初二軸對稱圖形難題總結(jié)

1、初二軸對稱圖形難題總結(jié)如圖（a）,點A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關(guān)于l的對稱點B',連接A B與直線l交于點C,則點C即為所求.（1）實踐運用：如圖（b）,已知，。的直徑CD為4,點A在。O上，/ACD=30, B為弧AD的中點，P為直徑CD上一動點，貝U BP+AP的最小值為 .（2）知識拓展：如圖（c）,在RtABC中，AB=10, /BAC=45, / BAC的平分線交 BC于點D, E、F分別是線段 AD和AB上的動點， 求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.2. （1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（1）:若點A、B在直線m同側(cè)，在直

2、線 m上找一點P,使AP+BP的值最小，做法如下：作點B關(guān)于直線m的對稱點B；連接AB',與直線m的交點就是所求的點 P,線段AB'的長度即為AP+BP的最小 值.*印RD匕圜）圖3）如圖（2）:在等邊三角形 ABC中，AB=2,點E做法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點 C重合，連接是AB的中點，AD是高，在 AD上找一點 P,使BP+PE的值最小,C或AD一點，則這點就是所求的點P,故BP+PE的最小值為（2）實踐運用如圖（3）:已知。的直徑CD為2, &C的度數(shù)為值最小，貝U BP+AP的值最小，貝U BP+AP的最小值為 小二。阿（3）圖（4） 飛（3）拓展

3、延伸如圖（4）:點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，分別在邊 AB 痕跡，/、寫作法.如圖（1）,要在燃?xì)夤艿纋上修建一個泵站，分別向 管線最短？你可以在l上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？60°,點B是M 的中點，在直徑 CD上作出點P,使BP+AP的BC上作出點M,點N,使PM+PN+MN的值最小，保留作圖A、B兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法.他把管道l看成一條直線（圖（2）,問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的： 作點B關(guān)于直線l的對稱點B'.連接AB'交直線

4、l于點巳則點P為所求.請你參考小華的做法解決下列問題.如圖在4ABC中，點D、E分別是AB，AC邊的中點，BC=6, BC邊上的高為4,請你在BC邊上確定一點 巳 使4PDE得周長最小.（1）在圖中作出點 P （保留作圖痕跡，不寫作法）.（2）請直接寫出4PDE周長的最小值： .4 . （1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點A, B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點P,使AP+BP的值最小.做法如下：作點 B關(guān)于直線l的對稱點B',連接AB',與直線l的交點就是所求的點 P.再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2,點E是AB的中點，AD是高，在 AD上找一點 巳 使BP+PE的值最

5、小.做法如下：作點 B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點 C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P,故BP+PE的最小值為 .（2如（c）圖，已知。的直徑CD為4, /AOD的度數(shù)為60°,點B是疝的中點，在直徑 CD上找一點P,使BP+AP的值最小，并求 BP+AP的最小值.（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形 ABCD的對角線AC上找一點巳使/APB=/ APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.（階（C）仙5 .幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個定點.P,使PA+PB的值最小.方法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A,連接A狡l于點巳則PA+PB=AB的值最小(不必證明).模

6、型應(yīng)用：(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2, E為AB的中點，P是AC上一動點.連接 BD,由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱.連接ED交AC于巳則PB+PE的最小彳1是 ;(2)如圖2,。的半徑為2,點A、B、C在。上，OA，OB, / AOC=6 0, P是OB上一動點，求 PA+PC的最小 值；(3)如圖3, /AOB=45, P是/AOB內(nèi)一點，PO=10, Q、R分別是 OA、OB上的動點，求 4PQR周長的最小值.6 .如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點的坐標(biāo)分別為 A (2, -3), B (4, -1).(1)若P (p, 0)是x軸上的一個動點，則當(dāng) p= 時，

7、4PAB的周長最短；(2)若C (a, 0), D (a+3, 0)是x軸上的兩個動點，則當(dāng) a= 時，四邊形ABDC的周長最短；(3)設(shè)M, N分別為x軸和y軸上的動點，請問：是否存在這樣的點M (m, 0)、N (0, n),使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請求出m= , n= (不必寫解答過程)；若不存在，請說明理由.7 .需要在高速公路旁邊修建一個飛機場，使飛機場到A, B兩個城市的距離之和最小，請作出機場的位置.8 .如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個新開發(fā)區(qū) A, B,已知AB=10千米，直線 AB與公路MN的夾角Z AON=30 ；新開發(fā)區(qū) B到公路MN的距離BC=3

