高中函數(shù)圖像大全

1、概念：一般地，函數(shù)y=aAx（a>0,且1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R。注意：1指數(shù)函數(shù)對(duì)外形要求嚴(yán)格，前系數(shù)要為1,否則不能為指數(shù)函數(shù)。2. 指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：象煒（2值域；（0.（3過(guò)點(diǎn)（）】）即力=°時(shí)*=I匝（4）化R匕足増函數(shù)<4）<!：RI】是減咽數(shù)規(guī)律：1.當(dāng)兩個(gè)指數(shù)函數(shù)中的a互為倒數(shù)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y,但這兩個(gè)函數(shù)都不具有。2. 當(dāng)a>1時(shí)，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在y軸的右側(cè)，圖像越靠近y軸;當(dāng)Ovav1時(shí)，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在y軸的左側(cè),圖像越靠近y軸。在y軸右邊“底大圖高”；在

2、y軸左邊“底大圖低”。3. 四字口訣：“大增小減”。即：當(dāng)a>1時(shí)，圖像在R上是增函數(shù)；當(dāng)Ovav1時(shí)，圖像在R上是減函數(shù)。4. 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。比較冪式大小的方法：1. 當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；2. 當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時(shí)要注意分類(lèi)討論；3. 當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時(shí)，則需要引入中間量進(jìn)行比較；4. 對(duì)多個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，可用O或1作為中間量進(jìn)行比較底數(shù)的平移：在指數(shù)上加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向左平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向右平移。在f(X)后加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向上平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向下平移。對(duì)數(shù)函數(shù)1. 對(duì)數(shù)函數(shù)的概念由于指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域(-乂，

3、+乂)上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，我們把指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a1)的反函數(shù)稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù)，并記為y=logax(a>0,1).因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax的定義域?yàn)?-8,)，值域?yàn)?0,)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)y=lOgaX的定義域?yàn)?0,+8)，值域?yàn)?-8,+8).2. 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像對(duì)稱(chēng)于直線y=x.據(jù)此即可以畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質(zhì).為了研究對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a1)的性質(zhì)，我們?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)系中作出函數(shù)y=log2X,y=log10X,y=logiox,y=log1x,y=log1x的草圖210由草圖

4、，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以歸納、分析出對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a1)的圖像的特征和性質(zhì).見(jiàn)下表.圖象a>1av1性質(zhì)(1)x>0(2)當(dāng)x=1時(shí)，y=0(3)當(dāng)x>1時(shí)，y>00vxv1時(shí)，yv0(3)當(dāng)x>1時(shí)，yv00vxv1時(shí)，y>0在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)補(bǔ)充性質(zhì)設(shè)y1=logaxy2=logbx其中a>1,b>1(或Ovav10vbv1)當(dāng)x>1時(shí)“底大圖低”即若a>b則0>y2當(dāng)Ovxv1時(shí)“底大圖高”即若a>b,則y1>y2比較對(duì)數(shù)大小的常用方法有:(1)

5、若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷.(2) 若底數(shù)為同一字母，則按對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.(3) 若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進(jìn)行比較若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助1、0、-1等中間量進(jìn)行比較.3.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)比名稱(chēng)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax(a>0,1)y=logax(a>0,1)定義域(-oo,+乂)(0,+o)值域(0,+o)(-OO,+o)函數(shù)值變化情況當(dāng)a>1時(shí)，當(dāng)0vav1時(shí)，當(dāng)a>1時(shí)當(dāng)0vav1時(shí)，單調(diào)性當(dāng)a>1時(shí)，ax是增函數(shù)；當(dāng)Ovav1時(shí)，ax是減函數(shù).當(dāng)a>1時(shí)，logax

