高斯積分點以及有限元中應用

1、高斯積分法高斯積分法 在計算空間等參數(shù)單元的載荷列陣及剛度矩陣時，需用到如下形式的定積分： 其中被積分函數(shù)f(，)一般是很復雜的，即使能夠得出它的顯式，其積分也是很繁的。因此，一般用數(shù)值積分來代替函數(shù)的定積分。dddf 111111),(ddf 1111),(高斯積分法 數(shù)值積分：數(shù)值積分：在積分區(qū)域內(nèi)按一定規(guī)則選出一些點，稱為積分點，算出被積函數(shù)f(，)在這些積分點處的值，然后再乘以相應的加權(quán)系數(shù)并求和，作為近似的積分值。 數(shù)值積分的方法數(shù)值積分的方法有多種，其中高斯積分法可以用相同的積分點數(shù)達到較高的精度，或者說用較少的積分數(shù)達到同樣的精度。高斯積分法一、一維積分的高斯公式一、一維積分的高

2、斯公式 其中f(i)是被積函數(shù)在積分點i處的數(shù)值，Hi為加數(shù)系數(shù)，n為積分點數(shù)目。 對于n個積分點，只要選取適當?shù)募訑?shù)系數(shù)及積分點位置，能夠使式在被積分函數(shù)為不超過(2n-1)次多項式時精確成立。 由于多數(shù)函數(shù)可表示成多項式形式，這種積分適應于大多數(shù)函數(shù)。 niiifHdf111)()(高斯積分法例如，n=1時 不論f()的次數(shù)是0還是1，只需取H=2，1，上式均是精確成立的。因為 )()(1111fHdfI10)(CCf101( )22(0)IfdCf高斯積分法當n=2時，能保證式子精確成立所允許的多項式的最高次數(shù)是3，此時，f()的通式為其精確積分為數(shù)值積分為332210)(CCCCf20

3、11322)(CCdfI)()()()()(323222102313212101221121CCCCHCCCCHfHfHfHIiii高斯積分法為了在C0C3取任意值(包括取零值在內(nèi))時公式(f)是精確的，顯然應有所以，應取221 HH02211HH32222211HH0322311HH2 ,269,350,577. 031210 ,000,000,000. 121 HH， ， 高斯積分法ln n個插值結(jié)點非等距分布個插值結(jié)點非等距分布l結(jié)點和積分權(quán)系數(shù)可以查表結(jié)點和積分權(quán)系數(shù)可以查表111()(niiiAfdf高斯積分法二維積分的高斯公式二維積分的高斯公式以一維高斯積分公式為基礎，導出二維及三

4、維公式。求二維重積分 的數(shù)值時，可以先對、進行積分， 或改寫成 這就是二維的高斯積分公式。ddf 1111),()(),(),(111niiifHdfmjjjHd111)()( mjnijiijfHHddf111111),(),( nimjjijifHHddf111111),(),(高斯積分法三維積分的高斯公式三維積分的高斯公式同樣，可以求得三維高斯積分公式：中的n，m，l是分別關(guān)于變量，的積分點數(shù)目。各個維數(shù)上的積分點數(shù)目由各個自變量在被積函數(shù)中可能出現(xiàn)的最高次數(shù)分別決定，一般并不要求相同。但為應用方便，常常在各個方向取相同的積分數(shù)，即統(tǒng)一為最高值 nimjlkkjikjifHHHdddf1

5、11111111),(),( ninjjijifHHddf111111),(),( ninjnkkjikjifHHHdddf111111111),(),(高斯積分法 由前面的推導可見，當在每個方向取由前面的推導可見，當在每個方向取n n個積分點時個積分點時，只要多項式被積函數(shù)中自變量的次數(shù)，只要多項式被積函數(shù)中自變量的次數(shù)m2n-1m2n-1，則用高，則用高斯求積公式求得的積分值是完全精確的。斯求積公式求得的積分值是完全精確的。 反過來，對于反過來，對于m m次多項式的被積函數(shù)，為了積分值次多項式的被積函數(shù)，為了積分值完全精確，積分點的數(shù)目必須取完全精確，積分點的數(shù)目必須取 。高斯積分法l高斯

6、積分方法預先定義了積分點和相應的加權(quán)系數(shù)，求出被積分的函數(shù)在指定積分點上的數(shù)值，加權(quán)后求和，就得到了該函數(shù)的積分。l高斯積分方法具有最高的計算精度。采用n個積分點的高斯積分可以達到2n-1階的精度，也就是說，如果被積分的函數(shù)是2n-1次多項式，用n個積分點的高斯積分可以得到精確的積分結(jié)果。 l積分階次的選擇直接影響計算的精度和計算工作量。l積分階次的選擇必須保證積分的精度。（完全精確積分）l很多情況下，實際選取的高斯積分點數(shù)低于精確積分的要求，往往可以取得較完全精確積分更好的精度。（減縮積分）線性單元完全精確積分 二次單元減縮積分有限元分析主要步驟 我們知道，經(jīng)過單元方程的組裝以后，結(jié)構(gòu)靜力學

7、有限元方程如下F=KU 其中，F(xiàn)-節(jié)點載荷向量；K-總體剛度矩陣；U-節(jié)點位移向量 在引入邊界條件以后，解上述方程組，就可以得到節(jié)點位移向量U.這是求解結(jié)構(gòu)靜力學方程組所得到的第一組解，它是最精確的。 得到節(jié)點的位移解后，下面是求取應變解和應力解。與位移解不同，它們并不是直接在節(jié)點上獲得，而是首先在積分點上獲得的。 有限元分析主要步驟 所謂積分點是指，在對單元建立方程時，例如剛度矩陣是需要通過積分而得到的，而積分時為了能夠方便計算，大多數(shù)有限元軟件采用了所謂高斯積分的方式，即在單元內(nèi)分布一些高斯點 這樣，有限元軟件會首先獲得這些高斯點的應力和應變，其方法如下：l在高斯積分點上，依據(jù)幾何方程:=

8、BUl計算出高斯積分點上的應變:l然后基于虎克定律及幾何方程推導的結(jié)果來計算高斯積分點的應力。:=DBU有限元分析主要步驟 可見，在應變和應力計算方面，高斯積分點的應變和應力是最最準確的。 利用特定單元的形函數(shù)以及高斯點的應力，應變值，將這些值外推到該單元的節(jié)點上，就得到了單元上節(jié)點的應力應變值。 顯然，不同的單元會共用一些節(jié)點，而從不同單元內(nèi)的積分點外推到這些公共節(jié)點的應變值和應力值一般不相同,將一個公共節(jié)點的多個應力進行平均，以代表該節(jié)點的應力值。有限元分析主要步驟總之，求解節(jié)點應力的步驟是：（1）根據(jù)總體方程，得到節(jié)點的位移解。（2）根據(jù)幾何方程，得到單元高斯點的應變解。（3）根據(jù)物理方程，得到單元高斯點的應力解。（4）在某一個單元內(nèi)，基于形函數(shù)，將高斯點的應力外 推到該單元的所有節(jié)點。（5）對于某一個公共節(jié)點，將該節(jié)點關(guān)聯(lián)的所有單元所推出的該節(jié)點的應力解進行平均，最終得到該節(jié)點的應力解。積分點與節(jié)點的關(guān)系 我們需要對應變在單元內(nèi)的面積上進行積分時，因為節(jié)點的應力、位移顯然與x,y無關(guān)，我們只需要考慮對形函數(shù)積分。 采用Gauss-Legendre多項式計算積分時，我們只需要計算根據(jù)特定積分點的值（在自然坐標系下是固