8、千米.(1)新開發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為 ;(2)現(xiàn)要在MN上某點P處向新開發(fā)區(qū) A, B修兩條公路PA, PB,使點P到新開發(fā)區(qū)A, B的距離之和最短.此時 PA+PB= (千米).9 .如圖：(1)若把圖中小人平移，使點 A平移到點B,請你在圖中畫出平移后的小人;l上點P處喝水后，再游到 B,但要使游泳的路程最短，試!i A11L_111鼻 . * . . T111汨十咨十1'1- 1 14 一 1 1 I 1n ; H h-5 J 1'H : H J i1(2)若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊 在圖中畫出點 P的位置.10 .如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰梯形AB

9、B1A1的對稱軸為y軸.(1)請畫出：點 A、B關(guān)于原點。的對稱點A2、B2 (應(yīng)保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明)(2)連接A1A2、B1B2 (其中A2、B2為(1)中所畫的點)，(3)設(shè)線段AB兩端點的坐標(biāo)分別為 A (-2, 4)、B(- 4,使4A1B1C與4A2B2c的周長之和最??？若存在，求出點 C試證明：x軸垂直平分線段 A1A2、B1B2;2),連接(1)中A2B2,試問在x軸上是否存在點 C,的坐標(biāo)(不必說明周長之和最小的理由);若不存在,A、B的水果11 .某大型農(nóng)場擬在公路 L旁修建一個農(nóng)產(chǎn)品儲藏、加工廠，將該農(nóng)場兩個規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地C,使A、B兩地到加工廠

10、C的運集中進(jìn)行儲藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟(jì)效益.請你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置 輸路程之和最短.(要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明)12 .閱讀理解如圖1, 4ABC中，沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/ B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，/ BAC是 ABC的好角.小麗展示了確定 Z BAC是 ABC的好角的兩種情形.情形一：如圖 2,沿等腰三角形 ABC頂角/ BAC的平分線AB1 折疊，點B與點C重合；情形二：如圖 3,沿/BAC的平分

11、線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿 / B1A1C的 平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合.探究發(fā)現(xiàn)(1) 4ABC中，/B=2/C,經(jīng)過兩次折疊， /BAC是不是4ABC的好角？ (填 是"或不是”).(2)小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了/BAC是4ABC的好角，請?zhí)骄?/B與/C (不妨設(shè)/ B> / C)之間的等量關(guān)系.根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊/ BAC是4ABC的好角，則/ B與/ C (不妨設(shè)/ B> / C)之間的等量關(guān)系為應(yīng)用提升(3)小麗找到一個三角形，三個角分別為15。、60。、105。，發(fā)現(xiàn)60。和105。的兩個角都是此三角形的好角.請你完成

12、，如果一個三角形的最小角是4。，試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均是此三角形的好角.13 .如圖，4ABC中AB=AC, BC=6,，點P從點B出發(fā)沿射線BA移動，同時，點 Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，已知點 P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D.(1)如圖，當(dāng)點P為AB的中點時，求 CD的長；(2)如圖，過點P作直線BC的垂線垂足為E,當(dāng)點P、Q在移動的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由；14 . (2012?東城區(qū)二模)已知：等邊 ABC中，點。是邊AC, BC的垂直平分線的交點， M, N分別在直線 AC, BC 上，且

13、/ MON=60 .(1)如圖1,當(dāng)CM=CN時，M、N分別在邊AC、BC上時，請寫出 AM、CM MN三者之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2,當(dāng)CWCN時，M、N分別在邊AC、BC上時，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請你加以證明； 若不成立，請說明理由；(3)如圖3,當(dāng)點M在邊AC上，點N在BC的延長線上時，請直接寫出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系.15.如圖，線段 CD垂直平分線段求證：DE=DEAB, CA的延長線交BD的延長線于E, CB的延長線交AD的延長線于F,16.如圖，在 4ABC和4DCB中,AB=DC, AC=DB, AC 與 DB 交于點 M.求證:(1) AAB

14、CA DCB;(2)點M在BC的垂直平分線上.AD 于 D, E 為垂足，DFLAB 于 F,且 AB> AC,17 .如圖，4ABC的邊BC的垂直平分線 DE交ABAC的外角平分線求證：BF=AC+AFP,彳PKaAB, PL.XAC,垂足分別是 K、L,18 .已知 ABC的角平分線AP與邊BC的垂直平分線 PM相交于點求證：BK=CL19.某私營企業(yè)要修建一個加油站，如圖，其設(shè)計要求是，加油站到兩村A、B的距離必須相等，且到兩條公路m、（要有作圖痕跡）n的距離也必須相等，那么加油站應(yīng)修在什么位置，在圖上標(biāo)出它的位置.MN交BC于M,交AB于N,求BM的長.20.如圖，在 4ABC