6、是增函數(shù)；當(dāng)Ovav1時(shí)，logax是減函數(shù).圖像y=ax的圖像與y=logax的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).冪函數(shù)幕函數(shù)的圖像與性質(zhì)幕函數(shù)yxn隨著n的不同，定義域、值域都會(huì)發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分類(lèi)記憶的方法.熟練掌握yxn，當(dāng)n2,1,-,-,3的圖像和性質(zhì)，列表如下.23從中可以歸納出以下結(jié)論： 它們都過(guò)點(diǎn)1,1，除原點(diǎn)外，任何幕函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交，任何幕函數(shù)圖像都不過(guò)第四象限. a-,-,1,2,3時(shí)，幕函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)且在0,上是增函數(shù).32 a，1,2時(shí)，幕函數(shù)圖像不過(guò)原點(diǎn)且在0,上是減函數(shù).2 任何兩個(gè)幕函數(shù)最多有三個(gè)公共點(diǎn).奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)yp.qJ.y1/r

7、xxOx疋義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第I象限的增減在第I象限單調(diào)遞增在第I象限單調(diào)遞增在第I象限單調(diào)遞增在第I象限單調(diào)遞增在第I象限單調(diào)遞減幕函數(shù)yx（xr,是常數(shù)）的圖像在第一象限的分布規(guī)律是： 所有幕函數(shù)yX（XR是常數(shù)）的圖像都過(guò)點(diǎn)（1,1）；123 當(dāng)11'2時(shí)函數(shù)yx的圖像都過(guò)原點(diǎn)（°，°）； 當(dāng)i時(shí)，yx的的圖像在第一象限是第一象限的平分線（如C2）； 當(dāng)2,3時(shí)，yx的的圖像在第一象限是“凹型”曲線（如c） 當(dāng)2時(shí)，yx的的圖像在第一象限是“凸型”曲線（如c3） 當(dāng)1時(shí)，yX的的圖像不過(guò)原點(diǎn)（0,0），且在第一象限是“下滑”曲線（如C4）當(dāng)&#

8、176;時(shí)，幕函數(shù)yX有下列性質(zhì)：（1）圖象都通過(guò)點(diǎn)（0,0）,（1）；（2）在第一象限內(nèi)都是增函數(shù)；（3）在第一象限內(nèi)，1時(shí)，圖象是向下凸的；01時(shí)，圖象是向上凸的；（4）在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)W）后，圖象向右上方無(wú)限伸展。當(dāng)0時(shí)，幕函數(shù)yX有下列性質(zhì):（1）圖象都通過(guò)點(diǎn)（1,1）；(2) 在第一象限內(nèi)都是減函數(shù)，圖象是向下凸的；(3) 在第一象限內(nèi)，圖象向上與y軸無(wú)限地接近；向右無(wú)限地與x軸無(wú)限地接近；(4) 在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)(1,1)后，越大，圖象下落的速度越快。無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，幕函數(shù)yx的圖象必然經(jīng)過(guò)第一象限，并且一定不經(jīng)過(guò)第四象限。對(duì)號(hào)函數(shù)b函數(shù)yax-(a>0,b>0)叫做對(duì)號(hào)函數(shù)，因其在(0,+)x的圖象似符號(hào)“"”而得名，利用對(duì)號(hào)函數(shù)的圖象及均值不等式，當(dāng)x>0時(shí)，ax-2、-(當(dāng)且僅當(dāng)ax-即x、-時(shí)取等號(hào))，由此xVaxa可得函數(shù)yax-(a>0,b>0,xR+)的性質(zhì)：x當(dāng)x、匡時(shí)，函數(shù)yax-(a>0,b>0,xR+)有最小值2怛,Yaxba特別地，當(dāng)a=b=1時(shí)函數(shù)有最小值2。函數(shù)yax-(a>0,b>0)在x區(qū)間(0,b)上是減函數(shù)，在區(qū)間(.b,+乂)上是增函數(shù)。aa因?yàn)楹瘮?shù)，->0)是奇函數(shù)，所以可得函數(shù)yax匕xx(a&