泰勒公式在數值分析中的應用講解

1、2015年度本科生畢業(yè)論文（設計）文山學院WENSHANUIMIVE口SITY泰勒公式在數值分析中的應用教學系：數學學院專業(yè)：數學與應用數學年級：11級數本（3）班姓名：袁國彥學號：20110701013056導師及職稱：程高講師2015年05月畢業(yè)論文（設計）原創(chuàng)性聲明本人所呈交的畢業(yè)論文（設計）是我在導師的指導下進行的研究工作及取得的研究成果。據我所知，除文中已經注明引用的內容外，本論文（設計）不包含其他個人已經撰寫或發(fā)表過的研究成果。對本論文（設計）的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中作了明確說明并表示謝意。作者簽名：日期：畢業(yè)論文（設計）授權使用說明本論文（設計）作者完全了解文山

2、學院有關保留、使用學生畢業(yè)論文（設計）的規(guī)定，學校有權保留論文（設計）并向相關部門送交論文（設計）的電子版和紙質版。有權將論文（設計）用于非贏利目的的少量復制并允許論文（設計）進入學校圖書館被查閱。學?？梢怨颊撐模ㄔO計）的全部或部分內容。保密的論文（設計）在解密后適用本規(guī)定。作者簽名：指導教師簽名：日期：日期：袁國_畢業(yè)論文（設計）答辯委員會（答辯小組）成員名單姓名職稱單位備注文山學院本科畢業(yè)論文（設計）摘要泰勒公式是微積分中一個重要的公式，它將一些復雜的函數近似的表示為多項式函數，為一些復雜函數的求解帶來方便。不僅在數學分析中有著重要的地位，在數值分析中也有著廣泛的應用，本文簡要介紹了泰勒

3、公式在數值分析中的應用，并討論泰勒公式在泰勒插值，歐拉方法和牛頓迭代法中的具體應用，在泰勒插值和數值積分中，用泰勒公式展開的多項式去逼近原函數，得出近似解，并分析誤差。歐拉方法是通過迭代的方法，求得近似值，通過用不同的步長進行對比，并得到一種通過控制誤差來得到步長的方法。牛頓迭代法是求解非線性方程近似解的一種方法，通過程序來得到方程根所在的區(qū)間，求出初值，最后控制其誤差。泰勒公式需要先取點對原式進行泰勒展開，如何選取，使得泰勒公式展開后，計算的結果在誤差的允許范圍內，并且計算過程盡量簡單，減少計算步驟。關鍵詞：泰勒展開；泰勒插值；數值積分；歐拉方法；牛頓迭代法；數值分析Theapplicati

4、onofTaylorformulainnumericalanalysisABSTRACTTaylorformulaisanlmpoitantformulainCalculus,ItwillbesomefiinctionapproxmiationisexpressedasapolynomialfunctionNotonlyplaysanlmpoitantroleinmathematicalanalysis,anditiswidelyusedinthenumeiicalanalysis,thispaperbneflvintioducestheapplicationofTayloiformulain

5、numeiicalanalysis,anddiscusstheTaylorformulaintheapplicationofTaylorliiteipolation,EulermethodandNewtoniterationmethod,Tayloiinterpolation,polynomialusingtheTavloiexpansiontoapproximatetheonginalfiinction,theappioximatesolutionandeiroranalysis.TheEulermethodisobtainedbyiterativemethod,approximateval

6、ue,comparedtothediffeientstepsize,andamethodtogetlinnstepbycontrollingtheenor.TheNewtoniterativemethodisamethodofappioximatesolutionforsolvingnonlmearequations,tluoughthepiogramtogettherangeofequationroot,andtheenoicontrol.NeedtoselectapouitontheongmalTavloi;howtoselect,theTayloiexpansion,thecalcula

7、tionresultsmtherangeofallowableenoiinthecalculationoftheprocessassimpleaspossible,andtoreducethecomputationalsteps.Keywords:Tavloiexpansion;Tayloimterpolation;Numeiicalintegration;Eulefsmethod;TheNewtoniterationmethod;Numeiicalanalysis目錄一、引言1二、泰勒公式的應用32.1泰勒插值-32.2泰勒公式在數值積分中的應用62.3歐拉方法-72.4用泰勒公式求方程根的