15、中，AB=AC, /A=120°, BC=9cm, AB 的垂直平分線21 .如圖，在 4ABC中，/BAC的平分線與 BC的垂直平分線 PQ相交于點 P,過點P分另作PNLAB于N, PMXAC 于點M,求證：BN=CM.22.如圖己知在 ABC中，/C=90°,ZB=15 °, DE垂直平分 AB, E為垂足交 BC于D, BD=16cm,求 AC長.參考答案與試題解析一.解答題（共22小題）1 . （2013?日照）問題背景：如圖（a）,點A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關(guān)于l的對稱點B',連接

16、A B與直線l交于點C,則點C即為所求.（1）實踐運用：如圖（b）,已知，。的直徑CD為4,點A在。O上，/ACD=30, B為弧AD的中點，P為直徑CD上一動點，貝U BP+AP的最/、值為 2版 .（2）知識拓展：如圖（c）,在RtABC中，AB=10, /BAC=45, / BAC的平分線交 BC于點D, E、F分別是線段 AD和AB上的動點, 求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.考點：軸對稱-最短路線問題.3113559分析：（1）找點A或點B關(guān)于CD的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN的交點P就是所求作的位置.根據(jù)題意先求出 /C' AE再根據(jù)勾股定理求出AE,

17、即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜邊 AC上截取AB' =AB連結(jié)BB',再過點B作B' LAB,垂足為F,交AD于E,連結(jié) BE,則線段B'的長即為所求.解答：解：（1）作點B關(guān)于CD的對稱點E,連接AE交CD于點P此時PA+PB最小，且等于AE.作直徑AC,連接C' E根據(jù)垂徑定理得弧 BD=M DE. / ACD=30 ,°/ AOD=60 ； / DOE=30 ；/ AOE=90 ,°/ C' AE=45 °又AC為圓的直徑，Z AEC =90；ZC C AE=45 ° 瑪 . C e=aE

18、=ac，匹即AP+BP的最/、值是2n.故答案為：2/2；（2）如圖，在斜邊 AC上截取AB' =AB連結(jié)BB'. . AD 平分 ZBAC, 點B與點B關(guān)于直線AD對稱.過點B作B' 1AB,垂足為F,交AD于E,連結(jié)BE, 則線段B'的長即為所求.（點到直線的距離最短）在 RtAFB 中，. /BAC=45, AB' =AB=10嗎 .B/ F=AB，？sin45 ° =AB?s蕭455V=10 X . BE+EF的最/、值為2.F B I點評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)已知得出對應(yīng)點P位置是解題

19、關(guān)鍵.2. （2013?六盤水）（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（1）:若點A、B在直線m同側(cè)，在直線 m上找一點P,使AP+BP的值最小，做法如下：作點B關(guān)于直線m的對稱點B；連接AB',與直線m的交點就是所求的點 P,線段AB'的長度即為AP+BP的最小值.宜1 )國U)如圖（2）:在等邊三角形 ABC中，AB=2,點E是AB的中點，AD是高，在 AD上找一點P,使BP+PE的值最小， 做法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點 C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P,故BP+PE的最小值為（2）實踐運用如圖（3）:已知。的直徑CD為2, &匚的度數(shù)為60°

20、,點B是度 的中點，在直徑 CD上作出點P,使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則 BP+AP的最小值為 V2 .（3）拓展延伸如圖（4）:點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，分別在邊 AR BC上作出點M,點N,使PM+PN+MN的值最小，保留作圖 痕跡，不寫作法.考點：圓的綜合題；軸對稱-最短路線問題.3113559專題：壓軸題.分析：(1)觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長為BP+PE的最小值；由AB=2,點E是AB的中點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到 CE1 AB, / BCE=?/ BCA=30 , BE=1,再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān) 系得CE=75;(2)實踐運用：過 B點作弦B

21、EX CD,連結(jié)AE交CD于P點，連結(jié)OB、OE、OA、PB,根據(jù)垂徑 定理得到CD平分BE,即點E與點B關(guān)于CD對稱，則AE的長就是BP+AP的最小值；由于AC的度數(shù)為60°,點B是AC的中點得到Z BOC=3 0, /AOC=6 0,所以/ AOE=60+30°=90°,于是可判斷4OAE為等腰直角三角形，則 AE=/2OA=/2 ;(3)拓展延伸：分別作出點P關(guān)于AB和BC的對稱點E和F,然后連結(jié)EF, EF交AB于M、交BC于 N.解答：解：(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖(2), CE的長為BP+PE的最小值，.在等邊三角形 ABC中，AB=2,點E是AB的中點1.-

