第6章 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

1、第第6 6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6.1 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念 6.2 6.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì) 6.3 6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器 6.4 6.4 用雙線性變換法設(shè)計(jì)用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器 6.5 6.5 數(shù)字高通、數(shù)字高通、 帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 正因?yàn)閿?shù)字濾波通過數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波，所以正因?yàn)閿?shù)字濾波通過數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波器處理精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、數(shù)字濾波器處理精度

2、高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。6.1 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念 所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分號(hào)，通過數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或的相對(duì)比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。程序。若若 中的有用成分中的有用成分 和希望去除的成分和希望去除的成分 各自占有不同的頻帶各自占有不同的頻帶, , 通

3、過一個(gè)線性系通過一個(gè)線性系統(tǒng)可將統(tǒng)可將 有效去除。有效去除。 從功能上又可分為從功能上又可分為: : 低通低通(LP), (LP), 高通高通(HP),(HP),帶帶通通(BP), (BP), 帶阻帶阻(BS) (BS) ( )x n( )( )( )x ns nu n加法性噪聲加法性噪聲( )u n( )s n( )u n1 1、數(shù)字濾波器的分類、數(shù)字濾波器的分類圖圖6.1.1 用經(jīng)典濾波器從噪聲中提取信號(hào)用經(jīng)典濾波器從噪聲中提取信號(hào)圖圖6.1.2 理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器幅度特性理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器幅度特性每一種又有模擬每一種又有模擬(AF)(AF)、數(shù)字、數(shù)字(DF)

4、(DF)兩種濾波器兩種濾波器. .對(duì)數(shù)字濾波器對(duì)數(shù)字濾波器, , 從實(shí)現(xiàn)方法上從實(shí)現(xiàn)方法上, , 有有IIRIIR濾波器和濾波器和FIRFIR濾波器之分濾波器之分, , 系統(tǒng)函數(shù)分別為系統(tǒng)函數(shù)分別為: :k 01( )1MkkNkkkb zH za z10)()(NnnznhzHFIR DF:IIR DF:種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器( )( ) ( )x ns n u n乘法性噪聲乘法性噪聲( )( )* ( )x ns nu n卷積性噪聲卷積性噪聲信號(hào)的頻譜和噪聲的頻譜混迭在一起，靠經(jīng)典的濾波信號(hào)的頻譜和噪聲的頻譜混迭在一起，靠經(jīng)

5、典的濾波方法難以去除噪聲，需采用現(xiàn)代濾波器?，F(xiàn)代濾波器方法難以去除噪聲，需采用現(xiàn)代濾波器。現(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機(jī)信號(hào)的一些統(tǒng)計(jì)特性，在某種最佳準(zhǔn)則下，是根據(jù)隨機(jī)信號(hào)的一些統(tǒng)計(jì)特性，在某種最佳準(zhǔn)則下，最大限度地抑制干擾，同時(shí)最大限地恢復(fù)信號(hào)，從而最大限度地抑制干擾，同時(shí)最大限地恢復(fù)信號(hào)，從而達(dá)到最佳濾波的目的。達(dá)到最佳濾波的目的。濾波器可用于波形形成、調(diào)制解調(diào)器、從噪聲中濾波器可用于波形形成、調(diào)制解調(diào)器、從噪聲中提取信號(hào)、信號(hào)分離和信道均衡等。所以學(xué)習(xí)濾波器提取信號(hào)、信號(hào)分離和信道均衡等。所以學(xué)習(xí)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)是必不可少的。的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)是必不可少的。根據(jù)濾波器對(duì)信號(hào)的處理作用又將其分為根據(jù)濾波

6、器對(duì)信號(hào)的處理作用又將其分為選頻濾波選頻濾波器和其他濾波器器和其他濾波器。u上述低通、高通、帶通和帶阻濾波器均屬于選頻上述低通、高通、帶通和帶阻濾波器均屬于選頻濾波器，濾波器，u其他濾波器有微分器、希爾伯特變換器、頻譜校其他濾波器有微分器、希爾伯特變換器、頻譜校正等濾波器。正等濾波器。常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)HH(e(ej j ) )用下式表示：用下式表示： HH(e(ej j )=|)=|HH(e(ej j )|e)|ej j ( ( ) )式中，式中，| |HH(e(ej j )|)|稱

7、為稱為幅頻特性函數(shù)幅頻特性函數(shù); ; ( ( ) )稱為稱為相頻特相頻特性函數(shù)性函數(shù)。 幅頻特性表示信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分振幅頻特性表示信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況，而相頻特性反映各頻率成分通過濾波器幅衰減情況，而相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。后在時(shí)間上的延時(shí)情況。2 數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo) 我們?cè)谶M(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，需要確定其性能指標(biāo)。我們?cè)谶M(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，需要確定其性能指標(biāo)。因?yàn)槔硐霝V波器物理上是不可實(shí)現(xiàn)的（由于從一個(gè)頻帶因?yàn)槔硐霝V波器物理上是不可實(shí)現(xiàn)的（由于從一個(gè)頻帶到另一個(gè)頻帶之間的突變）。要物理上可實(shí)現(xiàn)：應(yīng)從一到另一個(gè)頻帶之

8、間的突變）。要物理上可實(shí)現(xiàn)：應(yīng)從一個(gè)帶到另一個(gè)帶之間設(shè)置一個(gè)過渡帶且在通帶和阻帶內(nèi)個(gè)帶到另一個(gè)帶之間設(shè)置一個(gè)過渡帶且在通帶和阻帶內(nèi)也不應(yīng)該嚴(yán)格為也不應(yīng)該嚴(yán)格為1 1或零。應(yīng)給以較小容限?；蛄恪?yīng)給以較小容限。 以低通濾波器為例，幅頻響應(yīng)有以低通濾波器為例，幅頻響應(yīng)有通帶、過渡帶及阻通帶、過渡帶及阻帶帶三個(gè)范圍，而不是理想的陡截止的三個(gè)范圍，而不是理想的陡截止的通帶、阻帶通帶、阻帶兩個(gè)范兩個(gè)范圍。圍。 本章主要研究選頻濾波器的設(shè)計(jì)。一般選頻濾波本章主要研究選頻濾波器的設(shè)計(jì)。一般選頻濾波器的技術(shù)要求由幅頻特性給出。器的技術(shù)要求由幅頻特性給出。低通濾波器的性能指標(biāo)低通濾波器的性能指標(biāo)通帶的容限通帶的