8、近似解-92.4.1牛頓迭代法92.4.2掃描法102.4.3誤差估計公式10參考文獻12致謝13附錄14文山學院本科畢業(yè)論文（設計）泰勒公式的背景：希臘人在理性數學活動中，已接觸到了無限性、聯(lián)系性等概念，這方面最具有代表性的人物是伊利亞學派的芝諾。他在考慮利用無窮級數求和來得到有限結果時，提出了四個著名的悖論。后來，隨著無限小算法的推廣，英國的數學家們在大學里教授和研究牛頓的流數術,他們中優(yōu)秀的代表有泰勒和麥克勞林。泰勒在1715年出版的正的和反的增量方法一書中，陳述了它早在1712年就已獲得的著名定理，這就是為人所熟知的泰勒級數。愛丁堡大學教授麥克勞林發(fā)現(xiàn)了泰勒級數的特例，稱為“麥克勞林級

9、數”。泰勒公式的推導：由導數和微分的概念，如果函錯誤味找到引用源。在點錯誤!未找到引用源?？蓪?，則有fCO二f（%）+尸COO咒o）+。（兀一1即在點錯誤味找到引用源。附近，用一次多項式錯誤味找到引用源。逼近函數值錯誤!未找到引用源。時，其誤差為錯誤!未找到引用源。的高階無窮小量。然而在很多場合,取一次多項式的逼近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項式去逼近，并要求誤差為錯誤!未找到引用源。，其中錯誤!未找到引用源。往往為多項式的次數，為此，我們考察任-錯誤!未找到引用源。次多項式錯誤!未找到引用源。.錯誤!未找到引用源。逐次求它在點錯誤!未找到引用源。的各階導數，得到PnM=%，錯誤!未

10、找到引用源。，錯誤味找到引用源。，錯誤味找到引用源。，錯誤!未找到引用源。.由此可見，多項式錯誤味找到引用源。的各項系數由其在點錯誤味找到引用源。的各階導數值所唯一確定。對于一般函數錯誤!未找到引用源。，設它在點錯誤味找到引用源。存在直到錯誤!未找到引用源。階的導數，由這些導數構造一個n次多項式錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。稱為函數錯誤味找到引用源。在點錯誤味找到引用源。處的泰勒（錯誤味找到引用源。）多項式，錯誤!未找到引用源。的各項系數錯誤!未找到引用源。稱為泰勒系數。由上面對多項式系數的討論，易知錯誤!未找到引用源。與其泰勒多項式錯誤!未找到引用源。在點錯誤味找到引用源。有相同

11、的函數值和直至錯誤!未找到引用源。階導數值，即文山學院本科畢業(yè)論文(設計)錯誤!未找到引用源。（3）下面將要證明錯誤味找到引用源。，即以錯誤味找到引用源。式所示的泰勒多項式逼近錯誤!未找到引用源。時，其誤差為關于錯誤!未找到引用源。的高階無窮小量。定理1.2：若函數錯誤!未找到引用源。在點錯誤!未找到引用源。存在直至錯誤!未找到引用源。階導數，則有錯誤味找到引用源。，即fM=f（力）+'J（X一%0）+fJ'（%一咒qF+-（%-1!Z!n證：錯誤味找到引用源。，錯誤味找到引用源。,現(xiàn)在只要證由關系式錯誤味找到引用源?？芍?心（）=或（心）=6并易知QnCxo）=Qn（X0）=

12、0$一=0，=汕因為錯誤味找到引用源。存在，所以點錯誤味找到引用源。的某鄰域錯誤!未找到引用源。內錯誤沬找到引用源。存在錯誤!未找到引用源。階導函數錯誤味找到引用源。當錯誤!未找到引用源。且錯誤!未找到引用源。時，允許接連使用洛必達法則錯誤!未找到引用源。次，得乂QnM戈七。Qn（%）力S'limM七o/"a（Q嚴"。如疋%）&心）n（n1）2（%xQ）1lim7lz心廣7（兀）廣一鞏衍）仗一心）=0其中泰勒公式（4）在錯誤沬找到引用源。時的特殊形式:凡龍)=代0)+八0)"爭疋戶)(0)711X11+o(xn).(6)它也稱為(帶有佩亞諾余項的)