22、.CE± AB, / BCE=2/ BCA=30 ； BE=1,.代=亞薪=幾；故答案為.:；(2)實踐運用如圖(3),過B點作弦BEX CD,連結(jié)AE交CD于P點，連結(jié) OB、OE、OA、PB, .BEXCD), CD平分BE,即點E與點B關(guān)于CD對稱， AC的度數(shù)為60 ；點B是AC的中點，/ BOC=30 ,° / AOC=60 ；/ EOC=30,°/ AOE=60，30 =90 ； .OA=OE=1, .AE=： %OA=.AE的長就是 BP+AP的最小值.故答案為-二:；(3)拓展延伸 如圖(4).點評:本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以

23、及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常 用到，同時熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱-最短路徑問題.3. (2012?涼山州)在學(xué)習(xí)軸對稱的時候，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題.如圖(1),要在燃?xì)夤艿纋上修建一個泵站，分別向 A、B兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣 管線最短？你可以在l上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法.他把管道l看成一條直線(圖(2),問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的: 作點B關(guān)于直線l的對稱點B'.連接AB'交直線l于點巳則點P為所求.請你參考小

24、華的做法解決下列問題.如圖在4ABC中，點D、E分別是AB AC邊的中點，BC=6, BC邊上的高為4,請你在BC邊上確定一點 巳 使4PDE得周長最小.(1)在圖中作出點 P (保留作圖痕跡，不寫作法).考點專題分析軸對稱-最短路線問題.3113559壓軸題.(1)根據(jù)提供材料 DE不變，只要求出與BC交于點P, P點即為所求；(2)利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出DP+PE的最小值即可，作 D點關(guān)于BC的對稱點D',連接D' ¥D'的值，即可得出答案.(2)請直接寫出 4PDE周長的最小值：8 .解答:解：(1)作D點關(guān)于BC的對稱點D',連接D&#

25、39; ¥與BC交于點P, P點即為所求；(2)二點D、E分別是AR AC邊的中點,.DE為4ABC中位線， BC=6, BC邊上的高為4,.DE=3, DD' =4.D E期?+DD' 叫3。4?=5,.PDE周長的最小值為： DE+D' E=3+5=8 故答案為：8.點評:此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑以及三角形中位線的知識，根據(jù)已知得出要求 值，求出DP+PE的最小值即可是解題關(guān)鍵. PDE周長的最小4. （2010?淮安）（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點A, B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點P,使AP+BP的值最小.做法如下：作點 B關(guān)于直線l的對

26、稱點B',連接AB',與直線l的交點就是所求的點 P.再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2,點E是AB的中點, 做法如下：作點 B關(guān)于AD的對稱點，AD是高，在 AD上找一點巳使BP+PE的值最小.恰好與點 C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P,故 BP+PE的最小值為（2）實踐運用:如（c）圖，已知OO的直徑CD為4/AOD的度數(shù)為60°,點B是的中點，在直徑 CD上找一點P,使 BP+AP的值最小，并求 BP+AP的最小值.（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形 ABCD的對角線AC上找一點巳使/APB=/ APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.

27、D AB D C(6)考點:分析:軸對稱-最短路線問題.3113559（1）首先由等邊三角形的性質(zhì)知，求出CE的長度，從而得出結(jié)果；CE!AB,在直角 4BCE中，/ BEC=90BC=2 BE=1,由勾股定理可解：（1）bp+pe的最小值=MBC” 一 EE（2）要在直徑CD上找一點P,使PA+PB的值最小，設(shè) A'是A關(guān)于CD的對稱點，連接交點即為點P.此時PA+PB=AB是最小值，可證 AOA B是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果.（3）畫點B關(guān)于AC的對稱點B',延長DB交AC于點P.則點P即為所求.解答:(2)作點A關(guān)于CD的對稱點 A',連接A' H交C

28、D于點 巳 連接OA , AA', OB. 點A與A關(guān)于CD對稱，/ AOD的度數(shù)為60 °,. ./A' OD=AOD=60 ； PA=PA,' .點b是AD的中點，/ BOD=30 ；. ./A' OB=A' OD+BOD=90 ,°.。0的直徑CD為4, .OA=OA' =2. .A' B=史. .PA+PB=PA ' +PB=A£.B=2(3)如圖d:首先過點 B作BBXAC于O,且OB=OB, 連接DB并延長交AC于P.(由AC是BB'的垂直平分線，可得 /APB=/ APD).點評

29、：此題主要考查軸對稱-最短路線問題，解決此類問題，一般都是運用軸對稱的性質(zhì)，將求折線問題轉(zhuǎn)化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊.5. (2009?漳州)幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個定點.問題：在直線l上確定一點P,使PA+PB的值最小.方法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A',連接A'狡l于點巳則PA+PB=AB的值最小(不必證明).模型應(yīng)用：(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2, E為AB的中點，P是AC上一動點.連接 BD,由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱.連接ED交AC于巳則PB+PE的最小值是；(2)如圖2,。的半徑為2,

