有一個公共點）abo平行直線平行直線平行直線平行直線（無公共點）（無公共點）ab復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)(fx)引入引入第1頁/共43頁第二頁，共44頁。螺螺 母母abcdef新課探究新課探究(tnji)觀察下列(xili)圖形，說說空間中兩條直線的位置關(guān)系探究(tnji)一第2頁/共43頁第三頁，共44頁。立交橋立交橋第3頁/共43頁第四頁，共44頁。思考：存在不存在一個平面同時思考：存在不存在一個平面同時(tngsh)過上面兩條直線？過上面兩條直線？第4頁/共43頁第

2、五頁，共44頁。問題問題1：在平面幾何：在平面幾何(pngminjh)中，兩直線中，兩直線的位置的位置關(guān)系如何？關(guān)系如何？講授講授(jingshu)新課新課問題問題(wnt)2：沒有公共點的直線一定平行嗎？：沒有公共點的直線一定平行嗎？問題問題3：沒有公共點的兩直線一定在同沒有公共點的兩直線一定在同一平面內(nèi)嗎？一平面內(nèi)嗎？abcd第5頁/共43頁第六頁，共44頁。1.異面直線異面直線(zhxin)的定義的定義:不同在不同在 任何任何(rnh) 一個平面內(nèi)的兩條直一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。線叫做異面直線。1)1)異面直線既不平行異面直線既不平行(pngxng)(pngxng)也不相交也不

3、相交一、空間兩條直線的位置關(guān)系一、空間兩條直線的位置關(guān)系2)2)定義中定義中“任何任何”是指兩條直線是指兩條直線永遠(yuǎn)不具備確定平面的條件，即是永遠(yuǎn)不具備確定平面的條件，即是不可能找到一個平面同時包含這兩不可能找到一個平面同時包含這兩條直線；條直線；不能認(rèn)為分別在兩個平面內(nèi)的兩條不能認(rèn)為分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線。直線叫異面直線。第6頁/共43頁第七頁，共44頁。a與與b是相交是相交(xingjio)直線直線a與與b是平行是平行(pngxng)直線直線a與與b是異面直線是異面直線(zhxin)abM它們可能異面，可能相交，也可能平行。它們可能異面，可能相交，也可能平行。 abab,ba

4、第7頁/共43頁第八頁，共44頁。C1D1C1B1ADBAab它們可能異面，可能相交它們可能異面，可能相交(xingjio)，也可能平行。，也可能平行。 也不能認(rèn)為不在同一平面也不能認(rèn)為不在同一平面(pngmin)內(nèi)的兩條直線叫異面直線。內(nèi)的兩條直線叫異面直線。 第8頁/共43頁第九頁，共44頁。說明說明: 畫異面直線畫異面直線(zhxin)時時 , 為了體現(xiàn)為了體現(xiàn) 它們不共面的特點。常借它們不共面的特點。常借 助一個或兩個平面來襯助一個或兩個平面來襯托托.如圖：如圖：aabaAbb(1)(3)(2)第9頁/共43頁第十頁，共44頁。4 4）異面直線的判定）異面直線的判定(pndng)(pn

5、dng)方法：方法：不同在任何一個不同在任何一個(y )平面內(nèi)平面內(nèi)。既不相交既不相交(xingjio)也不平行也不平行的直線。的直線。連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線。內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線。,ABaBa已知：如圖已知：如圖求證：直線求證：直線AB和和a是異面直線。是異面直線。BAa證明證明:(反證法反證法)假設(shè)直線假設(shè)直線AB和和a不是異面直線。不是異面直線。則直線則直線AB和和a一定共面，設(shè)為一定共面，設(shè)為,Ba,BaQ又aB 與 確定一平面（公理（公理2的推論的推論1） 與 重合，A ，所以直線所

