高中不等式例題

1、不等式的性質(zhì)：不等式大小比較的常用方法：1 作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果;2. 作商（常用于分數(shù)指數(shù)幕的代數(shù)式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化;6利用函數(shù)的單調(diào)性；7.尋找中間量或放縮法本的方法。三.重要不等式1.（1）若a,bR，則a2b22ab若a,b；8.圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基R，則ab（當且僅當ab時取“二”）2.(1)若a,bR*，則ab22aba+ba+b_ab三V若a,bR*，則ab2.ab（當且僅當ab時取“二”）2若a,bR*，則ab已上（當且僅當ab時取“=”）213. 若x0，則x-2（當且僅當x1時取“=”

2、）；x若x0,則x丄2（當且僅當x1時取“二”）x若ab0，則ab2（當且僅當ab時取“二”）ba.2.24. 若a,bR，則（S）2a丄（當且僅當ab時取“=”）22注：（1）當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”.（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用.應用一：求最值11例1:求下列函數(shù)的值域（1）y=3x2+尹（2）y=x+-2x解題技巧：技巧一：湊項例1：已知x當1,即t=：宀時,y2t4，求函數(shù)y4x2

3、1的最大值。44-5評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1.當時，求yx（82x）的最大值。技巧三：分離例3求y*x1）的值域。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x+1,化簡原式在分離求最值(t1)27(t1)+10t25t4y=ttt59（當t=2即x=1時取“二”號）技巧五：注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結(jié)合函數(shù)f（x）xa的單x調(diào)性。例：求函數(shù)y-x=的值域。解：令.x24t（t2)，則y11嚴ti（t2）1因t0,t-1，但t1因為yt-在區(qū)間t1不在區(qū)間2,故等號不成立，考慮單調(diào)性。1,單調(diào)

4、遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故y所以，所求函數(shù)的值域為2已知0x1,求函數(shù)yx(1x)的最大值.；3.02，求函數(shù)yx(23x)的最大值.3條件求最值1若實數(shù)滿足ab2，則3a3b的最小值是解:分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且3a3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值,3a和3b都是正數(shù)，3a3b23a3b2.3ab6當3a3b時等號成立，由ab2及3a3b得ab1即當ab1時，3a3b的最小值是6.11log4xlog4y2，求的最小值.并求x,y的值xy技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性,變式：若否則就會出錯。192:已知x0,y0

5、,且1，求xy的最小值。xy應用二：利用基本不等式證明不等式1.已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2b2c2abbcca1)正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc111例6:已知a、b、cR，且abc1。求證：一1一1一18abc分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“11.山涯，可由此變形入手。aaaa2”連乘，又解：Qa、b、cR，abc1。亠1a上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得11遼。同理acaaabb111111abc2bc2ac遼8。當且僅當abc2時取等號。應用三：基本不等式與恒成立問題例：已知x0,y

6、1，求使不等式m恒成立的實數(shù)m的取值范圍。解：令k,x0,yxykx9x9yky1.巴丄姿1kkxky1巴k應用四：均值定理在比較大小中的應用：11,P,IgaIgb,Q-(IgaIgb),R例:。k16，m四.1.一兒,16ig(ab)/，則P,Q,R的大小關(guān)系是Iga0,Igb0Q1(Iga2Igb)IgaIgbp.zabg二)不等式的解法.次不等式的解法。2.元二次不等式的解法Ig、ab3gabQ二RQ23.簡單的一元高次不等式的解法：個因式中最高次項的系數(shù)為正次通過每一點畫曲線；并注意不等式的解集。如(1)解不等式(x1)(x2)24.(1)分解成若干個一次因式的積，并使每-從最大根的

7、右上方依標根法：其步驟是：;(2)將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，奇穿過偶彈回；(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號變化規(guī)律，寫出不等式(x2)、X22x30的解集是設函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R,且f(x)0的解集為X(3)，則不等式f(x)gg(x)0的解集為(4)要使?jié)M足關(guān)于24x30和x6x(答：x|x1或x2)；(答：x|x3或x1)；|1x2，g(x)0的解集(答：(,1)U2：,)；x的不等式2x29xa0(解集非空)的每一個x的值至少滿足不等式80中的一個，則實數(shù)a的取值范圍是.(答：7,81)8分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分，最后用標根法