30、點A、B、C在。上，OKL OB, / AOC=6 0, P是OB上一動點，求 PA+PC的最小 值；(3)如圖3, /AOB=45, P是/AOB內(nèi)一點，PO=10, Q、R分別是 OA、OB上的動點，求 4PQR周長的最小值.考點：軸對稱-最短路線問題.3113559專題：壓軸題；動點型.分析：(1)由題意易得 PB+PE=PD+PE=DE在 ADE中，根據(jù)勾股定理求得即可；(2)作A關(guān)于OB的對稱點A',連接A' C交OB于P,求A'的勺長，即是PA+PC的最小值;(3)作出點P關(guān)于直線OA的對稱點M,關(guān)于直線 OB的對稱點N,連接MN,它分別與 OA, OB 的

31、交點Q、R,這時三角形 PEF的周長=MN,只要求MN的長就行了.解答：解：(1)二.四邊形ABCD是正方形，AC垂直平分BD,，PB=PD, 由題意易得：PB+PE=PD+PE=D E在 ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=2W=正；(2)作A關(guān)于OB的對稱點A',連接A' C交OB于P, PA+PC勺最小彳直即為AA伯勺長， / AOC=60 ° . ./A' OC=120 ° 作 OD± A 什 D,則 / A' OD=60 .OA' =OA=2. A'.(3)分別作點 P關(guān)于OA、OB的對稱點 M、N,連接OM、

32、ON、MN, MN交OA、OB于點Q、R, 連接PR PQ,此時4PQR周長的最小值等于 MN.由軸對稱性質(zhì)可得， OM=ON=OP=10, /MOA=/POA, / NOB=/ POB, ./ MON=2/AOB=2 X 4590 ；即 PQR周長的最小值等于1小歷.此題綜合性較強，主要考查有關(guān)軸對稱-最短路線的問題，綜合應(yīng)用了正方形、圓、等腰直角三 角形的有關(guān)知識.在 RtA MON 中，MN=V12+ON2=7102+102=io/2.點評:6. (2006?湖州)如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點的坐標(biāo)分別為 A (2, -3), B (4, - 1).t(1)若P (p, 0)是x

33、軸上的一個動點，則當(dāng) p= 2 時，4PAB的周長最短；(2)若C (a, 0), D (a+3, 0)是x軸上的兩個動點，則當(dāng) a= 4 時，四邊形 ABDC的周長最短；(3)設(shè)M, N分別為x軸和y軸上的動點，請問：是否存在這樣的點M (m, 0)、N (0, n),使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請求出 m= 2 , n= - 3 (不必寫解答過程)；若不存在，請說明理由.考點：軸對稱-最短路線問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).3113559專題：壓軸題.分析：(1)根據(jù)題意，設(shè)出并找到B (4, - 1)關(guān)于x軸的對稱點是B',其坐標(biāo)為(4, 1),進(jìn)而可得直線AB'的解析式，

34、進(jìn)而可得答案；(2)過A點作AE，x軸于點E,且延長AE,取A'E=AE做點F (1, - 1),連接A'F.利用兩點間 的線段最短，可知四邊形 ABDC的周長最短等于 A'F+CD+AB,從而確定C點的坐標(biāo)值.回 國(3)根據(jù)對稱軸的性質(zhì)，可得存在使四邊形ABMN周長最短的點 M、N,當(dāng)且僅當(dāng)m=2 , n=-3；時成立.解答：解：(1)設(shè)點B (4, - 1)關(guān)于x軸的對稱點是B',其坐標(biāo)為(4, 1),設(shè)直線AB'的解析式為y=kx+b,r 2k+b= - 3把 A (2, - 3), B' (4, 1)代入得：,k毛解得1b二一 7 ,

35、y=2x - 7, I 令 y=0 得 x= 2,即 p= 2.A' (2,(2)過A點作AE±x軸于點E,且延長 AE,取A'E-AE.做點F (1, - 1),連接A'F.那么3).直線A'F的解析式為L-i=3" Cx-i),即 y=4x- 5,.C點的坐標(biāo)為(a, 0),且在直線A'F上,5- a=4 a-(3)存在使四邊形 ABMN周長最短的點 M、N,作A關(guān)于y軸的對稱點A',作B關(guān)于x軸的對稱點B',連接A B'與x軸、y軸的交點即為點 M、N, A' (- 2, -3), B'