6、以直線AB和和a是異面直線。是異面直線。這與已知這與已知A 矛盾，矛盾，第10頁/共43頁第十一頁，共44頁。 按平面基本按平面基本(jbn)性質(zhì)分性質(zhì)分同在一個同在一個(y )平面內(nèi)平面內(nèi)相交(xingjio)直線平行直線 不同在任何一個平面內(nèi)不同在任何一個平面內(nèi):異面直線 有一個公共點有一個公共點: 按公共點個數(shù)分按公共點個數(shù)分相交直線無無 公公 共共 點點平行直線異面直線 2 2 、空間中直線與直線之間的位置關(guān)系、空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 第11頁/共43頁第十二頁，共44頁。A1B1C1D1CBDA練習(xí)練習(xí)1、 如圖所示：正方體的棱所在的直線如圖所示：正方體的棱所在的直線(zhx

7、in)中，與直線中，與直線(zhxin)A1B異面的有哪些？異面的有哪些？ 第12頁/共43頁第十三頁，共44頁。答案答案(d n)：D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1A1B1C1D1CBDA練習(xí)練習(xí)1、 如圖所示：正方體的棱所在如圖所示：正方體的棱所在(suzi)的直線的直線中，與直線中，與直線A1B異面的有哪些？異面的有哪些？ 第13頁/共43頁第十四頁，共44頁。異面的棱有：如圖在正方體中，與練習(xí)1BD2CDCCCBBAADAA,111111第14頁/共43頁第十五頁，共44頁。下圖長方體中下圖長方體中平行平行(pngxng)相交相交(xingjio)異面異面 BD 和和FH

8、是是 直線直線(zhxin) EC 和和BH是是 直線直線BH 和和DC是是 直線直線BACDEFHG(2).與棱與棱 A B 所在直線異面的棱共有所在直線異面的棱共有 條條?4分別是分別是 ：CG、HD、GF、HE(1)說出以下各對線段的位置關(guān)系說出以下各對線段的位置關(guān)系?練習(xí)練習(xí)3第15頁/共43頁第十六頁，共44頁。1. 畫兩個畫兩個(lin )相交平面，在這兩個相交平面，在這兩個(lin )平面內(nèi)各畫平面內(nèi)各畫一條直線，使它們成為：一條直線，使它們成為：平行直線；相交直線；異面直線平行直線；相交直線；異面直線.鞏固鞏固(gngg)：第16頁/共43頁第十七頁，共44頁。1. 畫兩個畫兩

9、個(lin )相交平面，在這兩個相交平面，在這兩個(lin )平面內(nèi)各畫平面內(nèi)各畫一條直線，使它們成為：一條直線，使它們成為：平行直線；相交直線；異面直線平行直線；相交直線；異面直線.ab 鞏固鞏固(gngg)：第17頁/共43頁第十八頁，共44頁。1. 畫兩個相交平面，在這兩個平面內(nèi)各畫畫兩個相交平面，在這兩個平面內(nèi)各畫一條一條(y tio)直線，使它們成為：直線，使它們成為：平行直線；相交直線；異面直線平行直線；相交直線；異面直線.ab ab 鞏固鞏固(gngg)：第18頁/共43頁第十九頁，共44頁。1. 畫兩個相交平面，在這兩個平面內(nèi)各畫畫兩個相交平面，在這兩個平面內(nèi)各畫一條直線一條直

10、線(zhxin)，使它們成為：，使它們成為：平行直線平行直線(zhxin)；相交直線；相交直線(zhxin)；異面直線異面直線(zhxin).ab ab ab 鞏固鞏固(gngg)：第19頁/共43頁第二十頁，共44頁。2. 兩條異面直線兩條異面直線(zhxin)指：指：A. 空間中不相交的兩條直線空間中不相交的兩條直線(zhxin)；B. 不在同一平面內(nèi)的兩條直線不在同一平面內(nèi)的兩條直線(zhxin)；C. 不同在任一平面內(nèi)的兩條直線不同在任一平面內(nèi)的兩條直線(zhxin)；D. 分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線(zhxin)；E. 空間沒有公共點的兩條直線空間沒

11、有公共點的兩條直線(zhxin)；F. 既不相交，又不平行的兩條直線既不相交，又不平行的兩條直線(zhxin).鞏固鞏固(gngg)：( )第20頁/共43頁第二十一頁，共44頁。填空：填空：1、空間兩條不重合的直線的位置關(guān)系有、空間兩條不重合的直線的位置關(guān)系有_、 _、 _三種三種(sn zhn)。2、沒有公共點的兩條直線可能是、沒有公共點的兩條直線可能是_直線，也有可能是直線，也有可能是 _直線。直線。3、和兩條異面直線中的一條平行的直線與另一條的位置關(guān)系、和兩條異面直線中的一條平行的直線與另一條的位置關(guān)系 有有_。平行平行(pngxng)相交相交(xingjio)異面異面平行平行異面異面

