2.3.2-雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)-(1-3)

1、2.3.2 2.3.2 雙曲線簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)雙曲線簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì) 2、對(duì)稱性、對(duì)稱性 一、研究雙曲線一、研究雙曲線 的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)) 0, 0( 12222babyax1、范圍、范圍axaxaxax, 12222即關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱。x軸、軸、y軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，又叫做雙曲線的又叫做雙曲線的中心中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)課堂新授課堂新授 3、頂點(diǎn)、頂點(diǎn)（1）雙曲線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，叫做雙曲線的）雙曲線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，叫做雙曲線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)xyo-b1B2Bb

2、1A2A-aa12(,0)( ,0)AaA a頂點(diǎn)是、只有兩個(gè)！如圖，線段如圖，線段 叫做雙曲線叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)為的實(shí)軸，它的長(zhǎng)為2a,a叫做叫做實(shí)半軸長(zhǎng)；線段實(shí)半軸長(zhǎng)；線段 叫做雙叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)為曲線的虛軸，它的長(zhǎng)為2b,b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)2A1A2B1B（2）實(shí)軸與虛軸等長(zhǎng)的雙曲線實(shí)軸與虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫叫等軸雙曲線等軸雙曲線（3）)0(22mmyxM(x,y)4、漸近線、漸近線1A2A1B2BN(x,y)xyoxaby xaby abxabybabyax的漸近線為雙曲線)0, 0( 12222（1）的漸近線為等軸雙曲線)0(22mmyx（2）xy

3、利用漸近線可以較準(zhǔn)確的利用漸近線可以較準(zhǔn)確的畫出雙曲線的草圖畫出雙曲線的草圖（3）5、離心率、離心率雙曲線的叫做的比雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng),ace 離心率。e 1e是表示雙曲線開口大小的一個(gè)量,e越大開口越大（1）定義：）定義：（2）e e的范圍的范圍：ace 222bac二四個(gè)參數(shù)中，知二可求、在ecba（4）等軸雙曲線的離心率等軸雙曲線的離心率e= ?2( 5 )的雙曲線是等軸雙曲線離心率2e例例1 :求雙曲線求雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)的實(shí)半軸長(zhǎng),虛半軸長(zhǎng)虛半軸長(zhǎng),焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo),離心率離心率.漸近線方程。漸近線方程。分析：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程分析：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程14416922 xy13422

4、22 xy例題講解例題講解 .4516線和焦點(diǎn)坐標(biāo)程，并且求出它的漸近出雙曲線的方軸上，中心在原點(diǎn)，寫焦點(diǎn)在，離心率離是已知雙曲線頂點(diǎn)間的距xe 例例2:ax或ax ay ay或)0 ,( a), 0(axaby xbay ace)(222bac其中關(guān)于關(guān)于坐標(biāo)坐標(biāo)軸和軸和原點(diǎn)原點(diǎn)都對(duì)都對(duì)稱稱性性質(zhì)質(zhì)雙曲線雙曲線) 0, 0(12222babyax) 0, 0(12222babxay范圍范圍對(duì)稱對(duì)稱 性性 頂點(diǎn)頂點(diǎn) 漸近漸近 線線離心離心 率率圖象圖象例例3 :求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：法二：法二：設(shè)雙曲線方程為設(shè)雙曲線方程為221164xykk 16040kk 且且22

5、1128xy 雙曲線方程為雙曲線方程為22(3 2)21164kk ,解之得解之得k=4,12022kykx法一法一: : 直接設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程直接設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程, ,運(yùn)用待定系數(shù)法運(yùn)用待定系數(shù)法考慮考慮.(.(一般要分類討論一般要分類討論) ) 解解: :雙曲線雙曲線221916xy 的漸近線為的漸近線為43yx , ,令令 x= =- -3,3,y= =4,4,因因2 34 , , 故點(diǎn)故點(diǎn)( 3,2 3) 在射線在射線43yx （x0 0）及）及 x 軸負(fù)半軸之間軸負(fù)半軸之間, , 雙曲線焦點(diǎn)在雙曲線焦點(diǎn)在 x 軸上軸上, ,設(shè)雙曲線方程為設(shè)雙曲線方程為22221xyab( (a0 0, ,b0

6、0) ), , 222243( 3)(2 3)1baab 解之得解之得22944ab , , 雙曲線方程為雙曲線方程為221944xy 法二：法二：巧設(shè)方程巧設(shè)方程,運(yùn)用待定系數(shù)法運(yùn)用待定系數(shù)法.設(shè)雙曲線方程為設(shè)雙曲線方程為 ,22(0)916xy 22( 3)(2 3)916 14 221944雙曲線的方程為xy “共漸近線共漸近線”的雙曲線的應(yīng)用的雙曲線的應(yīng)用222222221(0)xyabxyab 與共漸近線的雙曲線系方程為， 為參數(shù) ，0表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；軸上的雙曲線；0 0, ,b0 0) ), , 222243( 3)(2 3)1baab 解之得解之得22944a