36、(4, 1),2 至直線A'的解析式為：y-xS5M ( 2, 0), N (0, - 3).m= £, n= 一 >.點評:考查圖形的軸對稱在實際中的運用，同時考查了根據(jù)兩點坐標(biāo)求直線解析式，運用解析式求直線與 坐標(biāo)軸的交點等知識.A, B兩個城市的距離之和最小，請作出機場的7. (2007?慶陽)需要在高速公路旁邊修建一個飛機場，使飛機場到考點專題分析解答點評:PA+PB= 14（千米）.軸對稱-最短路線問題.3113559作圖題.利用軸對稱圖形的性質(zhì)可作點A關(guān)于公路的對稱點 A',連接A' B與公路的交點就是點P的位置.本題主要是利用軸對稱圖形來求

37、最短的距離.用到的知識：兩點之間線段最短.8. (2006?貴港)如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個新開發(fā)區(qū) A, B,已知AB=10千米，直線 AB與公路MN的夾角Z AON=30 ,新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米.(1)新開發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為 8 ;(2)現(xiàn)要在MN上某點P處向新開發(fā)區(qū) A, B修兩條公路PA, PB,使點P到新開發(fā)區(qū)A, B的距離之和最短.此時NC（9 V考點：軸對稱-最短路線問題.3113559專題：計算題；壓軸題.分析：(1)先求出OB的長，從而得出 OA的長，再根據(jù)三角函數(shù)求得到公路的距離.(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得 EF=CD=BC=3 AF=A

38、E+EF=AE+BC=11再根據(jù)余弦概念求解.解答：解：(1)BC=3, /AOC=30 , .OB=6.過點 A 作 AE± MN 于點 E, AO=AB+OB=1Q .AE=8.即新開發(fā)區(qū)A到公路的距離為8千米；(2)過D作DF, AE的延長線(點 D是點B關(guān)于MN的對稱點)，垂足為F. 則 EF=CD=BC=3 AF=AE+EF=AE+BC=1,1 過B作BGJ± AE于G, .BG=DF,BG=AB?cos30 5 ?連接 PB,貝U PB=PD, .PA+PB=PA+PD=AD=14千米）.嚴(yán)？.V EC O Ai點評：此題主要考查學(xué)生利用軸對稱的性質(zhì)來綜合解三角

39、形的能力.9. (2006?巴中)如圖：(1)若把圖中小人平移，使點 A平移到點B,請你在圖中畫出平移后的小人；(2)若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l上點P處喝水后，再游到 B,但要使游泳的路程最短，試在圖中畫出點 P的位置.11一一111三 . * + . T11 .1I1等-I 放4iHi41*I1iN14J：i !I bL 1j,卜:'IT 1廠廠|11-1 |.4 一 11 L 11 A11 qi i H H !：；：i 1 i i h H i 丁丁 TTT- TT 廠廠一考點:專題:分析:解答:軸對稱-最短路線問題；作圖-軸對稱變換；作圖-平移變換.311355

40、9作圖題.根據(jù)平移的規(guī)律找到點 B,再利用軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短的性質(zhì)，找到點 A的對稱點,連接A1B與l相交于點P,即為所求.點評:本題考查的是平移變換與最短線路問題.最短線路問題一般是利用軸對稱的性質(zhì)解題，通過作軸對稱圖形，利用軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短可求出所求的點.作平移圖形時，找關(guān)鍵點的對應(yīng)點也是關(guān)鍵的一步.平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離，先確定一組對應(yīng)點； 確定圖形中的關(guān)鍵點； 利用第一組對應(yīng)點和平移的性質(zhì)確定圖中所有 關(guān)鍵點的對應(yīng)點； 按原圖形順序依次連接對應(yīng)點，所得到的圖形即為平移后的圖形.10. （2003?泉州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰梯形ABB1

41、A1的對稱軸為y軸.（1）請畫出：點 A、B關(guān)于原點。的對稱點A2、B2 （應(yīng)保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明）；（2）連接A1A2、B1B2 （其中A2、B2為（1）中所畫的點），試證明：x軸垂直平分線段 A1A2、B1B2;（3）設(shè)線段AB兩端點的坐標(biāo)分別為 A （-2, 4）、B （ - 4, 2）,連接（1）中A2B2,試問在x軸上是否存在點 C, 使4A1B1C與4A2B2c的周長之和最小？若存在，求出點 C的坐標(biāo)（不必說明周長之和最小的理由）；若不存在，請說明理由.考點：作圖-軸對稱變換；線段垂直平分線的性質(zhì)；軸對稱-最短路線問題.3113559專題：作圖題；證明題；壓軸題；探