9、容限阻帶容限阻帶容限 通帶邊界頻率通帶邊界頻率 阻帶截止頻率阻帶截止頻率21ps2111ps)e (Hj通帶通帶阻帶阻帶過渡帶過渡帶 平滑過渡平滑過渡1,11jpHe2,jsH eps 通常，通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用分貝數(shù)表通常，通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用分貝數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用 p p表示，阻帶內(nèi)允許的表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用最小衰減用 s s表示。對(duì)低通濾波器，表示。對(duì)低通濾波器， p p和和 s s分別定義分別定義為：為：pjj0ppjjmax|(e )|(e )|20lgdB=20lgdB , 0min|(e )|(e)|HHHHsjj

10、0sjjmax |(e )|(e )|20lgdB=20lgdBmin |(e )|(e)|HHHHp p p 越小越小, , 通帶波紋越小，通帶逼近誤差就越??；通帶波紋越小，通帶逼近誤差就越??； p s s越大越大, , 阻帶波紋越小，阻帶逼近誤差就越??；阻帶波紋越小，阻帶逼近誤差就越??；p p p與與 s s間距越小間距越小, , 過渡帶就越窄。過渡帶就越窄。 所以低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)完全由通帶邊界頻率所以低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)完全由通帶邊界頻率 p p、通帶最大衰減、通帶最大衰減 p p 阻帶邊界頻率阻帶邊界頻率 s s和阻帶最小衰和阻帶最小衰減減 s s確定。確定。如果將如果將| |HH

11、(e(ej0j0)|)|歸一化為歸一化為1 1，則，則dB| )e (|lg20pjpHdB| )e (|lg20sjsH當(dāng)幅度下降到當(dāng)幅度下降到 時(shí)，標(biāo)記時(shí)，標(biāo)記 = = c c，此時(shí)，此時(shí) dBdB，稱，稱 c c為為3 dB3 dB通帶截止頻率。通帶截止頻率。 p p、 c c和和 s s統(tǒng)稱統(tǒng)稱為邊界頻率，它們是濾波器設(shè)計(jì)中所涉及到的很重為邊界頻率，它們是濾波器設(shè)計(jì)中所涉及到的很重要的參數(shù)。對(duì)其他類型的濾波器，上面兩式中的要的參數(shù)。對(duì)其他類型的濾波器，上面兩式中的HH(e(ej0j0) )應(yīng)改成應(yīng)改成 ， 0 0為濾波器通帶中心頻率。為濾波器通帶中心頻率。2/23p0()jH e片段常

12、數(shù)特性：片段常數(shù)特性： 對(duì)于選頻型濾波器，一般對(duì)通對(duì)于選頻型濾波器，一般對(duì)通帶和阻帶內(nèi)的幅頻響應(yīng)曲線形狀沒有具體要求，只帶和阻帶內(nèi)的幅頻響應(yīng)曲線形狀沒有具體要求，只要求其波紋幅度小于某個(gè)常數(shù)，通常將這種要求稱要求其波紋幅度小于某個(gè)常數(shù)，通常將這種要求稱為為“片段常數(shù)特性片段常數(shù)特性”。所謂片段，是指所謂片段，是指“通帶通帶”和和“阻帶阻帶”，常數(shù)是指，常數(shù)是指“通帶波紋幅度通帶波紋幅度 1 1”和和“阻帶阻帶波紋幅度波紋幅度 2 2”，而通帶最大衰減，而通帶最大衰減 p p和阻帶最小衰減和阻帶最小衰減 s s是與是與 1 1和和 2 2完全等價(jià)的兩個(gè)常數(shù)。片段常數(shù)特性概完全等價(jià)的兩個(gè)常數(shù)。片段

13、常數(shù)特性概念在選頻型濾波器設(shè)計(jì)中很重要，尤其有助于理解念在選頻型濾波器設(shè)計(jì)中很重要，尤其有助于理解IIRIIR數(shù)字濾波器的雙線性變換設(shè)計(jì)思想。數(shù)字濾波器的雙線性變換設(shè)計(jì)思想。1 1、借助模擬、借助模擬filterfilter的設(shè)計(jì)方法的設(shè)計(jì)方法（1 1）將）將DFDF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成AFAF的技術(shù)指標(biāo)；的技術(shù)指標(biāo)；（2 2）按轉(zhuǎn)換后技術(shù)指標(biāo)、設(shè)計(jì)模擬低通）按轉(zhuǎn)換后技術(shù)指標(biāo)、設(shè)計(jì)模擬低通filterfilter的的 ； （3 3）將）將 （4 4）如果不是低通，則必須先將其轉(zhuǎn)換成低通）如果不是低通，則必須先將其轉(zhuǎn)換成低通 AFAF的技術(shù)指標(biāo)。的技術(shù)指標(biāo)。3 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

14、方法數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法) s (Ha)()(zHsHa2 2、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法（最優(yōu)化設(shè)計(jì)法）、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法（最優(yōu)化設(shè)計(jì)法） 先確定一個(gè)最佳準(zhǔn)則，如設(shè)計(jì)出的頻率響應(yīng)幅先確定一個(gè)最佳準(zhǔn)則，如設(shè)計(jì)出的頻率響應(yīng)幅度度 與所要求的理想頻率響應(yīng)幅度與所要求的理想頻率響應(yīng)幅度 的均方誤的均方誤差最小準(zhǔn)則，或者它們的最大誤差最小準(zhǔn)則等，然后差最小準(zhǔn)則，或者它們的最大誤差最小準(zhǔn)則等，然后在此準(zhǔn)則下在此準(zhǔn)則下 ， 確定系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。這種設(shè)計(jì)一般確定系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。這種設(shè)計(jì)一般得不到閉合形式的系統(tǒng)函數(shù)，而是需要進(jìn)行大量的迭得不到閉合形式的系統(tǒng)函數(shù)，而是需要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，所以離不開計(jì)算機(jī)。代運(yùn)算，所以

15、離不開計(jì)算機(jī)。jH ejdH e6.2 6.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)6.2.1 6.2.1 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法6.2.2 6.2.2 巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)6.2.6 6.2.6 頻率變換與模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)頻率變換與模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 分別用分別用h ha a( (t t) )、a a( (s s) )、HHa a(j (j ) )表示模擬濾波器的單表示模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)，三者的關(guān)系位脈沖響應(yīng)、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)，三者的關(guān)系如下：如下： aaa

