《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習習題隨機變量及其分布

1、第二章 隨機變量及其分布一. 填空題1. 設(shè)隨機變量XB(2, p), YB(3, p), 若P(X 1) =, 則P(Y 1) = _.解. , 2. 已知隨機變量X只能取1, 0, 1, 2四個數(shù)值, 其相應(yīng)的概率依次為, 則c = _.解. 3. 用隨機變量X的分布函數(shù)F(x)表示下述概率: P(X a) = _. P(X = a) = _. P(X a) = _. P(x1 X x2) = _.解. P(X a) = F(a) P(X = a) = P(X a)P(X a) = 1F(a) P(x1 X x2) = F(x2)F(x1)4. 設(shè)k在(0, 5)上服從均勻分布, 則有實根

2、的概率為_.解. k的分布密度為 P有實根 = P = Pk 1或k 2 =5. 已知(k = 1, 2, 3), X與Y獨立, 則a = _, b = _, 聯(lián)合概率分布_, Z = X + Y的概率分布為_.解. . (X, Y)的聯(lián)合分布為 YX1 2 3 123ab Z = X + Y2 1 0 1 2 P24a 66a 251a 126a 72a ab = 216a, 6. 已知(X, Y)聯(lián)合密度為 , 則c = _, Y的邊緣概率密度_.解. 所以 當 時 所以 7. 設(shè)平面區(qū)域D由曲線圍成, 二維隨機變量(X, Y)在D上服從均勻分布, 則(X, Y)關(guān)于X的邊緣密度在x =

3、2處的值為_.解. D的面積 = . 所以二維隨機變量(X, Y)的密度為: 下面求X的邊沿密度:當x e2時 當1 x e2時 , 所以.8. 若X1, X2, , Xn是正態(tài)總體N(m, s2)的一組簡單隨機樣本, 則服從_.解. 獨立正態(tài)分布隨機變量的線性函數(shù)服從正態(tài)分布. , 所以 9. 如果(X, Y)的聯(lián)合分布用下列表格給出, (X, Y)(1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3) P a b且X與Y相互獨立, 則a = _, b = _.解. YX1 2 3121/6 1/9 1/18 1/3 a b 兩式相除得, 解得 , .10. 設(shè)(

4、X, Y)的聯(lián)合分布律為 YX2 1 0 1 3 0 0 則 i. Z = X + Y的分布律 _. ii. V = XY的分布律_. iii. U= X2 + Y2的分布律_.解. X + Y3 2 1 3/2 1/2 1 3 P1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12 XY1 0 1 3/2 5/2 3 5 P3/12 1/12 1/12 1/12 2/12 2/12 2/12 X2 + Y215/4 3 11/4 2 1 5 7 P2/12 1/12 1/12 1/12 3/12 2/12 2/12二. 單項選擇題1. 如下四個函數(shù)哪個是隨機變量X的分布函數(shù)(

5、A) , (B) (C) , (D) 解. (A)不滿足F(+) = 1, 排除(A); (B)不滿足單增, 排除(B); (D)不滿足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案.2. 是隨機變量X的概率分布, 則l, c 一定滿足(A) l 0 (B) c 0 (C) c l 0 (D) c 0, 且 l 0解. 因為, 所以c 0. 而k為偶數(shù), 所以l可以為負. 所以(B)是答案.3. XN(1, 1), 概率密度為j(x), 則(A) (B)(C) (D) 解. 因為E(X) = m = 1, 所以. (C)是答案.4. X, Y相互獨立, 且都服從區(qū)間0,

6、1上的均勻分布, 則服從區(qū)間或區(qū)域上的均勻分布的隨機變量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X2 (D) XY解. X , Y . 所以(X, Y) .所以(A)是答案.5. 設(shè)函數(shù) 則(A) F(x)是隨機變量X的分布函數(shù). (B) 不是分布函數(shù).(C) 離散型分布函數(shù). (D)連續(xù)型分布函數(shù).解. 因為不滿足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函數(shù), (B)是答案.6. 設(shè)X, Y是相互獨立的兩個隨機變量, 它們的分布函數(shù)為, 則Z = max(X, Y)的分布函數(shù)是(A) = max (B) = max(C) = (D) 都不是解. .(C)是答案.7.