42、究型.分析：(1)根據(jù)中心對稱的方法，找點 A2, B2,連接即可.(2)設(shè) A (x1, y1)、B (x2, y2)依題意與(1)可得 A1 ( - x1, y1), B1 ( - x2, y2), A2 ( - x1, -y1), B2 (- x2, -y2),得到A1、B1關(guān)于x軸的對稱點是 A2、B2,所以x軸垂直平分線段 A1A2、 B1B2.(3)根據(jù)A1與A2, B1與B2均關(guān)于x軸對稱，連接A2B1交x軸于C,點C為所求的點.根據(jù)題意 得 B1 (4, 2), A2 (2, - 4)設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b則利用待定系數(shù)法.解得 lb二一1U ,所以可求直線 A2

43、B1的解析式101010為y=3x-10.令y=0,得x=3 ,所以C的坐標(biāo)為(3,0).即點C( 3 , 0)能使人化化與 A2B2c 的周長之和最小.解答：解：(1)如圖，A2、B2為所求的點.(2)設(shè) A (x1 , y1)、B (x2, y2)依題意與(1)可得 A1 ( - x1, y1) , B1 (- x2, y2), A2 ( - x1, - y1) , B2 ( - x2, - y2).A1、B1關(guān)于x軸的對稱點是 A2、B2,，x軸垂直平分線段 A1A2、B1B2.(3)存在符合題意的 C點.由(2)知A1與A2, B1與B2均關(guān)于x軸對稱，連接A2B1交x軸于C,點C為所

44、求的點. A (-2, 4), B ( - 4, 2)依題意及(1)得：B1 (4, 2), A2 (2, - 4).r 4kb=2設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b貝U有 4fk?解得b=- 1°直線A2B1的解析式為y=3x- 10,10令y=0,得x=10.C的坐標(biāo)為（3,0）點評：主要考查了軸對稱的作圖和性質(zhì)，以及垂直平分線的性質(zhì). 要知道對稱軸垂直平分對應(yīng)點的連線.會根據(jù)此性質(zhì)求得對應(yīng)點利用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.11. （2001?宜昌）某大型農(nóng)場擬在公路L旁修建一個農(nóng)產(chǎn)品儲藏、加工廠，將該農(nóng)場兩個規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地A、B的水果集中進(jìn)行儲藏和技術(shù)加

45、工，以提高經(jīng)濟(jì)效益.請你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置 工廠C的運輸路程之和最短.（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）C,使A、B兩地到加考點專題分析解答軸對稱-最短路線問題.3113559作圖題.作A關(guān)于直線L的對稱點E,連接BE交直線L于C,則C為所求.點評:本題主要考查對軸對稱-最短路線的問題的理解和掌握，根據(jù)題意正確畫出圖形是解此題的關(guān)鍵,12. （2012?淮安）閱讀理解如圖1, 4ABC中，沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/ B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合，無論折疊多

46、少次，只要最后一次 恰好重合，/ BAC是 ABC的好角.小麗展示了確定 / BAC是 ABC的好角的兩種情形.情形一：如圖 2,沿等腰三角形 ABC頂角/ BAC的平分線AB1 折疊，點B與點C重合；情形二：如圖 3,沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿 / B1A1C的 平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合.探究發(fā)現(xiàn)（1） 4ABC中，/B=2/C,經(jīng)過兩次折疊，/BAC是不是4ABC的好角？是 （填 是“或不是”）.（2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了 /BAC是4ABC的好角，請?zhí)骄?/B與/C （不妨設(shè)/ B> / C）之間的等量關(guān)系.根 據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過

47、 n次折疊/ BAC是4ABC的好角，則/ B與/ C （不妨設(shè)/ B> / C）之間的等量關(guān)系為 / B=nZ C .應(yīng)用提升（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15。、60。、105°,發(fā)現(xiàn)60。和105。的兩個角都是此三角形的好角.請你完成，如果一個三角形的最小角是4。，試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均是此三角形的好角.mi闔2度Im考點：翻折變換（折疊問題）.3113559專題：壓軸題；規(guī)律型.分析：（1）在小麗展示的情形二中，如圖 3,根據(jù)根據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知/B=2/C;（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知/A1A2B2=

48、/C+/A2B2c=2ZC;根據(jù)四邊形的外角定理知/ BAC+2Z B - 2c=180，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知 /BAC+/ B+Z C=180 °由 可以求得 /B=3/C;利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：/ B=nZ C;（3）利用（2）的結(jié)論知 /B=n/C, /BAC是4ABC的好角，ZC=nZA, / ABC是 ABC的好角， ZA=nZB, /BCA是4ABC的好角；然后三角形內(nèi)角和定理可以求得另外兩個角的度數(shù)可以是4、172; 8、168; 16、160; 44、132; 88°、88°.解答：解：（1） 4ABC中，/ B