13、麥克勞林公錯誤!未找到引用源。泰勒公式是用一個函數在某點的信息描述其附近取值的公式，如果函數足夠光滑的話，在已知函數在某一點的各階導數值的情況下，泰勒公式可以用這些導數值做系數構建一個多項式來近似函數在這一點的領域中的值，泰勒公式還給出了這個多項式和實際函數值之間的偏差。數值計算中泰勒公式有廣泛的應用，泰勒公式的證明與應用方面對于研究者來說一直具有吸引力，其理論方法已經成為研究函數極限和估計誤差方面不可或缺的數學工具，在近似計算上有著獨特的優(yōu)勢，利用它可以滿足很高的精度要求。泰勒公式可以應用于求極限，判斷函數極值，求函數在某些點的數值，近似計算等方面。二、泰勒公式的應用2.1泰勒插值實際問題中

14、碰到的函數錯誤!未找到引用源。是各種各樣的，有的表達式很復雜，直接研究函數錯誤!未找到引用源?？赡芎芾щy，面對這種情況，一個很自然的想法是將函數錯誤味找到引用源。簡單化，構造某個簡單的函數錯誤!未找到引用源。作為錯誤!未找到引用源。的近似函數，通過處理錯誤!未找到引用源。獲得關于錯誤!未找到引用源。的結果，如果要求近似函數錯誤!未找到引用源。取給定的離散數據，則稱之為錯誤!未找到引用源。的插值函數。其中泰勒公式展開公式開方法就是一種插值方法，由于代數多項式的結構簡單，數值分析方面就相對簡單。己知泰勒多項式%CO=代咒(?)+'V(%-x0)+亍(%-x&)2+(%-%0)K.J

15、L!Zj!成立。求作錯誤!未找到引用源。次多項式錯誤!未找到引用源。，使其滿足條件錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。這里錯誤!未找到引用源。為一組已給出的數據。容易看出，對于給定的函數錯誤味找到引用源。，若導數值錯誤!未找到引用源。已給,則上述泰勒插值的問題的解就是泰勒多項式。運用泰勒公式做近似計算時，一般要用到帶有拉格朗日余項的泰勒展開。例2.1.1：求作錯誤!未找到引用源。在節(jié)點錯誤!未找到引用源。的一階和二階泰勒多項式，計算錯誤!未找到引用源。的近似值，估計誤差并與精確值0.723805對比。解：用MATLAB程序求岀錯誤!未找到引用源。在節(jié)點的一階和二階泰勒多項式，相關程序見附

16、錄1。所以錯誤!未找到引用源。在錯誤!未找到引用源。的一次泰勒多項式是：P1W=fM+1!0(兀一兀0)=5+0.05X二次泰勒多項式是：錯誤!未找到引用源。二錯誤!未找到引用源。用錯誤!未找到引用源。作錯誤味找到引用源。的近似表達式，將錯誤味找到引用源。代入一次泰勒多項式得：<715=/(x)站血仗)=10.75根據定理1可估計出誤差：fM一PiM=匚字(力嚴>匚辭(x一x0)2=血(x一100)2=-0.028125錯誤!未找到引用源。與精確值比較，誤差為錯誤!未找到引用源。，具有3位有效數字。二次泰勒多項式的值：卩23)=fOo)+了'J咒一xo)+了(%-x0)2=

17、5+0.05兀-(x-100)2=10.721875這個結果有4位有效數字。我們對兀取的不同取值，通過作圖對它們的逼近效果進行對比，程序見附錄2。-5-10.910.810.710101010101021105110115圖2-1-1圖中代表二次泰勒多項式的值，代表一次泰勒多項式的值，“+”代表精確值，可以看出二次的泰勒公式展開逼近的效果更好，且衍越逼近,誤差越小。定理錯誤!未找到引用源。：若函數錯誤!未找到引用源。在錯誤!未找到引用源。上存在直至“階的連續(xù)導數，在錯誤!未找到引用源。內存在錯誤!未找到引用源。階導數函數，則對任意給定的錯誤!未找到引用源。，至少存在一點錯誤!未找到引用源。，使