16、jaaa( )LT( )( )ed(j)FT( )( )edsttHshthttHhthtt6.2.1 6.2.1 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法 設(shè)計(jì)指標(biāo)一般由幅頻響應(yīng)函數(shù)設(shè)計(jì)指標(biāo)一般由幅頻響應(yīng)函數(shù)|H|Ha a(j)|(j)|給出，給出，ALFALF的設(shè)計(jì)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)，求系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)，求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)Ha(s)，使其逼近理想使其逼近理想LFLF的特性，逼近的形式（的特性，逼近的形式（filterfilter的類型）的類型）主要有主要有巴特沃思型巴特沃思型切貝雪夫型切貝雪夫型橢圓型橢圓型 逼近依據(jù)是幅度平方函數(shù)，即由幅度平方函數(shù)

17、確定逼近依據(jù)是幅度平方函數(shù)，即由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)。巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的具有單調(diào)下降的幅頻特性。幅頻特性。 切比雪夫?yàn)V波器的幅頻切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在通帶或者阻帶有特性在通帶或者阻帶有等波紋特性，可以提高等波紋特性，可以提高選擇性。選擇性。橢圓濾波器的選擇性是最橢圓濾波器的選擇性是最好的，但通帶和阻帶內(nèi)均好的，但通帶和阻帶內(nèi)均呈現(xiàn)等波紋幅頻特性，相呈現(xiàn)等波紋幅頻特性，相位特性的非線性也稍嚴(yán)重。位特性的非線性也稍嚴(yán)重。 由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)的方法由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)的方法由于由于 ，所以，所以 其中，其中， 是是AF的系統(tǒng)函數(shù)，的系統(tǒng)函數(shù)，

18、是是AF的頻響，的頻響， 是是AF的幅頻特性。的幅頻特性。) s (Ha)j (Ha)( jHa 1、幅度平方函數(shù)、幅度平方函數(shù)*()()aaHjHj |aaaasjHjHjHs Hs 2*aaaHjHjHj2 2、HHa a（s s）HHa a（-s-s）的零極點(diǎn)分布特點(diǎn)的零極點(diǎn)分布特點(diǎn)（1 1）如果）如果s s1 1是是HHa a（s s）的極點(diǎn)，那麼的極點(diǎn)，那麼- s- s1 1就是就是H Ha a（-s-s）的極點(diǎn)；同樣，如果的極點(diǎn)；同樣，如果s s0 0是是HHa a（s s）的零點(diǎn)，那麼的零點(diǎn)，那麼- - s s0 0就是就是HHa a（-s-s）的零點(diǎn)。所以的零點(diǎn)。所以HHa a

19、（s s） H Ha a（-s-s）的的零極點(diǎn)是呈象限對(duì)稱的零極點(diǎn)是呈象限對(duì)稱的, ,例如：例如：;1111jj;2222jj;3344jjj11j3322j22j11j4j4 jHa（s）Ha（-s）的零極點(diǎn)分布（成象限對(duì)稱）的零極點(diǎn)分布（成象限對(duì)稱）（2 2）虛軸上的零點(diǎn)一定是二階的。這是因?yàn)椋┨撦S上的零點(diǎn)一定是二階的。這是因?yàn)閔a（t）是實(shí)數(shù)，是實(shí)數(shù)，Ha（s）的零極點(diǎn)以共軛對(duì)的的零極點(diǎn)以共軛對(duì)的形式存在；形式存在；（3 3）虛軸上沒有極點(diǎn)（穩(wěn)定系統(tǒng)在單位圓上）虛軸上沒有極點(diǎn)（穩(wěn)定系統(tǒng)在單位圓上無(wú)極點(diǎn)）；無(wú)極點(diǎn)）；由于由于filterfilter是穩(wěn)定的，所以是穩(wěn)定的，所以HHa a（s

20、 s）的極點(diǎn)一定的極點(diǎn)一定在左半平面；若沒有特殊要求，可取任一半對(duì)在左半平面；若沒有特殊要求，可取任一半對(duì)稱零點(diǎn)為稱零點(diǎn)為HHa a（s s）的零點(diǎn)（的零點(diǎn)（ 有特殊要求，比如有特殊要求，比如最小相位延時(shí)，應(yīng)取左半平面的零點(diǎn)）。最小相位延時(shí)，應(yīng)取左半平面的零點(diǎn)）。3、由、由 確定確定 的方法的方法)(sHa（2）分解）分解 得到各零極點(diǎn)，將左半面的得到各零極點(diǎn)，將左半面的極點(diǎn)極點(diǎn) 歸于歸于 ，對(duì)稱的零點(diǎn)任一半歸，對(duì)稱的零點(diǎn)任一半歸 。若要求。若要求最小相位延時(shí)，左半面的零點(diǎn)歸最小相位延時(shí)，左半面的零點(diǎn)歸 。( )aH s( )aH s( )aH s( )( )aaH s Hs （3）按照）按照

21、 與與 的低頻特性或高頻特性的對(duì)比的低頻特性或高頻特性的對(duì)比確定出增益常數(shù)。確定出增益常數(shù)。 ( )aH s()aH j（4）由求出的）由求出的 的零極點(diǎn)及增益常數(shù)，則可完全確的零極點(diǎn)及增益常數(shù)，則可完全確定系統(tǒng)函數(shù)定系統(tǒng)函數(shù) 。 ( )aH s( )aH s2aHj 222aaasHsHsHj （1 1）求）求例例6-3 由由確定系統(tǒng)函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù) 。)(SHa解：解：所以，極點(diǎn)為所以，極點(diǎn)為 零點(diǎn)為零點(diǎn)為, 6s , 7s4, 32, 1, 5 j零點(diǎn)是二階的。我們選極點(diǎn)零點(diǎn)是二階的。我們選極點(diǎn)-6，-7，一對(duì)虛軸零點(diǎn)，一對(duì)虛軸零點(diǎn)5 j為為 的零極點(diǎn)，這樣的零極點(diǎn)，這樣)S(Ha)6S

22、)(7S()25S(K)S(H20a因因 2222216 254936aHj 222222216 254936aaassHs HsHjss 由由 可確定出可確定出 0K76K25)0(H0a所以所以 。4K0因此因此42S13S100S4)6S)(7S()25S(4)S(H222as00 ，0254 256 76 7K 4 2506 7aH式中，式中，N N稱為濾波器的階數(shù)。當(dāng)稱為濾波器的階數(shù)。當(dāng) =0=0時(shí)，時(shí)，| |H Ha a(j (j )|=1)|=1； = = c c時(shí)，時(shí)， ， c c是是3 dB3 dB截止頻率。在截止頻率。在 = = c c附近，隨附近，隨 加大，幅度迅速下降。