12、相交、異面相交、異面第21頁/共43頁第二十二頁，共44頁。練習(xí)練習(xí)(linx)提提升升“a，b是異面直線是異面直線”是指是指 ab=,且且a不平行于不平行于b； a 平平面面(pngmin) ，b 平面平面(pngmin) 且且ab= a 平面平面(pngmin) ，b 平面平面(pngmin) 不存在平面不存在平面(pngmin) ，能使，能使a 且且b 成立成立1、上述結(jié)論上述結(jié)論(jiln)中，正確的是中，正確的是 （ ）（A） （B） （C） （D）2、長方體的一條體對角線與長方體的棱所組成的異面直線有、長方體的一條體對角線與長方體的棱所組成的異面直線有（ ） （A）2對對 （B）3

13、對對 （C）6對對 （D）12對對CC第22頁/共43頁第二十三頁，共44頁。探究探究(tnji):HGCADBEFGHEF(B)(C)DA如圖是一個正方體的展開圖如圖是一個正方體的展開圖,如果將它還原如果將它還原(hun yun)為正方體為正方體, 那那么么 AB, CD , EE , GH這四條線段所在直線是異面直線的有這四條線段所在直線是異面直線的有 對對?答答:共有共有(n yu)三三對對第23頁/共43頁第二十四頁，共44頁。abced我們知道我們知道,在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi), 如果兩條直線都和第三條直線平行如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行那么這兩條直線互相平

14、行.在空間這一規(guī)律在空間這一規(guī)律(gul)是否還成立呢是否還成立呢?觀察觀察 : 將一張紙如圖進行折疊將一張紙如圖進行折疊(zhdi) , 則各折痕及邊則各折痕及邊 a, b, c, d, e, 之間有何關(guān)系？之間有何關(guān)系？ab c d e 公理：在空間公理：在空間(kngjin)平行于同一條直線的兩條直線互相平平行于同一條直線的兩條直線互相平行行平行線的傳遞性平行線的傳遞性第24頁/共43頁第二十五頁，共44頁。二、空間直線二、空間直線(zhxin)(zhxin)的平行關(guān)系的平行關(guān)系若若abab，bcbc，1、平行、平行(pngxng)關(guān)系關(guān)系的傳遞性的傳遞性ca aabc ca則則 aca

15、c。公理公理4 4的作用：它是判斷空間兩條直線平行的作用：它是判斷空間兩條直線平行(pngxng)(pngxng)的依據(jù)的依據(jù)公理：公理：在空間平行于同一條直線的兩條直線互相在空間平行于同一條直線的兩條直線互相平行平行推廣推廣：在空間平行于一條已知直線的所有直線都互相平行：在空間平行于一條已知直線的所有直線都互相平行第25頁/共43頁第二十六頁，共44頁。如果如果(rgu)(rgu)再加上條件再加上條件AC = BD,AC = BD,那么四邊形那么四邊形EFGHEFGH是是什么圖形？什么圖形？AB DEFGHC第26頁/共43頁第二十七頁，共44頁。在平面內(nèi)在平面內(nèi), 我們可以證明我們可以證明

16、 “ 如果如果(rgu)一個角的兩邊與另一個角的一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補 ”空間中這一結(jié)空間中這一結(jié)論是否仍然成立呢？論是否仍然成立呢？定理（等角定理）：空間中，如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，定理（等角定理）：空間中，如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行， 那么那么(n me)這兩個角相等或互補這兩個角相等或互補觀察觀察 :如圖所示如圖所示,長方體長方體ABCD-A1B1C1D1中中, ADC與與A1D1C1 , ADC與與A1B1C1兩邊分別對應(yīng)平行兩邊分別對應(yīng)平行(pngxng),這兩組角的大小這兩組角的大小 關(guān)系如何關(guān)系如何