18、得:“、“.廠(龍、2.嚴司仗°),w/(x)=+_(x-x0)+(x-x0)+(-知)證：作輔助函數：錯誤!未找到引用源。，G=所要證明的定理為：錯誤!未找到引用源?；蝈e誤!未找到引用源。不妨設錯誤!未找到引用源。，則錯誤味找到引用源。與錯誤!未找到引用源。在錯誤!未找到引用源。上連續(xù)，在錯誤!未找到引用源。內可導，且鞏衍)G(t)'=-(n+1)(%一丁羊0乂因為錯誤!未找到引用源。，所以由柯西中值定理得：S心）-f（q_y嚴）G®q）GOq）G&）一G（t）r（-H+1）!其中錯誤!未找到引用源。，他的余項為：（戈）=f（戈）一為仗）=（料+）!（咒一

19、xo）k+1=%Q+e（x-x0）（Q<e<i）如果錯誤味找到引用源。，錯誤味找到引用源。為定數，則取余項不會超過錯誤!未找到引用源。，從而可以近似地計算某些數值且估計誤差。例2丄2：計算錯誤!未找到引用源。麥克勞林公式展開，并計算錯誤味找到引用源。的近似值，使其誤差不超過錯誤!未找到引用源。和錯誤!未找到引用源。解：錯誤!未找到引用源。當錯誤味找到引用源。時，錯誤味找到引用源。取錯誤!未找到引用源。，便有33爲<一=<10"6910!3628800略取錯誤!未找到引用源。求得的錯誤!未找到引用源。的近似值為：111e1+11處2.7182852!3!9!取錯

20、誤味找到引用源。時，3<«4.81XIO"10<10"9略取錯誤味找到引用源。求得的錯誤味找到引用源。的近似值為:111e.1+1+-+_+.+_站2.718281828由上面可以看出如果采用更高次的多項式來逼近錯誤!未找到引用源。，能在更大范圍內滿足同一誤差，但同時也增大了計算量，所以在計算時應選擇適當的階數。2.2泰勒公式在數值積分中的應用設F（Q為的一個原函數，由牛頓一萊布尼茨公式知，定義在區(qū)間心b上的定積分為：文山學院本科畢業(yè)論文（設計）f(x)dx=F(x)f-丿ca但有些原函數不能用初等函數表達或者有的原函數十分復雜難以求出或計算，不能用上

21、述公式。理論上定積分是一客觀存在的確定的數值，要解決的問題是能否找到其他途徑來解決定積分的近似計算。泰勒公式是一件很好的工具，它可實現(xiàn)定積分的近似計算。例221：解定積分的近似值，當取6階導數值時誤差范圍是多少？解：定積分的被積函數不可積，可用泰勒公式將其展為幕級數，然后逐項積分，再利用積分后的級數計算。因為：COSA：=1-+-Q-0.23958,2x2：4x4!因為|cos(0x+|n-)|<l,所以此時誤差:1R<0.0002316X6!2.3歐拉方法歐拉方法是求解常微分方程初值問題錯誤!未找到引用源。的重要方法，下面由泰勒公式導出歐拉公式錯誤味找到引用源。，用泰勒公式將錯誤

22、味找到引用源。在錯誤味找到引用源。處展開有兀2y(xn+i)=y(s)+矽牝)+y"(0取右端前兩項得錯誤!未找到引用源。，設用錯誤!未找到引用源。的近似值錯誤!未找到引用源。代入上式的右端，記所得結果為錯誤!未找到引用源。，這樣導出的計算公式3.1這就是眾所周知的歐拉格式，若初值錯誤!未找到引用源。是己知的，則可以根據公式逐步算出數值解錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。為簡化分析，人們常在錯誤!未找到引用源。的前提下估計誤差錯誤!未找到引用源。，這種誤差稱為局部截斷誤差。稱一種數值方法的精度是錯誤!未找到引用源。階的，則其局部截斷誤差為錯誤!未找到引用

23、源。：y(xn+i)-yg)=9"(0這說明歐拉格式僅為一階方法。例2.3.1：取步長錯誤味找到引用源。和錯誤味找到引用源。，用歐拉方法求解初值問題(,2%/、y=y(0<%<1)y(o)=1的解錯誤!未找到引用源。在點錯誤味找到引用源。的近似值，即錯誤味找到引用源。的近似值，并與精確解錯誤!未找到引用源。進行比較，分析這兩種步長的穩(wěn)定性。解:將程序結果整理成表格，程序見附錄3。表2-3-1錯誤!未找到引用源。的近似值，絕對誤差反-fCOI011.10000.0046021.20000.0168021.19180.0086031.27740.0125041.37330.0