7、b , , 雙曲線方程為雙曲線方程為221944xy 法二：法二：巧設(shè)方程巧設(shè)方程,運(yùn)用待定系數(shù)法運(yùn)用待定系數(shù)法.設(shè)雙曲線方程為設(shè)雙曲線方程為 ,22(0)916xy 22( 3)(2 3)916 14 221944雙曲線的方程為xy 1、“共漸近線共漸近線”的雙曲線的雙曲線222222221(0)xyxyabab 與共漸近線的雙曲線系方程為， 為參數(shù) ，0表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；軸上的雙曲線；0表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線。軸上的雙曲線。2、“共焦點(diǎn)共焦點(diǎn)”的雙曲線的雙曲線（1）與橢圓）與橢圓 有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程表有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程表 示為示為22221(0)xya

8、bab2222221().xybaab（2）與雙曲線）與雙曲線 有共同焦點(diǎn)的雙曲線方有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程表示為程表示為22221(0,0)xyabab2222221()xybaab2.3.2 2.3.2 雙曲線簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)雙曲線簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì) ( (二二) )關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱軸、原點(diǎn)對(duì)稱圖形圖形方程方程范圍范圍對(duì)稱性對(duì)稱性頂點(diǎn)頂點(diǎn)離心率離心率yxOA2B2A1B1.F1F2yB2A1A2 B1 xO.F2F1)0( 1babyax2 22 22 22 2bybaxa A1（- a，0），），A2（a，0）B1（0，-b），），B2（0，b）) 10( eaceF1(-c,0

9、) F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0),b(abyax00 1 2 22 22 22 2Ryaxax， 或或關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱軸、原點(diǎn)對(duì)稱A1（- a，0），），A2（a，0）) 1( eace漸進(jìn)線漸進(jìn)線無無xaby關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱軸、原點(diǎn)對(duì)稱圖形圖形方程方程范圍范圍對(duì)稱性對(duì)稱性頂點(diǎn)頂點(diǎn)離心率離心率)0( 1babyax2 22 22 22 2A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）),b(abxay00 1 2 22 22 22 2Rxayay， 或或關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱軸、原點(diǎn)對(duì)稱) 1( eace漸進(jìn)

10、線漸進(jìn)線xbay.yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax， 或或) 1( eacexaby橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法判斷方法判斷方法0（1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組（2）消去一個(gè)未知數(shù)）消去一個(gè)未知數(shù)（3）復(fù)習(xí):相離相切相交一、一、直線與雙曲線的位置關(guān)系直線與雙曲線的位置關(guān)系1) 位置關(guān)系種類位置關(guān)系種類XYO種類種類:相離相離;相切相切;相交相交(0個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)，個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)或兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn))2)2)位置關(guān)系與交點(diǎn)個(gè)數(shù)位置關(guān)系與交

11、點(diǎn)個(gè)數(shù)XYOXYO相離相離:0:0個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn)相交相交:一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)相交相交:兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn)相切相切:一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)例例.已知直線已知直線y=kx-1與雙曲線與雙曲線x2-y2=4,試討論實(shí)數(shù)試討論實(shí)數(shù)k的取值范圍的取值范圍,使直線與雙曲線相交？相切？相離？使直線與雙曲線相交？相切？相離？3)判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序把直線方程代入雙曲線方程把直線方程代入雙曲線方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直線與雙曲線的直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行漸進(jìn)線平行相交（一個(gè)交點(diǎn)）相交（一個(gè)交點(diǎn)） 計(jì)計(jì) 算算 判判 別別 式式0=00

12、 直線與雙曲線相交（兩個(gè)交點(diǎn)）直線與雙曲線相交（兩個(gè)交點(diǎn)） =0 直線與雙曲線相切直線與雙曲線相切 0 直線與雙曲線相離直線與雙曲線相離相切一點(diǎn)相切一點(diǎn): =0相相 離離: 0 注注:相交：兩點(diǎn)相交：兩點(diǎn): 0 同側(cè)：同側(cè)： 0 異側(cè)異側(cè): 0 一點(diǎn)一點(diǎn): 直線與漸進(jìn)線平行直線與漸進(jìn)線平行12xx12xx特別注意直線與雙曲線的特別注意直線與雙曲線的位置關(guān)系中：位置關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支兩解，兩解不一定同支例例.已知直線已知直線y=kx-1與雙曲線與雙曲線x2-y2=4,試討論實(shí)數(shù)試討論實(shí)數(shù)k的取的取值范圍值范圍,使直線與雙曲線使直線與雙

13、曲線(1)沒有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn); (2)有兩個(gè)公共點(diǎn)有兩個(gè)公共點(diǎn);(3)只有一個(gè)公共點(diǎn)只有一個(gè)公共點(diǎn); (4)交于異支兩點(diǎn)；交于異支兩點(diǎn)；(5)與左支交于兩點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn).(3)k=1，或，或k= ；52(4)-1k1 ；(1)k 或k ；525252(2) k ；52125- k1 k且且1.過點(diǎn)過點(diǎn)P(1,1)與雙曲線與雙曲線 只有只有共有共有_條條. 變題變題:將點(diǎn)將點(diǎn)P(1,1)改為改為1.A(3,4) 2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎樣的答案又是怎樣的?4116922yx1.兩條兩條;2.三條三條;3.兩條兩條;4.零條零條.交點(diǎn)的交點(diǎn)的一個(gè)一個(gè)直線直線