23、加大，幅度迅速下降。 NH2c2a11| )j (|2/1| )(|jHa6.2.2 6.2.2 巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)1 幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù) 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)| |H Ha a(j (j )|)|2 2用下式表示：用下式表示： 2. 2. 幅頻特性幅頻特性)j (Ha1.02/ 10N=2N=4N=8c(1)20( 0)1,0aHj 當(dāng)時(shí),即在處無(wú)衰減)j (Ha1.02/ 10N=2N=4N=8c(2) (2) 在止帶內(nèi)的逼近是單調(diào)變化的，不管在止帶內(nèi)的逼近是單調(diào)變化的，不管N N為多少，為多少，所有所有 都經(jīng)

24、過都經(jīng)過 點(diǎn)（點(diǎn)（-3dB)-3dB)處。處。)( jHa21)j (Ha1.02/ 10N=2N=4N=8c(3) (3) 濾波器的特性完全由濾波器的特性完全由其階數(shù)其階數(shù)N N決定。決定。N N越大，越大，則通帶內(nèi)在更大范圍內(nèi)則通帶內(nèi)在更大范圍內(nèi)更接近于更接近于1 1，在止帶內(nèi)，在止帶內(nèi)迅速地接近于零。因而迅速地接近于零。因而當(dāng)階數(shù)越大時(shí)，其振幅當(dāng)階數(shù)越大時(shí)，其振幅特性更接近于理想的矩特性更接近于理想的矩形頻率特性。形頻率特性。)j (Ha1.02/ 10N=2N=4N=8c3 3、巴特沃思、巴特沃思filterfilter的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù))(SHa由于由于 所以其零點(diǎn)全部所以其零點(diǎn)全

25、部在在 處；即所謂全極點(diǎn)型。處；即所謂全極點(diǎn)型。,)(1/1)()(2NCaajSSHSH這些極點(diǎn)也是呈象限對(duì)稱的。而且分布在半徑為這些極點(diǎn)也是呈象限對(duì)稱的。而且分布在半徑為 的巴特沃思圓上，共有的巴特沃思圓上，共有2N個(gè)點(diǎn)。點(diǎn)。1211222N1,0,1,21kjNkccsjekN s211,0,1,2,21jkekN 2jje它的極點(diǎn)為它的極點(diǎn)為c例如，例如，N=2N=2時(shí)，時(shí)，12122,0,1,21kjNkcsekN 340jcse541jcse742jcse943jcsej2N 0s1s2s3sN=3時(shí)，時(shí)，230jcse1jcse432jcse533jcse24jcse735jcs

26、ej3N 0s1s2s3s4s5s取取 左半平面的極點(diǎn)為左半平面的極點(diǎn)為 的極點(diǎn)，的極點(diǎn)，這樣極點(diǎn)僅有這樣極點(diǎn)僅有N個(gè)，即個(gè)，即)()(SHSHaa)(SHa則則12122,0,1,1kjNkcsekN 10NcaNkkHsss例例導(dǎo)出三階巴特沃思導(dǎo)出三階巴特沃思LF的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)s /rad1C解：解：其極點(diǎn)為其極點(diǎn)為所以所以261()1aHj 61( )()1aaHs Hss11() ()22322,0,1,5jkjkNkseek1231313,1,2222sjssj 取前三個(gè)根，321( )221aHssss1231( )aHsssssss4 4、歸一化的系統(tǒng)函數(shù)、歸一化的

27、系統(tǒng)函數(shù) 如果將系統(tǒng)函數(shù)的如果將系統(tǒng)函數(shù)的s 用濾波器的截止頻率去除，這用濾波器的截止頻率去除，這樣對(duì)應(yīng)的截止頻率變?yōu)闃訉?duì)應(yīng)的截止頻率變?yōu)?，即所謂歸一化，相應(yīng)的系統(tǒng)，即所謂歸一化，相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)稱作歸一化的系統(tǒng)函數(shù)，記作函數(shù)稱作歸一化的系統(tǒng)函數(shù)，記作Ga(p) 例如，對(duì)于巴特沃思例如，對(duì)于巴特沃思filter如果將低通如果將低通filter歸一化，就稱作歸一化原型濾波器。歸一化，就稱作歸一化原型濾波器。 10NcaNkkHsss12122,01,-1kjNkcsekN ，12 +122,kjNkcsppe10a)(1)(NkkpppG5 5、歸一化原型、歸一化原型filterfilter的設(shè)

28、計(jì)數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù) 不論哪種形式（巴特沃思，切貝雪夫）的不論哪種形式（巴特沃思，切貝雪夫）的filterfilter，都有自己的歸一化原型都有自己的歸一化原型filterfilter，而且它們都有現(xiàn)成的數(shù)，而且它們都有現(xiàn)成的數(shù)據(jù)表可查和設(shè)計(jì)公式。據(jù)表可查和設(shè)計(jì)公式。 例如，歸一化巴特沃思原型例如，歸一化巴特沃思原型filterfilter的系統(tǒng)函數(shù)為的系統(tǒng)函數(shù)為a1212101( )NNNNNGppbpbpb pbN=19N=19階的各個(gè)系數(shù)，如表階的各個(gè)系數(shù)，如表6.2.1(P157)6.2.1(P157)所示。所示。表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 根據(jù)性能指標(biāo)求出根據(jù)性能指標(biāo)求出

29、N N 和和3 dB截止頻率截止頻率c ，然后查，然后查表得到歸一化系統(tǒng)函數(shù)表得到歸一化系統(tǒng)函數(shù) ，再去歸一化就可得到，再去歸一化就可得到 。去歸一化的方法是將。去歸一化的方法是將 中的中的p p代入代入 即可。即可。()aGpcs ( )aHs()aGp階數(shù)階數(shù)N N的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和過渡帶、阻帶幅度的下降速度，它由技術(shù)指標(biāo)過渡帶、阻帶幅度的下降速度，它由技術(shù)指標(biāo) p p、 p p、 s s和和 s s確定。確定。下面先介紹階數(shù)下面先介紹階數(shù)N的確定方法的確定方法將將 代入幅度平方函數(shù)，再將幅度平代入幅度平方函數(shù)，再將幅度平方函數(shù)代入