24、317041.35820.0166051.43510.02090.61.53150.0483061.50900.0257071.58030.0311081.64980.0373081.68110.0686091.71780.0445101.82690.0949101.78480.0527由表格可以看出當步長錯誤味找到引用源。時，歐拉方法計算錯誤味找到引用源。的近似值為1.7848,與精確解的誤差絕對值為0.0527o當錯誤!未找到引用源。時，歐拉方法計算錯誤!未找到引用源。的近似值為1.8269,與精確解的誤差絕對值為0.0949。所以步長錯誤!未找到引用源。時計算更穩(wěn)定。但從每一步來看，步長

25、越小，截斷誤差就越??；但隨著步長的縮小，在一定求解范圍內所要完成的步數就增加了。步數的增加不但引起計算量的增大，而且可能導致舍入誤差的嚴重積累。所以微分方程的數值解法也需要選擇步長。先以錯誤!未找到引用源。為步長，求出一個近似解，記錯誤!未找到引用源。，然后將步長取半，即取錯誤味找到引用源。為步長從錯誤味找到引用源?？鐑刹降藉e誤！未找到引用源。在求得一個近似解錯誤!未找到引用源。這樣可以通過檢查步長折半前后兩次計算結果的偏差來判斷所選取的步長是否合適，若要求求初步誤差為0.01,則程序見附錄4,取其中的兒項進行對比：表2-3-2錯誤!未找到引用源。的近似值，絕對誤差ly«.-yOJ0

26、.06251.06250.00180.51.42670.013411.76650.0344得到步長錯誤!未找到引用源。，并且初次迭代的誤差控制到0.0018c2.4用泰勒公式求方程根的近似解2.4.1牛頓迭代法牛頓公式的導出:設方程錯誤味找到引用源。的近似根為錯誤味找到引用源。，則錯誤味找到引用源。在點錯誤!未找到引用源。附近可用一階泰勒多項式p（%）=f（%+f0（咒一代替，故方程錯誤!未找到引用源。可以近似的表示為錯誤!未找到引用源。，后者是個線性方程，它的求根是容易的，我們取錯誤!未找到引用源。的根作為錯誤!未找到引用源。的新近似根，記錯誤!未找到引用源。，則有：這就是著名的牛頓公式，相

27、應的迭代方程為錯誤味找到引用源。，其中仏）牛頓法是一種逐步線性化方法，這種方法的基本思想是將非線性方程錯誤!未找到引用源。的求根問題歸結為計算一系列線性方程錯誤!未找到引用源。十錯誤!未找到引用源。=0的根。牛頓法有明顯的兒何解釋，方程錯誤!未找到引用源。的根錯誤!未找到引用源。在兒何上解釋為曲線錯誤味找到引用源。與錯誤味找到引用源。軸的交點的橫坐標。設錯誤味找到引用源。是根錯誤!未找到引用源。的某個近似值，對曲線錯誤味找到引用源。上橫坐標為錯誤味找到引用源。的點錯誤味找到引用源。引切線，設該切線與錯誤!未找到引用源。軸的交點的橫坐標記為錯誤!未找到引用源。（見圖），則這樣獲得的錯誤!未找到引

28、用源。即為按牛頓法求得的近似根，由于這種兒何背景，牛頓法亦稱切線法。-11-圖2-4-12.4.2掃描法掃描法是一種在計算機上較實用的方法，簡單的來說就是將有根區(qū)間分為若干個子區(qū)間，然后從有根區(qū)間的左端點開始，一個一個小區(qū)間檢查是否是隔根區(qū)間。對于代數方程fM=aoxn+的咒九7+ax+a”=0（a0工0）記錯誤味找到引用源。，則其根的上、下界分別為錯誤味找到引用源。和錯誤味找到引用源。，由此即可確定其有根區(qū)間錯誤！未找到引用源。，其中二），b=1+2.43誤差估計公式估計以錯誤味找到引用源。作為錯誤味找到引用源。的近似值的誤差，由中值定錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引

