第三章-力系平衡

1、第三章第三章 力系的平衡力系的平衡 匯交力系的平衡方程匯交力系的平衡方程 1.空間匯交力系空間匯交力系 平衡的充要條件平衡的充要條件 將上式兩邊向x、y、z 軸投影，可得平衡方程 可以求解3個未知量。 2.平面匯交力系平面匯交力系 R0FF000 xyzFFF 力偶系的平衡方程力偶系的平衡方程 1.空間力偶系空間力偶系 平衡的充要條件（幾何條件）平衡的充要條件（幾何條件） 將上式兩邊向x、y、z 軸投影，可得平衡方程 可以求解3個未知量。 2.平面力偶系平面力偶系 0iMM000ixiyizMMM平衡的充要條件平衡的充要條件: :力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零.任意力系的平衡方程任意力系的平衡

2、方程 空間任意力系：空間任意力系：平衡的充要條件:力系的主矢和對任一點(diǎn)任一點(diǎn)的主矩均為零。 將上式向x、y、z 軸投影，可得空間任意力系的平衡方程 可以求解6個未知量。0im R0F0OM000 xyzFFF()0()0()0 xyzMMMFFF 空間平行力系空間平行力系選擇z軸與力系的作用線平行 空間平行力系的平衡方程 可以求解3個未知量zxoFiFF2yF1n0()0()0zxyFMMFF00( )0 xyzFFm F平面任意力系 如果取平面任意力系的作用平面為oxy平面， 則 平面任意力系的平衡方程（一般形式）： 可以求解3個未知量0( )0( )0zxyFMFMF00()0 xyzFF

3、MF000()0 xyFFMF二力矩的形式 限制條條件：力矩中心A、B 兩兩點(diǎn)的連連線不能與投影軸線不能與投影軸x軸垂軸垂直直0()0()0 xABFMMFFoyxFi2FFnF1oxAB三力矩的形式 限制條條件：力矩中心A、B 、C 三點(diǎn)不在同一條條直線線上。()0()0()0ABCMMMFFFCBAACB1P =4kN, 已知：已知：P1=4KN，P2=10KN，尺寸如圖，求：，尺寸如圖，求：BC桿受力及鉸桿受力及鉸 鏈鏈A受力。受力。17.33TF kN5.33AyFkN0ixF 0cos300AxTFF0iyF012sin300AyTFPPF0AM021sin30 6 430TFPP

4、(1)(1)解：解： 取取AB 梁，畫受力圖。梁，畫受力圖。解得解得又可否列下面的方程？又可否列下面的方程？能否從理論上保證三組方程求得的結(jié)果相同？能否從理論上保證三組方程求得的結(jié)果相同？可否列下面的方程：可否列下面的方程：21120cos3000sin30643006320ixAxTATBAyFFFMFPPMFPP 2112120sin306430063200340ATBAyCAxMFPPMFPPMFACPP 例：例：簡支梁受力如圖，已知簡支梁受力如圖，已知F300N, q=100N/m, 求求A ,B處的約束反力。處的約束反力。FqABCD2m2m4m解：簡支梁受力如圖所示：解：簡支梁受力

5、如圖所示：BFAyFAxF00AxxFF0AM02648FqFBNFB375NFAy3250yF 104 qFFFBAy代入（代入（1）式）式 求圖示伸出梁的支座反力。求圖示伸出梁的支座反力。2mBA2m3m2mF =5KN1F =20KN2q =4KN/m12mq =2KN/mm =8KNmo求如圖所示懸臂梁的支座反力求如圖所示懸臂梁的支座反力.平面平行力系選y軸或者x軸與力系的作用線平行，則 一般式， 二力矩式 或00,.XY有或者只有兩個獨(dú)立的平衡方程0()0yOFMF00ABM (F )M (F )條件：條件：AB連線不能平行連線不能平行 于力的作用線于力的作用線均質(zhì)桿AB和BC在B端

6、固結(jié)成60角，A端用繩懸掛，已知BC=2AB,求當(dāng)剛桿ABC平衡時，BC與水平面的傾角。已知: G1, G2, a,b,e,L求：起重機(jī)滿載時不向右和空載時不向左翻倒時，平衡重的重量G3所應(yīng)滿足的條件。解：以起重機(jī)為研究對象(1)滿載時不翻倒條件：FNA0 (1)由 得：0Bm 由(1)、(2)式 得： 1233eLGGGabeAbaG32GBL1GN BFN AF 312312()0()2NANAabF beLGGGabeLGGGFb不翻倒條件：FNB0 (4)由 得： 3113()0()5NBNBaF bbeGGbeaGGFb由(4)、(5)式 得： 13()6beGGa 由式(3)和(6