30、上面的兩個(gè)式子得到方函數(shù)代入上面的兩個(gè)式子得到10/2cpp101NdB| )e (|lg20pjpHdB| )e (|lg20sjsH10/2css101Npssp/10s/10p101101N令令 ssppsp/10sp/10101101k則則N N由下式表示：由下式表示： spsplglgkN 求出的求出的N可能有小數(shù)可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于或等部分，應(yīng)取大于或等于于N的最小整數(shù)。的最小整數(shù)。關(guān)于關(guān)于3 dB3 dB截止頻率截止頻率 c c，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照下式求出出，可以按照下式求出p10.12cp101N s10.12cs101N 10/2cpp

31、101N10/2css101N通帶指標(biāo)剛通帶指標(biāo)剛好滿足要求，好滿足要求，阻帶指標(biāo)有阻帶指標(biāo)有富余富余阻帶指標(biāo)剛好阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通滿足要求，通帶指標(biāo)有富余帶指標(biāo)有富余(1) (1) 根據(jù)技術(shù)指標(biāo)根據(jù)技術(shù)指標(biāo) p p、 p p、 s s和和 s s，由，由按照按照 求出歸一化極點(diǎn)求出歸一化極點(diǎn)p pk k，將，將p pk k代入代入(2)(2) 得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)GGa a( (p p) )。也可根。也可根據(jù)階數(shù)據(jù)階數(shù)N N直接查表直接查表6.2.16.2.1得到得到GGa a( (p p) )。 總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：總結(jié)以上，低

32、通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：spsplglgkN 12122p,0,1,1kjNkekN求出濾波器的階數(shù)求出濾波器的階數(shù)N N。10a)(1)(NkkpppG(3) (3) 將將GGa a( (p p) )去歸一化。將去歸一化。將p p= =s s/ / c c代入代入G Ga a( (p p) )，得，得到實(shí)際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)到實(shí)際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)這里這里 c c為為3 dB3 dB截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)沒有給出截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)沒有給出 c c，可以按照，可以按照c| )()(asppGsHN211 . 0pc) 110(pN211 . 0sc) 110(s或或求出。求出。取取N=

33、5 已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率f fp p=5 kHz=5 kHz，通帶最大，通帶最大衰減衰減 p p=2 dB=2 dB，阻帶截止頻率，阻帶截止頻率f fs s=12 kHz=12 kHz，阻帶最小，阻帶最小衰減衰減 s s=30 dB=30 dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。通濾波器?！纠纠?.2.1】解解: (1) : (1) 確定階數(shù)確定階數(shù)N Nsp0.1sp0.1sspp10141.322310122.42lg41.32234.25lg2.4kffN歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為上式分母可以展開成五階多項(xiàng)式，也可

34、由上式分母可以展開成五階多項(xiàng)式，也可由N N=5=5直接查表得到：直接查表得到： 57j456j3j254j153j0e ee eeppppp，40a)(1)(kkpppG(2) (2) 其極點(diǎn)為其極點(diǎn)為歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為式中式中, b, b0 0=1.0000=1.0000，b b1 1=3.2361=3.2361，b b2 2=5.2361=5.2361，b b3 3=5.2361=5.2361，b b4 4=3.2361=3.2361012233445a1)(bpbpbpbpbppG(3) (3) 為將為將GGa a( (p p) )去歸一化，先求去歸一化，

35、先求3 dB3 dB截止頻率截止頻率 c c。10.12cp(101)2 5.2755 krad/spN s10.12sc(101)2 10.525 krad/sN此時(shí)算出的此時(shí)算出的比題目中給的比題目中給的 s s小，因此，過渡小，因此，過渡帶小于指標(biāo)要求?；蛘哒f，在帶小于指標(biāo)要求?；蛘哒f，在 s s=2=212 krad/s12 krad/s時(shí)時(shí)衰減大于衰減大于30 dB30 dB，所以說阻帶指標(biāo)有富余量。，所以說阻帶指標(biāo)有富余量。s5c04c123c232c34c455ca)(bsbsbsbsbssH將將p p= =s s/ / c c代入代入GGa a( (p p) )中中, , 得到

36、：得到： 設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通巴特沃思濾波器。要設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通巴特沃思濾波器。要求通帶截止頻率求通帶截止頻率 ，通帶，通帶最大衰減最大衰減 ，阻帶下限截止頻率，阻帶下限截止頻率 ，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 24000/prad s 3pdB20sdB28000/srad s 解解：（：（1）計(jì)算所需的階數(shù)計(jì)算所需的階數(shù)例例sp0.1sp0.1spp1019.971012lg9.973.31lg2skN取取N=4（2 2）查表得到歸一化系統(tǒng)函數(shù)）查表得到歸一化系統(tǒng)函數(shù)查查P157P157，表，表6.2.16.2.1，可得，可得N=4N=4時(shí)的歸一化原型模擬巴特時(shí)的歸一化原型模擬巴特沃思沃思LFL

37、F的系統(tǒng)函數(shù)為的系統(tǒng)函數(shù)為（3）將）將p用用 代入代入( )aHs 4321G2.61313.41422.61311apppsppcs 4432 2342.61313.41422.6131caccccH sssss phph表示高通濾波器的通帶邊界頻率表示高通濾波器的通帶邊界頻率; ; plpl和和 pupu分別表示帶通和帶阻濾波器的通帶下邊界頻率和通帶分別表示帶通和帶阻濾波器的通帶下邊界頻率和通帶上邊界頻率上邊界頻率; ; slsl和和 susu分別表示帶通和帶阻濾波器的阻帶下邊界頻率和阻帶分別表示帶通和帶阻濾波器的阻帶下邊界頻率和阻帶上邊界頻率。上邊界頻率。 6.2.6 頻率變換與模擬高通

38、、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)頻率變換與模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)圖圖6.2.12 6.2.12 各種濾波器幅頻特性曲線及邊界頻率示意圖各種濾波器幅頻特性曲線及邊界頻率示意圖通帶最大衰減和阻帶最小衰減仍用通帶最大衰減和阻帶最小衰減仍用 p p和和 s s表示表示從原理上講，通過頻率變換公式，可以將模擬從原理上講，通過頻率變換公式，可以將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)QQ( (p p) )變換成希望設(shè)計(jì)的低通、變換成希望設(shè)計(jì)的低通、高通、帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)高通、帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)HHd d( (s s) )。所以，設(shè)。所以，設(shè)計(jì)高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是計(jì)高通、帶通