7、 設(shè)X, Y是相互獨立的兩個隨機變量, 其分布函數(shù)分別為, 則Z = min(X, Y)的分布函數(shù)是(A) = (B) = (C) = min (D) = 111解. (D)是答案.8. 設(shè)X的密度函數(shù)為, 而 則Y = 2X的概率密度是(A) (B) (C) (D) 解. (B)是答案.9. 設(shè)隨機變量(X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為 , 則的分布密度是(A) (B) (C) (D) 解. 是一維隨機變量, 密度函數(shù)是一元函數(shù), 排除(A), (B). , 所以(D)不是答案. (C)是答案.注: 排除法做單項選擇題是經(jīng)常使用而且很有效的方法. 該題也可直接計算Z的密度:當z 0時當z 0時 =

8、 , (C)是答案.10. 設(shè)兩個相互獨立的隨機變量X和 Y分別服從正態(tài)分布N(0, 1)和N(1, 1), 則下列結(jié)論正確的是(A) PX + Y 0 = 1/2 (B) PX + Y 1 = 1/2 (C) PXY 0 = 1/2 (D) PXY 1 = 1/2解. 因為X和 Y分別服從正態(tài)分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X和 Y相互獨立, 所以 X + Y N(1, 2), XY N(1, 2)于是PX + Y 1 = 1/2, (B)是答案.11. 設(shè)隨機變量X服從指數(shù)分布, 則Y = minX, 2的分布函數(shù)是(A) 是連續(xù)函數(shù) (B) 至少有兩個間斷點 (C) 是階梯函數(shù)

9、(D) 恰好有一個間斷點解. 分布函數(shù): 當y 2時 當0 y 2時 當y 0時 于是 只有y = 2一個間斷點, (D)是答案.三. 計算題1. 某射手有5發(fā)子彈, 射擊一次的命中率為, 如果他命中目標就停止射擊, 不命中就一直到用完5發(fā)子彈, 求所用子彈數(shù)X的分布密度.解. 假設(shè)X表示所用子彈數(shù). X = 1, 2, 3, 4, 5. P(X = i) = P(前i1次不中, 第i次命中) = , i = 1, 2, 3, 4.當i = 5時, 只要前四次不中, 無論第五次中與不中, 都要結(jié)束射擊(因為只有五發(fā)子彈). 所以 P(X = 5) = . 于是分布律為 X1 2 3 4 5 p

10、 2. 設(shè)一批產(chǎn)品中有10件正品, 3件次品, 現(xiàn)一件一件地隨機取出, 分別求出在下列各情形中直到取得正品為止所需次數(shù)X的分布密度.i. 每次取出的產(chǎn)品不放回; ii. 每次取出的產(chǎn)品經(jīng)檢驗后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回, 再抽取.解. 假設(shè)Ai表示第i次取出正品(i = 1, 2, 3, )i. 每次取出的產(chǎn)品不放回X1 2 3 4 p ii. 每次抽取后將原產(chǎn)品放回X1 2 k p , (k = 1, 2, )iii. 每次抽取后總以一個正品放回X1 2 3 4 p 3. 隨機變量X的密度為 , 求: i. 常數(shù)c; ii. X落在內(nèi)的概率.解. 4. 隨

11、機變量X分布密度為i. , ii. 求i., ii的分布函數(shù)F(x).解. i. 當x 1時 當1 x 1時 當x 1時 所以 ii. 當x 0時 當0 x 1時 當1 x 2時 當2 x時 所以 5. 設(shè)測量從某地到某一目標的距離時帶有的隨機誤差X具有分布密度函數(shù) , x +試求: i. 測量誤差的絕對值不超過30的概率; ii. 接連獨立測量三次, 至少有一次誤差的絕對值不超過30的概率.解. 因為, x 0時當 F(x) = 0當 = 當 x 9p時 所以 密度 8. 已知X 服從參數(shù) p = 的01分布在X = 0, X = 1下, 關(guān)于Y的條件分布分別為表1、表2所示 表1 表2 Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0) P(Y|X = 1) 求(X, Y)的聯(lián)合概率分布, 以及在Y 1時, 關(guān)于X的條件分布.解. X的分布律為X0 1p (X, Y)的聯(lián)合分布為 YX 1 2 301 所以Y的分布律為Y1 2 3p 所以 X|Y 10 1p 9. 設(shè)隨機變量X與Y相互獨立, 并在區(qū)間0, 9上服從均勻分布,