17、?答答:從圖中可看出從圖中可看出, ADC=A1D1C1, ADC +A1B1C1=180OD1C1B1A1CABD第27頁/共43頁第二十八頁，共44頁。第28頁/共43頁第二十九頁，共44頁。三三.異面直線異面直線(zhxin)所所成的角成的角 在平面內(nèi)在平面內(nèi),兩條直線相交兩條直線相交(xingjio)成四成四個角個角, 其中不大于其中不大于90度的角稱為它度的角稱為它們的夾角們的夾角, 用以刻畫兩直線的錯開用以刻畫兩直線的錯開程度程度, 如圖如圖. 在空間在空間,如圖所示如圖所示, 正方體正方體ABCDEFGH中中, 異面直線異面直線(zhxin)AB與與HF的錯開程度可的錯開程度可以

18、怎樣來刻畫呢以怎樣來刻畫呢?ABGFHEDCO問題提出問題提出復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧第29頁/共43頁第三十頁，共44頁。解決問題解決問題異面直線所成角的定義異面直線所成角的定義: 如圖如圖,已知兩條異面直線已知兩條異面直線 a , b , 經(jīng)經(jīng)過空間任一點過空間任一點O作作 直線直線 aa , b b 則把則把 a 與與 b 所成的所成的銳角銳角(或直角或直角)叫做叫做(jiozu)異面直線所成的角異面直線所成的角(或夾角或夾角).abb aO思想方法思想方法 : 平移平移(pn y)轉(zhuǎn)化成相交直線所成的角轉(zhuǎn)化成相交直線所成的角,即化空間圖形問題為平面圖形問題即化空間圖形問題為平面圖形問題思考思考

19、 : 這個角的大小與這個角的大小與O點的位置有關(guān)嗎點的位置有關(guān)嗎 ? 即即O點位置不同時點位置不同時, 這一角的大小是否這一角的大小是否(sh fu)改變改變?異面直線所成的角的范圍異面直線所成的角的范圍( 0 , 90 oo如果兩條異面直線如果兩條異面直線 a , b 所成的角為直所成的角為直角，我們就稱這兩角，我們就稱這兩條直線互相垂直條直線互相垂直 , 記為記為a ba 第30頁/共43頁第三十一頁，共44頁。思考思考(sko) : 這個角的大小與這個角的大小與O點的位置有關(guān)嗎點的位置有關(guān)嗎 ? 即即O點位置不同時點位置不同時, 這一角的大小這一角的大小 是否改變是否改變? aa , a

20、 a a a (公理公理(gngl)4),解答解答(jid)： 如圖如圖設(shè)設(shè)a 與與 b 相交所成的角為相交所成的角為1, a 與與 b 所成的角為所成的角為2 ,同理同理 bb, 1 = 2 (等角定理等角定理)b aO1aab2 答答 : 這個角的大小與這個角的大小與O點的位置點的位置無關(guān)無關(guān).第31頁/共43頁第三十二頁，共44頁。 aa1b1O1、分別平行于兩條異面直線、分別平行于兩條異面直線(zhxin)的兩條相交直線的兩條相交直線(zhxin)所成的所成的銳角（直角）叫做兩異面直線銳角（直角）叫做兩異面直線(zhxin)所成的角所成的角2、定義由等角定理、定義由等角定理(dngl)

21、解釋：解釋：為了簡便，在求作異面直線所成的角時為了簡便，在求作異面直線所成的角時,O點點 常選在其中的一條直線上常選在其中的一條直線上 (如線段的如線段的端點端點,線段的線段的中點中點等等)b aO第32頁/共43頁第三十三頁，共44頁。如果兩條異面直線所成的角是直角如果兩條異面直線所成的角是直角(zhjio)，就，就說這兩條異面直線互相垂直。說這兩條異面直線互相垂直。 相交垂直（有垂足）相交垂直（有垂足）垂直垂直 異面垂直（無垂足）異面垂直（無垂足）OO因此，異面直線因此，異面直線(zhxin)所成角的范圍是（所成角的范圍是（0， 3、特例、特例(tl)：第33頁/共43頁第三十四頁，共44