39、和帶阻濾波器的一般過程是: :u 通過頻率變換公式，先將希望設(shè)計(jì)的濾波器指標(biāo)通過頻率變換公式，先將希望設(shè)計(jì)的濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的低通濾波器指標(biāo)；轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的低通濾波器指標(biāo)； u設(shè)計(jì)相應(yīng)的低通系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計(jì)相應(yīng)的低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)Q(p)； u 對(duì)對(duì)Q(p)進(jìn)行頻率變換，得到希望設(shè)計(jì)的濾波器系進(jìn)行頻率變換，得到希望設(shè)計(jì)的濾波器系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。為了敘述方便，定義為了敘述方便，定義p p= = +j+j 為為QQ( (p p) )的歸一化復(fù)的歸一化復(fù)變量，其通帶邊界頻率記為變量，其通帶邊界頻率記為 p p， 稱為歸一化頻率。稱為歸一化頻率。用用HHd d( (s s) )表示希望設(shè)計(jì)的模

40、擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，表示希望設(shè)計(jì)的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，s s= = +j+j 表示表示HHd d( (s s) )的復(fù)變量。的復(fù)變量。1( )1G pp例如，一階巴特沃斯低通原型系統(tǒng)函數(shù)為例如，一階巴特沃斯低通原型系統(tǒng)函數(shù)為顯然顯然, 其其3 dB截止頻率截止頻率p=1, 是關(guān)于是關(guān)于3 dB截止頻率歸截止頻率歸一化的。一化的。 從低通到高通濾波器的映射關(guān)系為從低通到高通濾波器的映射關(guān)系為下面簡(jiǎn)單介紹各種頻率變換公式。從下面簡(jiǎn)單介紹各種頻率變換公式。從p p域到域到s s域映域映射的可逆變換記為射的可逆變換記為p p= =F F( (s s) )。低通系統(tǒng)函數(shù)。低通系統(tǒng)函數(shù)Q Q( (p p

41、) )與與H Hd d( (s s) )之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為d( )( )( )p F sHsQ p1d( )( )( )s FpQ pHspphps 1 模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)在虛軸在虛軸(頻率軸頻率軸)上該映射關(guān)系簡(jiǎn)化為如下變換公式上該映射關(guān)系簡(jiǎn)化為如下變換公式: ph為希望設(shè)計(jì)的高通濾波器為希望設(shè)計(jì)的高通濾波器HHP(s)的通帶邊界頻率。的通帶邊界頻率。該頻率變換公式意味著該頻率變換公式意味著u低通濾波器的通帶低通濾波器的通帶0, 0, p p映射為高通濾波器的通映射為高通濾波器的通帶帶, , phph; ;u 低通濾波器的通帶低通濾波器的通帶 p p, 0

42、, 0映射為高通濾波器映射為高通濾波器的通帶的通帶 phph, , 。pph u將低通濾波器的阻帶將低通濾波器的阻帶 s s, , 映射為高通濾波映射為高通濾波器的阻帶器的阻帶 shsh, 0, 0，u而將低通濾波器的阻帶而將低通濾波器的阻帶, , s s映射為高映射為高通濾波器的阻帶通濾波器的阻帶0, 0, shsh。映射關(guān)系式確保低通濾波器映射關(guān)系式確保低通濾波器Q(p)Q(p)通帶通帶 p p, , p p上的幅度值出現(xiàn)在高通濾波器上的幅度值出現(xiàn)在高通濾波器HHHPHP(s)(s)的通帶的通帶 phph|上。上。低通濾波器低通濾波器Q(p)Q(p)阻帶阻帶 s s|上的幅度值出現(xiàn)在上的幅

43、度值出現(xiàn)在高通濾波器高通濾波器HHHPHP(s)(s)的阻帶的阻帶 s s, , s s上。上。同樣，同樣，歸一化的系統(tǒng)函數(shù)得到后，只要將映射關(guān)系代入通歸一化的系統(tǒng)函數(shù)得到后，只要將映射關(guān)系代入通帶邊界頻率為帶邊界頻率為 p p的低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Q(p)Q(p)就可轉(zhuǎn)就可轉(zhuǎn)換成通帶邊界頻率為換成通帶邊界頻率為 phph的高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)的高通濾波器系統(tǒng)函數(shù): : pphHP( )( )psHsG p 設(shè)計(jì)巴特沃思模擬高通濾波器，要求通帶設(shè)計(jì)巴特沃思模擬高通濾波器，要求通帶邊界頻率邊界頻率fp=20 kHz，阻帶邊界頻率，阻帶邊界頻率fs=10 kHz，fp處的最處的

44、最大衰減為大衰減為3 dB，阻帶最小衰減為，阻帶最小衰減為15 dB。【例】【例】解解(1(1） 確定高通濾波器的性能指標(biāo)。確定高通濾波器的性能指標(biāo)。20,310,15ppssfkHzdBfkHzdB (2 (2） 將希望設(shè)計(jì)的高通濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相將希望設(shè)計(jì)的高通濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的歸一化低通濾波器應(yīng)的歸一化低通濾波器QQ( (p p) )的指標(biāo)。的指標(biāo)。p=1，pss200022100003pdB15sdB（3） 設(shè)計(jì)相應(yīng)的歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計(jì)相應(yīng)的歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)。sp0.1sp0.1spp1010.181012lg0.182.47lg2skN 取取N=3查表得到可得查

45、表得到可得N=4N=4時(shí)的歸一化原型模擬巴特時(shí)的歸一化原型模擬巴特沃思沃思LFLF的系統(tǒng)函數(shù)為的系統(tǒng)函數(shù)為 321G221apppp（4 4）頻率變化。將）頻率變化。將G(p)G(p)變換成實(shí)際高通濾波器變換成實(shí)際高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)HHhphp(s)(s) 33223H=G22phpapscccsspssp 342220 10410/ppfrad s 低通到帶通的頻率變換公式如下低通到帶通的頻率變換公式如下: : 在在p p平面與平面與s s平面虛軸上的頻率關(guān)系為平面虛軸上的頻率關(guān)系為220pwspB s220pwB 2 低通到帶通的頻率變換低通到帶通的頻率變換uBw=pupl,