8、求解。解分式不等式時，一如分式不等式的解法：解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母(1)解不等式25Xx2x(2)關(guān)于x的不等式axb0的解集為(1,(答:(1,1)U(2,3);)，貝U關(guān)于x的不等式ab0的解集為x2(答:(,1)(2,)5.指數(shù)和對數(shù)不等式。6.絕對值不等式的解法：(1) 含絕對值的不等式|x|va與|x|a的解集(2) |ax+b|wc(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法 |ax+b|c-cax+bc或ax+bc(c0)和|x-a|+|x-b|0)型不等式的解法方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)

9、合的思想；方法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。方法四：兩邊平方。例1:解下列不等式：.x22xx(2).-3-x或x2-2x3或x0或0x1原不等式的解集為x|x0或0x3I解法2(數(shù)形結(jié)合法)作出示意圖，易觀察原不等式的解集為x|x0或0x3I第(1)題圖第(2)題圖0a-*kLk1r!1象,易知解集為(一，0)1，+)【解析】：此題若直接求解分式不等式組，略顯復雜，且容易解答錯誤；若能結(jié)合反比例函數(shù)11圖象，則解集為x|x丄或x-，結(jié)果一目了然。2 3例2：解不等式：|x|-x丄【解析】作出函數(shù)f(x)=|

10、x|和函數(shù)g(x)=x的圖3例3:解不等式.|x1|x1|-2【解法1】令g(x)|x1|x1|2(x2x(12(x1)1)x1)令h(x)32，分別作出函數(shù)g(x)和h(x)34,【解法2】原不等式等價于的圖象,知原不等式的解集為|x1|3lx1lPHg(x)|x1|,h(x)|x1|令分別作出函數(shù)g(x)和h(x)的圖象，易求出g(x)和h(x)的圖象的交點坐標為所以不等式|x11|x1|33,)2的解集為43|x1|x1|-【解法3】由2的幾何意義可設F1(-l,0),F2(l,0),M(x,y),3pMF1MF2若2，可知M的軌跡是以F1、F2為焦點的雙曲線的右支，其中右頂點為(,0)

11、,3A由雙曲線的圖象和Ix+1|-Ix-1I夕知X7含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎，分類討論是關(guān)鍵.”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應求并集如(1) 若loga21，則a的取值范圍是(答：a1或0a-);3 32(2) 解不等式-ax(aR)ax111(答：a0時，x|x0;a0時，x|x或x0;a0時，x|x0或x0)aa提醒：(1)解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；(2)不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值。如關(guān)于x的不

12、等式axb0的解集為(,1)，則不等式區(qū)20的解集為(答：(一1,2)axb例2.(1)求函數(shù)y|x3|x1的最大和最小值；設aR，函數(shù)fxax對于任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是n（答：2和;（5）若不等式x22mx2m10對0x1的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍.xa（1x1）.若a1，求fx|的最大值例3.兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩個地點分別位于公路路牌的第10km和第20km處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū)，每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次.要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應該建于何處七證明不等式的方法：比較法、分

13、析法、綜合法和放縮法（比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。）.常用的放縮技巧有:111112n(n1)nn(n1)n1n(3)已知a,b,x,yR，且-1,xy，求證:ab111k.k1.k2kk1.klx.bc，求證:a2bb2c2caab2bc2R，求證：a2b2b2c222caabc(ab.k如(1)已知a(2)已知a,b,c12cac)；lgalgblgc；（4）若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：lg_blg_Clg_a222abc(abc);若nN*，求證：,（n1）21已知|a|b|，求證：|a|b|ab|(5) 已知

14、a,b,cR，求證：a2b2b2c2c2a2(n1)一n21n；|a|b|；|ab|23n(8)求證：12-2L$2。八不等式的恒成立，能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式（常應用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1）.恒成立問題若不等式fxA在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上fxminA若不等式fxB在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上fxBmax如（1）設實數(shù)x,y滿足x2（y1）21，當xyc0時，c的取值范圍是（答：丘1,）;(2)不等式x4a對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍(3)若不等式2x1（答：am（x21）對滿足m2的所有m都成立，則x的取值范圍143（答：（11)；(4)若不等式（1）na2x若不等式1logax,對x(0,)2恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是此題直接求解無從著手，結(jié)合函數(shù)yJ21yx及y=logaxft(0,-)上的圖象2loga1/21/4；易知，a只需滿足條件：M2、11111loga-即可a一,1)0vav1,且24從而解得162) .能成立問題若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式fxA成立，則等價于在區(qū)間D上fxA;max1若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式fxB成立，則等價于在區(qū)間D