29、用源。，因而記錯誤味找到引用源。，則例2.4.1：:方程錯誤!未找到引用源。有兒個根，并求出最小正根的近似解，是誤差不超過錯誤!未找到引用源。泰勒公式在數值分析中的應用解：（1）首先用掃描法求出根錯誤!未找到引用源。屬于有根區(qū)間錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。和錯誤味找到引用源。，所以方程錯誤!未找到引用源。有3個根，且在錯誤!未找到引用源。上有最小正根，見附錄5-1。（2）在錯誤味找到引用源。上求出根的初值，即0和1誰是根的初值，程序見附錄5-2,則求的初值為錯誤!未找到引用源。（3）錯誤!未找到引用源。在錯誤!未找到引用源。上的最小值為錯誤!未找到引用源。，則可以跟據誤差公式和牛

30、頓迭代法求出滿足誤差條件的近似根，程序見附錄5-3。結果為：xO=031250000000000xO=0.25210736468500xO=0.25121933490266該程序能求出根所在的區(qū)間及初值，并對誤差進行控制，從而得到誤差允許范圍內的近似根，且第三個根的符合誤差的精度要求時程序停止運算。-#-文山學院本科畢業(yè)論文（設計）參考文獻1 華東師范人學數學系數學分析M.北京：高等教育出版社，2001,134-1582 張春紅.泰勒公式在近似計算及數值積分中的應用J.黑龍江科學，2014,第5卷第七期，1373 孔珊珊.泰勒公式在數值計算中的應用J.濟寧學院學報，2011,第32卷第三期，7

31、0-724 王能超.數值分析簡明教程M.北京:高等教育出版社，2003,135-1365 孫鳳芝.數值計算方法與實驗M.哈爾濱：黑龍江出版社，2013,25-26-19-致謝本論文是在我的導師程老師的親切關懷下完成的，老師淵博的專業(yè)知識，精益求精的工作態(tài)度對我影響深遠。從課題的選擇到論文的最終完成，每一步都是在程老師的悉心指導下完成的，傾注了導師大量的心血，在此我向他表示衷心的謝意。這四年來感謝文山學院數學學院的老師對我的培養(yǎng)，他們在學業(yè)上的細心指導為我打下了良好的基礎，在這里我要向諸位老師深深鞠上一躬。時光匆匆流去，轉眼畢業(yè)在即，從開始進入課題到論文的完成都離不開老師、同學給我的熱情幫助，很

32、慶幸我遇到了如此多的良師益友，無論在學習上、生都給予了我無私的幫助，謹以最樸實的話語致以敬意。附錄1:輸入程序：clear;symsx;f=xA(1/2);tl=taylor(f,2,100,x)t2=taylor(fz3,100zx)結果：tl=5+l/20*xt2=5+l/20*x-l/8000*(x-100)A2附錄2：輸入程序：clear;x=100:1:115;f=sqrt(x);t2=5+0.05*x;t3=5+005*x-(1/8000)*(x-100)A2;plot(x,f,'+o')結果：附錄3：輸入程序：先建立euler.m文件functionxOzyO=e

33、uler(fun,xO,xlzyOzn);h=(xl-xO)/n;fori=l:n;yl=yO+h大(fun(xOzyO)y=(l+2*(xO+h)A(l/2)jd=abs(yl-y)yO=yl;xO=xO+h;end然后取步長錯誤味找到引用源。和錯誤!未找到引用源。，即錯誤!未找到引用源。和錯誤!未找到引用源。(1)錯誤!未找到引用源。時輸入程序：fun=inline(1yO-2大xO/yO1);xOzyO=euler(funz0,lzlz10)結果：yl=1.1000y=1.0954jd=0.0046yl=1.1918y=11832jd=0.0086yl=1.2774y=12649jd=0

34、.0125yl=1.3582y=1.3416jd=0.0166yl=1.4351y=1.4142jd=00209yl=1.5090y=14832jd=0.0257yl=1.5803y=1.5492jd=0.0311yl=1.6498y=1.6125jd=0.0373yl=1.7178y=1.6733jd=0.0445yl=1.7848y=17321jd=0.0527x0=1.0000yO=1.7848（2）錯誤!未找到引用源。時fun=inline(1yO-2大xO/yO1);xO,yO=euler(fun,0z1,1,5)結果：yl=1.2000yl=1.3733yl=1.5315yl=1.6811yl=1.8269xO=1y=1.1832y=1.3416y=1.4832y=