7、)可得，起重機(jī)滿載和空載均不致 翻倒時，平衡重的重量G3所應(yīng)滿足的條件為：2113()LebeGGGGabaFAGa3N BN AFbBe1G0Am 3.4.1 3.4.1 單個物體平衡方程的應(yīng)用單個物體平衡方程的應(yīng)用單個物體平衡問題的研究，可按以下步驟進(jìn)行：（1）根據(jù)物體平衡問題正確選定研究對象。 (要畫出研究對象的形狀)（2）分析研究對象的受力情況，正確畫出其受力圖。 (研究對象本身對周圍的作用力不要畫出.)（3）選擇恰當(dāng)?shù)钠胶夥匠?、投影軸和力矩中心， 求解未知力。 水平梁AB中點(diǎn)C作用著力F，其大小等于2 kN，方向與與梁的軸線軸線成60角，支承情況況如圖圖a 所示，試試求固定鉸鏈鉸鏈支

8、座A和活動鉸鏈動鉸鏈支座B的約約束力。梁的自重不計計。 6030aa(a)解：解：(1) (1) 取制動蹬取制動蹬ABD ABD 作為研究對象。作為研究對象。(2) (2) 畫出受力圖。畫出受力圖。O O P PA AS SB BB BN ND DD D (b)(b)J JN ND DK KS SB BP PI I (c)(c)P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)(3) (3) 應(yīng)用平衡條件畫出應(yīng)用平衡條件畫出P P、S SB B 和和N ND D 的閉和的閉和力力三角形。三角形。圖示是汽車制動機(jī)構(gòu)的一部分。司機(jī)踩到制動蹬上的力圖示是汽車制動機(jī)構(gòu)的一部分。司機(jī)

9、踩到制動蹬上的力P P=212N=212N，方方向與水平面成向與水平面成 =45=45 角。當(dāng)平衡時，角。當(dāng)平衡時，BCBC水平，水平，ADAD鉛直，試求拉桿所受鉛直，試求拉桿所受的力。已知的力。已知EAEA=24cm=24cm，DEDE=6cm=6cm 點(diǎn)點(diǎn)E E在鉛直線在鉛直線DADA上上 ，又，又B B、C C、D D都是光都是光滑鉸鏈，機(jī)構(gòu)的滑鉸鏈，機(jī)構(gòu)的自重不計。自重不計。cm 24 EAOE25. 0tgOEDE 214.250arctgPSBsin180sin （5 5）代入數(shù)據(jù)求得：）代入數(shù)據(jù)求得： S SB B=750 N=750 N。（4 4）由幾何關(guān)系得：）由幾何關(guān)系得：

10、 由力三角形可得：由力三角形可得：O O P PA AS SB BB BN ND DD D (b)(b)J JN ND DK KS SB BP PI I (c)(c)P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)TBD300FAB150150TBCTBD=G EB例題例題 井架起重裝置簡圖如圖所示，重物通過卷揚(yáng)機(jī)井架起重裝置簡圖如圖所示，重物通過卷揚(yáng)機(jī)D由繞過滑輪由繞過滑輪B 的鋼索起吊。起重臂的的鋼索起吊。起重臂的A端支承可簡化為固定鉸支座，端支承可簡化為固定鉸支座，B端用鋼索端用鋼索BC 支承。設(shè)重物支承。設(shè)重物E重重G=20KN，起重臂的重量、滑輪的大小和重量索及

11、鋼起重臂的重量、滑輪的大小和重量索及鋼 的重量均不計。求當(dāng)重物的重量均不計。求當(dāng)重物E勻速上升時起重臂勻速上升時起重臂AB和鋼索和鋼索BC所受的力。所受的力。解：解：1、取滑輪連同重物、取滑輪連同重物E為研究對象，受力分析：為研究對象，受力分析：G300600150A BCD Ex300150150TBDTBCGTBD=G Y = 0 X = 0FAB = 45 kN- TBC cos300 - TBD cos450 + FAB cos600= 0 EBTBC = 9.65 kNFABy- TBC cos600 - TBD cos450 + FAB cos300-G= 02、取匯交點(diǎn)、取匯交點(diǎn)

12、B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系：為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系：3、列平衡方程并求解：、列平衡方程并求解：300300600150A BCD E300150150TBDTBCGTBD=Gxy EB- TBD sin150+ FAB sin300-Gsin600= 0FAB = 45 kN Y = 0FAB解二：解二：300600150A BCD E X = 0- TBC - TBD cos150 + FAB cos300-Gcos600= 0TBC = 9.65 kN1、一般地，對于只受三個力作用的物體，且角度特殊時用、一般地，對于只受三個力作用的物體，且角度特殊時用 幾幾 何法（解力三角形）比較簡便。何法

13、（解力三角形）比較簡便。 解題技巧及說明：解題技巧及說明：3、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個方程中只有一、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個方程中只有一個未知數(shù)。個未知數(shù)。 2、一般對于受多個力作用的物體，且角度不特殊或特殊，、一般對于受多個力作用的物體，且角度不特殊或特殊，都用解析法。都用解析法。5、解析法解題時，力的方向可以任意設(shè)，如果求出負(fù)值，說、解析法解題時，力的方向可以任意設(shè)，如果求出負(fù)值，說明力方向與假設(shè)相反。對于二力構(gòu)件，一般先設(shè)為拉力，如明力方向與假設(shè)相反。對于二力構(gòu)件，一般先設(shè)為拉力，如果求出負(fù)值，說明物體受壓力。果求出負(fù)值，說明物體受壓力。4、對力的方向判定不準(zhǔn)的，