46、表示帶通濾波器的通帶寬度表示帶通濾波器的通帶寬度,pl和和pu分別為帶通濾波器的分別為帶通濾波器的通帶下截止頻率通帶下截止頻率和和通帶上截止通帶上截止頻率頻率; u0稱為帶通濾波器的稱為帶通濾波器的中心頻率中心頻率。根據(jù)映射關(guān)系根據(jù)映射關(guān)系頻率頻率=0=0映射為頻率映射為頻率 = = 0 0，頻率頻率 = = p p映射為頻率映射為頻率 pupu和和 plpl，頻率頻率 = = p p映射為頻率映射為頻率 pupu和和 plpl。也就是說，將低通濾波器也就是說，將低通濾波器G(p)G(p)的通帶的通帶 p p, , p p映射為帶通濾波器的通帶映射為帶通濾波器的通帶 pupu, , plpl和

47、和 plpl, , pupu。同樣道理同樣道理頻率頻率 = = s s映射為頻率映射為頻率 susu和和 slsl，頻率頻率 = = s s映射為頻率映射為頻率 susu 和和 slsl。220pwBP( )( ) spB sHsQ p0plpu1ssu 可以證明可以證明歸一化的系統(tǒng)函數(shù)得到后，只要將映射關(guān)系代入歸一化的系統(tǒng)函數(shù)得到后，只要將映射關(guān)系代入Q(p)Q(p)就可轉(zhuǎn)換成帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)就可轉(zhuǎn)換成帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù): : 所以，帶通濾波器的通帶（阻帶）邊界頻率關(guān)于中所以，帶通濾波器的通帶（阻帶）邊界頻率關(guān)于中心頻率心頻率 0 0幾何對(duì)稱。如果原指標(biāo)給定的邊界頻率幾何對(duì)稱。如果原指

48、標(biāo)給定的邊界頻率不滿足該式，就要改變其中一個(gè)邊界頻率不滿足該式，就要改變其中一個(gè)邊界頻率, , 以便滿以便滿足式，但要保證改變后的指標(biāo)高于原始指標(biāo)。足式，但要保證改變后的指標(biāo)高于原始指標(biāo)。 減小減小 plpl使使通帶寬度大于通帶寬度大于原指標(biāo)要求的原指標(biāo)要求的通帶寬度通帶寬度，增大增大 slsl或減小或減小 plpl都使都使左邊的過渡帶寬度小于左邊的過渡帶寬度小于原指標(biāo)原指標(biāo)要求的要求的過渡帶寬度過渡帶寬度； 反之，如果反之，如果 plpl pupuslsu，則減小，則減小pl（或增（或增大大sl）使上式得到滿足。具體計(jì)算公式為）使上式得到滿足。具體計(jì)算公式為圖圖6.2.14 6.2.14 低

49、通原型到帶通的邊界頻率及幅頻響應(yīng)特性的映射關(guān)系低通原型到帶通的邊界頻率及幅頻響應(yīng)特性的映射關(guān)系低通到帶阻的頻率變換公式為低通到帶阻的頻率變換公式為 在在p p平面與平面與s s平面虛軸上的頻率變換關(guān)系為平面虛軸上的頻率變換關(guān)系為wp220B spswp220B 3 低通到帶阻的頻率變換低通到帶阻的頻率變換 B Bw w= = susu slsl，表示帶阻濾波器的，表示帶阻濾波器的阻帶寬度阻帶寬度， slsl和和 susu分別為帶阻濾波器的分別為帶阻濾波器的阻帶下截止頻率阻帶下截止頻率和和阻帶阻帶上截止頻率上截止頻率; ; 0 0稱為帶阻濾波器的稱為帶阻濾波器的阻帶中心頻率阻帶中心頻率。 是是Q

50、Q的二次函數(shù)的二次函數(shù), ,從低通濾波器頻從低通濾波器頻率率 到帶阻濾波到帶阻濾波器頻率器頻率 為雙值為雙值映射映射當(dāng)當(dāng) 從從 s s p p 0_0_時(shí)，時(shí)， 從從 su su pu pu -,-,形成如圖形成如圖6.2.12(c)6.2.12(c)所示的帶阻濾波器所示的帶阻濾波器H HBSBS(j)(j)在在(-(-， 0 0 上的頻響；上的頻響； 從從 s1s1 + +p1p1 0 0+ +, ,形成形成HHBSBS(j)(j)在在00+ +， 0 0 上的頻響。上的頻響。當(dāng)當(dāng) 從從0 0+ + p p s s + +時(shí)，時(shí)， 從從0 0- - pl pl sl sl - -, ,形成如

51、圖形成如圖6.2.12(c)6.2.12(c)所所示的帶阻濾波器示的帶阻濾波器H HBSBS(j)(j)在在 0 0 ,0 ,0上的頻響；上的頻響； 從從+ pupu + +susu , ,形成形成HHBSBS(j)(j)在在+0 0, , ) )上的頻響。上的頻響。所以將代入低通原型濾波器所以將代入低通原型濾波器QQ( (p p) )轉(zhuǎn)換為所希轉(zhuǎn)換為所希望的帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)望的帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù): :wp220BP( )( ) B spsHsG p可以證明可以證明2plphslsh00plphslsh= 即6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波

52、器利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器：利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器：Ha(s) H(z)映射映射為了保證映射后的為了保證映射后的HH( (z z) )穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標(biāo)要求，穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標(biāo)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求： (1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。因果穩(wěn)定的。(2) 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響特性數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響特性因果穩(wěn)定模擬濾波器的因果穩(wěn)定模擬濾波器的Ha(s)的極的極點(diǎn)全部位于點(diǎn)全部位于s平面的左半平面；因平面的左半平面；因果穩(wěn)定數(shù)字濾波器的果穩(wěn)定數(shù)

53、字濾波器的H(z)的極點(diǎn)的極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)。因此，轉(zhuǎn)換關(guān)全部在單位圓內(nèi)。因此，轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)使系應(yīng)使s平面的左半平面映射到平面的左半平面映射到z平平面的單位圓內(nèi)部。面的單位圓內(nèi)部。s s平面的虛軸映射為平面的虛軸映射為z z平面的平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間呈單位圓，相應(yīng)的頻率之間呈線性關(guān)系。線性關(guān)系。將系統(tǒng)函數(shù)將系統(tǒng)函數(shù)HHa a( (s s) )從從s s平面轉(zhuǎn)換到平面轉(zhuǎn)換到z z平面的方法平面的方法有多種：有多種：（1 1）脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法；（2 2）雙線性變換法；）雙線性變換法；（3 3）階躍響應(yīng)不變法。）階躍響應(yīng)不變法。這一節(jié)我們討論脈沖響應(yīng)不變法。這一節(jié)我們討論脈沖響應(yīng)不