22、頁。 求異面直線求異面直線(zhxin)所成的角的步驟是所成的角的步驟是: 一作一作(找找)：作（或找）平行線：作（或找）平行線 二證：證明所作的角為所求的異二證：證明所作的角為所求的異 面直線面直線(zhxin)所成的角。所成的角。 三求：在一恰當(dāng)?shù)娜切沃星蟪鼋侨螅涸谝磺‘?dāng)?shù)娜切沃星蟪鼋?、求異面直線、求異面直線(zhxin)所成的角的基本法則：所成的角的基本法則：作平行線，構(gòu)三角形作平行線，構(gòu)三角形第34頁/共43頁第三十五頁，共44頁。D1C1B1A1CABD（1）如圖，觀察長方體）如圖，觀察長方體ABCD-A1B1C1D1，有沒有兩條棱，有沒有兩條棱所在所在(suzi) 的直線是

23、相互垂直的異面直線？的直線是相互垂直的異面直線？（2）如果兩條平行線中的一條與某一條直線垂直）如果兩條平行線中的一條與某一條直線垂直(chuzh)，另一條直線是否與這條直線垂直另一條直線是否與這條直線垂直(chuzh)？（3）垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？）垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？第35頁/共43頁第三十六頁，共44頁。如圖，已知正方體如圖，已知正方體ABCDABCDABCDABCD 中。中。（1 1）哪些棱所在直線）哪些棱所在直線(zhxin)(zhxin)與直線與直線(zhxin)BA(zhxin)BA是異面直線是異面直線(zhxin)(zhxin)？（2 2）直線）直線

24、(zhxin)BA(zhxin)BA 和和CCCC 的夾角是多少？的夾角是多少？（3 3）哪些棱所在的直線）哪些棱所在的直線(zhxin)(zhxin)與直線與直線(zhxin)AA(zhxin)AA 垂直？垂直？解：（解：（1 1）由異面直線的判）由異面直線的判定方法可知，與直線定方法可知，與直線成異面直線的有直線成異面直線的有直線,B CAD CC DD DC D C ，ABCDABCD例例3第36頁/共43頁第三十七頁，共44頁。如圖，已知正方體如圖，已知正方體 中。中。（1 1）哪些棱所在）哪些棱所在(suzi)(suzi)直線與直線直線與直線 是異是異面直線？面直線？（2 2）直線）

25、直線 和和 的夾角是多少？的夾角是多少？（3 3）哪些棱所在）哪些棱所在(suzi)(suzi)的直線與直線的直線與直線 垂垂直？直？解：（解：（2 2）由）由 可可知，知， 等于異面直線等于異面直線(zhxin) (zhxin) 與與 的的夾角夾角, ,所以異面直線所以異面直線(zhxin) (zhxin) 與與 的夾角為的夾角為450 450 。 ,AB BC CD DA A BB C C D D A (3) 直線直線(zhxin)與直線與直線 都垂直都垂直.AAABCDABCD例例3BABACCAA第37頁/共43頁第三十八頁，共44頁。解：分別取AB、BC、CD、BD的中點(zhn d

26、in)，E、F、G、H，連接EF、FG、GH、EH、EG，HGFECDBA1313232P13232第38頁/共43頁第三十九頁，共44頁。ABGFHEDC課堂練習(xí)課堂練習(xí)1 如圖，正方體如圖，正方體ABCD-EFGH中中,O為側(cè)面為側(cè)面(cmin)ADHE的中心，求的中心，求 (1)BE與與CG所成的角？所成的角？ (2)FO與與BD所成的角？所成的角？ 解解: (1)如圖如圖: BFCG，EBF(或其補角或其補角)為異面直線為異面直線 BE與與CG所成的角，所成的角， 又又 BEF中中EBF =45 ， 所以所以BE與與CG所成的角是所成的角是45ooO連接連接(linji)HA、AF，依題意知依題意知O為為AH中點中點 , HFO=30o(2)連接連接(linji)FH，所以所以FO與與BD所成的夾角是所成的夾角是30o四邊形四邊形BFHD為平行四邊形，為平行四邊形，HFBDHFO(或其補角或其補角)為異面直線為異面直線 FO與與BD所成的角所成的角HD EA，EA FB HD FB=則則AH=HF=FA AFH為等邊為等邊第39頁/共43頁第四十頁，共44頁。 如圖如圖,已知長方體已知長方體ABCD-