14、XYO（1，1）。2.雙曲線雙曲線x2-y2=1的左焦點(diǎn)為的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)點(diǎn)P為左支下半支上任意一點(diǎn)為左支下半支上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn)異于頂點(diǎn)),則直線則直線PF的斜率的變化范圍是的斜率的變化范圍是_01，3.過原點(diǎn)與雙曲線過原點(diǎn)與雙曲線 交于兩點(diǎn)的直線斜率的交于兩點(diǎn)的直線斜率的取值范圍是取值范圍是 13422yx32 3，2例例4、如圖，過雙曲線、如圖，過雙曲線 的右焦點(diǎn)的右焦點(diǎn)傾斜角為傾斜角為 的直線交雙曲線于的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)，求|AB|。22136xy2,F30三、三、弦長(zhǎng)問題弦長(zhǎng)問題練習(xí)練習(xí): : 1.1.過雙曲線過雙曲線116922yx的左焦點(diǎn)的左焦點(diǎn) F1 1作傾角

15、為作傾角為4的直線與雙曲線的直線與雙曲線 交于交于A A、B B兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)，則| |ABAB|=|= . . 2.2.雙曲線的兩條漸進(jìn)線方程為雙曲線的兩條漸進(jìn)線方程為20 xy，且截直線，且截直線30 xy所得弦長(zhǎng)為所得弦長(zhǎng)為8 33，則該雙曲線的方程為（，則該雙曲線的方程為（ ） (A)(A)2212xy (B)(B)2214yx (C)(C)2212yx (D)(D)2214xy 1927韋達(dá)定理與點(diǎn)差法韋達(dá)定理與點(diǎn)差法例例.已知雙曲線方程為已知雙曲線方程為3x2-y2=3, 求：求： (1)以以2為斜率的弦的中點(diǎn)軌跡；為斜率的弦的中點(diǎn)軌跡； (2)過定點(diǎn)過定點(diǎn)B(2,1)的弦的中點(diǎn)軌跡

16、；的弦的中點(diǎn)軌跡； (3)以定點(diǎn)以定點(diǎn)B(2,1)為中點(diǎn)的弦所在為中點(diǎn)的弦所在的直線方程的直線方程. (4)以定點(diǎn)以定點(diǎn)(1,1)為中點(diǎn)的弦存在嗎？為中點(diǎn)的弦存在嗎？說明理由；說明理由；例.2 22 2y y給給定定雙雙曲曲線線x-= 1,x-= 1,過過點(diǎn)點(diǎn)A(1,1)A(1,1)能能否否作作直直線線L L2 2使使L L與與所所給給雙雙曲曲線線交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)P,Q,P,Q,且且A A是是線線段段PQPQ的的中中點(diǎn)點(diǎn)? ?說說明明理理由由. .11221122解 : 假設(shè)存在P(x ,y ),Q(x ,y )為直線L上的兩點(diǎn),解 : 假設(shè)存在P(x ,y ),Q(x ,y )為直線L上的兩

17、點(diǎn),且PQ的中點(diǎn)為A,則有 :且PQ的中點(diǎn)為A,則有 : 2 22 21 11 12 22 22 22 2y yx-= 1x-= 12 2y yx-= 1x-= 12 212121212121212122(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )2(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )，即方程為12121212y - yy - y= 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1)= 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1)x - xx - x2 揶 V2 22 22 2y yx -= 1x -= 1x - 4x + 3

18、= 0 0 x - 4x + 3 = 00,0,原點(diǎn)原點(diǎn)O O（0 0，0 0）在以）在以ABAB為直徑的圓上，為直徑的圓上， OAOB OAOB，即，即x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0,=0,即即x x1 1x x2 2+(ax+(ax1 1+1)(ax+1)(ax2 2+1)=0, +1)=0, (a(a2 2+1) x+1) x1 1x x2 2 +a(x +a(x1 1+x+x2 2 )+1=0, )+1=0,解得解得a=a=1.1. (1)當(dāng)當(dāng)a為何值時(shí)，以為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)；為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)；1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a +1) +a+1=03a3a (2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使使A、B關(guān)于關(guān)于y=2x對(duì)稱，對(duì)稱， 若存在，求若存在，求a;若不存在，說明理由若不存在，說明理由.3、設(shè)雙曲線、設(shè)雙曲線C： 與直線與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B。（1）求雙曲線）求雙曲線C的離心率的離心率e的取值范圍。的取值范圍。（2）設(shè)直線）設(shè)直線l與與y軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為P，且，且 求求a的值。的值。2221(0)xyaa:1l xy5,12PAPB 1317, 06028912,.12125.1212172222222222aaaaxaaxaax所以由得消去所以4