49、=2/ C,經(jīng)過兩次折疊，/ BAC是4ABC的好角；理由如下：小麗展示的情形二中，如圖3,沿/BAC的平分線AB1折疊，/ B=/AA1B1;又.將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合，/ A1B1C=Z C;, / AA1B1=/C+/A1B1C （外角定理）, ，/B=2/C, / BAC是 ABC 的好角. 故答案是：是；（2） /B=3/C;如圖所示，在 4ABC中，沿/ BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部 分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿/B2A2c的平分線A2B3折疊，點 B2與點C重合，則/ BAC是4A

50、BC的好角.證明如下：二.根據(jù)折疊的性質(zhì)知，/B=/AA1B1, /C=/A2B2C, ZA1 B1C=Z A1A2B2,，根據(jù)三角形的外角定理知，ZA1A2B2=Z C+Z A2B2C=2Z C;.根據(jù)四邊形的外角定理知，ZBAC+Z B+Z AA1B1- / A1 B1C=Z BAC+2Z B- 2/C=180 ,°根據(jù)三角形 ABC的內(nèi)角和定理知，/ BAC+Z B+ZC=18CF,/ B=3/C;由小麗展示的情形一知，當(dāng) /B=/C時，/BAC是4ABC的好角；由小麗展示的情形二知，當(dāng)/B=2/C時，/ BAC是4ABC的好角；由小麗展示的情形三知，當(dāng)/B=3/C時，/ BA

51、C是4ABC的好角；故若經(jīng)過n次折疊/ BAC是4ABC的好角，則/B與/C （不妨設(shè)ZB>ZC）之間的等量關(guān)系為 ZB=nZ C;(3)由(2)知設(shè) / A=4°, ./C 是好角，./B=4n°:/A是好角，/ C=m/ B=4mn ° 其中 m、n 為正整數(shù)得 4+4n+4mn=180，如果一個三角形的最小角是4°,三角形另外兩個角的度數(shù)是4、172; 8、168; 16、160; 44、132;88 °、88°.R Bf 殳 用點評：本題考查了翻折變換(折疊問題).解答此題時，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理以

52、及折疊的性質(zhì).難度較大.13. (2013?青羊區(qū)一模)如圖， 4ABC中AB=AC, BC=6,5,點p從點B出發(fā)沿射線BA移動，同時，點 Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，已知點 P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D.(1)如圖，當(dāng)點P為AB的中點時，求 CD的長；(2)如圖，過點P作直線BC的垂線垂足為E,當(dāng)點P、Q在移動的過程中，線段 BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由;考點專題分析等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).3113559幾何綜合題；壓軸題；分類討論.(1)過點P做PF平行與AQ,由平行我們得出一對同位角和一對內(nèi)錯角的相等，再由AB=A

53、C,根據(jù)等邊對等角得角 B和角ACB的相等，根據(jù)等量代換的角 B和角PFB的相等，根據(jù)等角對等邊得 BP=PR 又因點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同即 BP=CQ等量彳t換得 PF=CQ在加上對等角的相等，證得11三角形PFD和三角形QCD的全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊邊相等得出DF=CD=CF,而又因P是AB的中點，PF/ AQ得出F是BC的中點，進(jìn)而根據(jù)已知的 BC的長，求出CF,即可得出(2)分兩種情況討論，第一種情況點P在線段AB上，根據(jù)等腰三角形的三線合一得CD的長.BE=EF再又第EF+FFBE4DC 二)改二 3一問的全等可知 DF=CD,所以ED=,得出線段DE的長為定值;第二種

54、情況,P在BA的延長線上，作PM平行于AC交BC的延長線于 等于角ACB,而角ACB等于角ABC,根據(jù)等量代換得到角M ,根據(jù)兩直線平行，同位角相等推出角 PMBABC等于角PMB,根據(jù)等角對等邊得到 PM等于PB,根據(jù)三線合一，得到 BE等于EM,同理可得4PMD全等于4QUD,得到CD等于DM,根據(jù)DE等于EMM DM,把EM換為BC加CM的一半，化簡后得到值為定值.解答：解：(1)如圖，過 P點作PF/ AC交BC于F,點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同, .BP=CQ1. PF/ AQ,/ PFB=Z ACB, / DPF=Z CQD,又 AB=AC,/ B=ZACB,/ B=/PFB, .BP=PRPF=CQ 又 / PDF=Z QDC, 證得PFgQCD, . DF=CD=：CF,又因P是AB的中點，PF/ AQ, .F 是 BC的中點，即 FC=2bC=3,1 3.CD=2cf=2；(2)分兩種情況討論，得 ED為定值，是不變的線段 如圖，如果點P在線段AB上，過點P作PF/ AC交BC于F,PBF為等腰三角形，.PB=PRBE=EF.PF=CQFD=DC,EF+FD二盹十DC二與 C二3.ED=上 ,.ED為定值，同理，如圖，若