54、變法。（1 1）什么是沖激不變法）什么是沖激不變法 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法是從時(shí)域出發(fā)，要求數(shù)字濾波是從時(shí)域出發(fā)，要求數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)器的單位抽樣響應(yīng)h(n)h(n)對(duì)應(yīng)于模擬濾波器沖激響對(duì)應(yīng)于模擬濾波器沖激響應(yīng)應(yīng)h ha a(t)(t)的等間隔抽樣。的等間隔抽樣。 其中其中T T是抽樣周期。因此時(shí)域逼近良好。是抽樣周期。因此時(shí)域逼近良好。1、變換原理、變換原理如果如果 則有則有( )aHs 脈沖響應(yīng)不變法的映射規(guī)則為脈沖響應(yīng)不變法的映射規(guī)則為:z=e:z=esTsT(T(T為抽樣周為抽樣周期期) )。這種映射是。這種映射是多對(duì)一的映射關(guān)系，多對(duì)一的映射關(guān)系，并不是簡(jiǎn)單的并不是簡(jiǎn)

55、單的代數(shù)映射，故不能將其直接代入代數(shù)映射，故不能將其直接代入HHa a(s)(s)來得到來得到H(z).H(z). ( ),aaHsL htH zZ h n12( )()sTaz ekH zHsjkTT上式表明，先對(duì)上式表明，先對(duì) 沿虛軸作周期延拓，再經(jīng)過沿虛軸作周期延拓，再經(jīng)過的映射關(guān)系映射到的映射關(guān)系映射到z z平面。平面。得到：得到： TreT sz與()jjTTjTzreeee sj (2)Z平面和平面和s平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系z(mì)的模rS的實(shí)部z的相角S的虛部. r與 的關(guān)系，Trej0Re zIm z0對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于r=1r=10對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于r1 r1r10z平面s平面. . 與

56、與 的關(guān)系，的關(guān)系，T 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于0 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于0 js 平面0T3TT3Tz平面平面Re zIm z000T 2、Ha(s)映射成映射成H(z)的方法的方法（1 1）一般方法）一般方法 aaHshth nH z 1LaahtHs aahthnT抽樣，h n 1HzZh n（2 2）方法的簡(jiǎn)化）方法的簡(jiǎn)化 設(shè)設(shè) 只有單階極點(diǎn)，而且分母的階次只有單階極點(diǎn)，而且分母的階次大于分子的階次（一般都滿足這一要求，因?yàn)橹淮笥诜肿拥碾A次（一般都滿足這一要求，因?yàn)橹挥羞@樣才相當(dāng)于一個(gè)穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)），有這樣才相當(dāng)于一個(gè)穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)）， 可展成如下的部分公式可展成如下的部分公式)S(Ha)S(Ha1( )

57、NkakkAHsss11( )( )( )( )( )kNs taaaakkHsh th tLHsA e u t由求：( )u t其中是連續(xù)時(shí)間單位階躍函數(shù)。11( )( )()( )()( )kkaNNs nTs Tnakkkkh th nh nTA eu nA eu n由沖激不變法，數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)等于的抽樣。110011011( )( ).( )( )()()1kkkNNs Ts TnnnkknnkknNks Tkh nzH zH zh n zA ezAezAez 對(duì)求 變換得到平面）（平面）zzeAzHsssAsHNkTskNkkkak1111)()(（3 3）幾點(diǎn)結(jié)論）幾點(diǎn)結(jié)

58、論（1 1）s s平面的單極點(diǎn)平面的單極點(diǎn) 變?yōu)樽優(yōu)閦 z平面單極點(diǎn)平面單極點(diǎn) 就可求得就可求得HH（z z）。）。（2 2） 與與HH（z z）的系數(shù)相同，均為）的系數(shù)相同，均為 。（3 3）AFAF是穩(wěn)定的，是穩(wěn)定的，DFDF也是穩(wěn)定的。也是穩(wěn)定的。（4 4）s s平面的極點(diǎn)與平面的極點(diǎn)與z z平面的極點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，但兩平面的極點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，但兩平面并不一一對(duì)應(yīng)。平面并不一一對(duì)應(yīng)。例如，零點(diǎn)就沒有這種對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如，零點(diǎn)就沒有這種對(duì)應(yīng)關(guān)系。kAks sks Tz e aHs模擬濾波器與數(shù)字濾波器的變換關(guān)系模擬濾波器與數(shù)字濾波器的變換關(guān)系111;1is Tissez111( )( )1kNNkk

59、as TkkkAAHssH zzssez平面）（ 平面）11111( 1)1()()(1)!1immsTmmiidssmdsez11kkks TkAAssez122122(sin)()12(cos)aTaTaTbebT zsabebT zez1221221(cos)()12(cos)aTaTaTsaebT zsabebT zez*11kkks TkAAssez（4 4）修正的）修正的HH（Z Z） 由于由于DFDF的頻率響應(yīng)與的頻率響應(yīng)與T T成反比，當(dāng)成反比，當(dāng)T T很小時(shí)，很小時(shí)，DFDF的增益過高，這樣很不好，為此做如下修正：的增益過高，這樣很不好，為此做如下修正：)nT(Th)n(ha

60、11( )1kNks TkTAH zez2()()jakkHeHjT 12)()jakkH eHjTT（3 3、用沖激不變法設(shè)計(jì)、用沖激不變法設(shè)計(jì)IIRDFIIRDF的一般流程的一般流程1 1、根據(jù)設(shè)計(jì)要求，設(shè)定指標(biāo)。、根據(jù)設(shè)計(jì)要求，設(shè)定指標(biāo)。2 2、將數(shù)字濾波器性能指標(biāo)變換為中間模擬濾波器的性能、將數(shù)字濾波器性能指標(biāo)變換為中間模擬濾波器的性能指標(biāo)。指標(biāo)。3 3、設(shè)計(jì)出符合要求的中間模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)、設(shè)計(jì)出符合要求的中間模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H Ha a(s)(s)。4 4、將、將Ha(s)Ha(s)展成部分分式的并聯(lián)形式，利用下式設(shè)計(jì)出展成部分分式的并聯(lián)形式，利用下式設(shè)計(jì)出H(z)H(z)