14、一般用解析法。、對力的方向判定不準(zhǔn)的，一般用解析法。n個物體組成的物體系統(tǒng)2 單個物體平面一般力系33n平面平行力系22n平面匯交力系2n平面力偶系1n獨(dú)立平衡方程數(shù) 3.4.2 物體平衡方程的應(yīng)應(yīng)用 （1）靜定問題與靜不定問題的概念靜定問題與靜不定問題的概念 1.靜靜定問題問題 未知量的個數(shù)個數(shù)獨(dú)獨(dú)立平衡方程數(shù)數(shù) 2.超靜靜定問題問題（或靜靜不定問題問題） 未知量的個數(shù)個數(shù)獨(dú)獨(dú)立平衡方程數(shù)數(shù)超靜靜定次數(shù)數(shù)=未知量的個數(shù)個數(shù)-獨(dú)獨(dú)立平衡方程數(shù)數(shù) 判斷下面結(jié)構(gòu)是否靜定判斷下面結(jié)構(gòu)是否靜定？判斷下面結(jié)構(gòu)是否靜定判斷下面結(jié)構(gòu)是否靜定？（2）物體系的平衡問題）物體系的平衡問題 物體系統(tǒng)（物系物系）：由

15、若干個物體通過適當(dāng)?shù)募s束相互連接而成的系統(tǒng) 。Theoretical Mechanics求解過程中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)求解過程中應(yīng)注意以下幾點(diǎn) 在一般情況下，首先以系統(tǒng)的整體為研究對象，這樣則不出現(xiàn)未知的內(nèi)力，易于解出未知量。當(dāng)不能求出未知量時應(yīng)立即選取單個物體或部分物體的組合為研究對象，一般應(yīng)先選受力簡單而作用有已知力的物體為研究對象，求出部分未知量后，再研究其他物體。 返回首頁首先判斷物體系統(tǒng)是否屬于靜定問題 恰當(dāng)?shù)剡x擇研究對象 首先從二力構(gòu)件入手，可使受力圖較簡單，有利于解題。 解除約束時，要嚴(yán)格地按照約束的性質(zhì)，畫出相應(yīng)的約束力，切忌憑主觀想象畫力。畫受力圖時，關(guān)鍵在于正確畫出鉸鏈約束力，除

16、二力構(gòu)件外，通常用二分力表示鉸鏈反力。 不畫研究對象的內(nèi)力。 兩物體間的相互作用力應(yīng)該符合作用與反作用定律。列平衡方程，求出全部未知力列平衡方程，求出全部未知力 返回首頁 受力分析，畫隔離體的受力圖受力分析，畫隔離體的受力圖例例已知：圖示梁，求：已知：圖示梁，求：A、B、C處約束力。處約束力。AXAYmABN整體： 四個反力拆開：BC桿三個反力故先分析故先分析BC桿，再分析整體或桿，再分析整體或AC桿，桿，。CXCYBNAXAYmACX CY AC桿五個反力解：解：1、取、取BC桿為研究對象桿為研究對象 0Cm2、取整體為研究對象、取整體為研究對象AXAYmABNCX CY BN0 X02 P

17、aaNB22PaPaNB 0Y0 BCNY2PNYBC 0 XXA= 00Y0 PNYBA23PNPYBA 0 CX2PNB XA= 02PYC 0 CX（）（）23PYA PamA2 （）（ ） 0Am04 ABmPaPaaNPaaNmBA24 例1：已知已知F500N, q=250N/m, M=500N.m, 求求A ,B, E處的約束反力。處的約束反力。解解(1)取取CE桿為研究對象，受力如圖桿為研究對象，受力如圖(b)qFM11222ABCDE(a)MDECqEyFCyFCxF(b)對對CE桿桿 0CM0124qMFEyNFEy250qFM11222ABCDEEyFByFAyFAxF(

18、2)取整體為研究對象，受力如圖取整體為研究對象，受力如圖NFEy25000AxxFF0214480ByEyAFFqMFMNFBy1500 040EyByAyyFFFqFFNFAy250 F500N, q=250N/m, M=500N.m例例已知已知: :DC=CE=CA=CB=2l,DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l,R=2r=l,450P P, , 各構(gòu)件自重不計。各構(gòu)件自重不計。求求: :A,EA,E支座處約束力及支座處約束力及BDBD桿受力。桿受力。解解: :取整體取整體, ,畫受力圖。畫受力圖。 0EM02522lPlFA解得解得PFA825 0ixF045cos0AExFF解得解得PFEx85 0iyF045sin0AEyFPF解得解得PFEy813取取DCEDCE桿桿, ,畫受力圖畫受力圖. . 0CM02245cos0lFlFlFExKDB解得解得PFDB823( (拉拉) )Theoretical Mechanics 例 水平傳動軸上安裝著帶輪和圓柱直齒輪。帶輪所受到的緊邊膠帶拉力FT1沿水平方向，松邊膠帶拉力FT2與水平線成30角，如圖所示。齒輪在最高點(diǎn)C與另一軸上的齒輪相嚙