高中數(shù)學不等式知識點總結(選修4-5)

1、選修4-5知識點1不等式的基本性質 （對稱性）ab：=b-a （傳遞性）ab,bac （可加性）ab=acbc（同向可加性）a.b,c=acbd（異向可減性）ab，c.d=a-cb-d （可積性）ab,cQ=ac.bca.b,c：0二ac:bc （同向正數(shù)可乘性）a.b.0,cd.0=-ac.bd（異向正數(shù)可除性）ab0,0:c:d二a£cd（平方法則）ab0=anbn（N,且n1）（開方法則）a>b苗>Vb（nEN,且n>1）111ab0;a：b：0二（倒數(shù)法則）aba2、幾個重要不等式22ab-2aba，bR,（當且僅當ab-a2b2號）變形公式:（基本不等式）

2、abR,（當且僅當a=b時取到等號）變形公式:ab-¥2，要注意滿足三個條件“一正、二定、用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大）三相等”abC3贏（三個正數(shù)的算術一幾何平均不等式）3-（a、bcR）（當且僅當222 abc_abbccaa,b二R(當且僅當a=b=c時取到等號).333 a3b3c_3abc(a0,b0,c0)(當且僅當a=b=c時取到等號).ba若ab0,則-_2 ab(當僅當a=b時取等號)ba右ab：0,則:2ab(當僅當a=b時取等號)bbmana1： aa+mb+nb,(其中aRb>0,mO,na°)規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加

3、則變小. 當a.0時，x.a：=x2.a2：=x”-a或xa;x<a呂x2<a2二-acxca. 絕對值三角不等式a_b蘭a=b蘭a+b.3、幾個著名不等式¥蘭后蘭整-蘭Jo云一+ 平均不等式：ab22,(abR，當且僅當a=b時取"="號).(即調和平均-幾何平均-算術平均-平方平均).變形公式：ab嚴仁士a2+b24I2丿2 幕平均不等式：ai2a22'.a*2(aia?an)2.n 二維形式的三角不等式：、xjy；M22y22-、(xi-X2)2(%-y?)2(xiyzmR). 二維形式的柯西不等式：22222_(a+b)(c+d)3(a

4、c+bd)(a,b,c,R).當且僅當ad=be時，等號成立. 三維形式的柯西不等式：2222222(Qa?a3)(bb2bs)_(aibazdasbs). 一般形式的柯西不等式：2222222(aia.-an)(bb2.bn)-(abazbanbn). 向量形式的柯西不等式:是兩個向量,當且僅當是零向量，或存在實數(shù)k，使時, 排序不等式（排序原理）設ai蘭a2蘭蘭an,bi蘭b2蘭蘭bn為兩組實數(shù).C1,C2,.,Cn是b1,b2,.,bn的任一排列，則aibna2bu.and乞a2$.anCaQa2b?.anbn(反序和豈亂序和<順序和），當且僅當ai=吐二二冇或b=b2=.=0時，

5、反序和等于順序和 琴生不等式：（特例：凸函數(shù)、凹函數(shù)）若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f（X），對于定義域中任意兩點X公2（人=X2）,有f（X十X2）f（x）+f（X2）或f（Xi+X2）>f（Xi）+f（X2）（22或（2丿-2.則稱f（X）為凸（或凹）函數(shù)4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數(shù)單調性法，數(shù)學歸納法等常見不等式的放縮方法：舍去或加上一些項，如(a¥23+4(a*2將分子或分母放大（縮?。?，1 iii2 ,2如kk（k-i）kk（ki）i22“k、kkJkkJk=i(kN*,ki)

6、5、一元二次不等式的解法2求一元二次不等式aXbXc°（或:°）2(a=0"=b-4ac0)解集的步驟:一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù)二判：判斷對應方程的根.三求：求對應方程的根.四畫：畫出對應函數(shù)的圖象五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集規(guī)律：當二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊6、高次不等式的解法：穿根法.，結合原式不等號的方向,分解因式，把根標在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿(奇穿偶切)寫出不等式的解集7、分式不等式的解法：先移項通分標準化，則f(x)0f(x)g(x)0g(x)f(x)cf(x)g(x)0g(x)g(x)=0(“：或乞”時同理)規(guī)律：把分式不等

7、式等價轉化為整式不等式求解8無理不等式的解法：轉化為有理不等式求解.f(x)a(a0)：=f(x)一0f(x)a2f(x):a(a0)：=f(x)一02.f(x)：a.f(x)g(x)uf(x)0g(x)_O2f(x)g(x)或g;：)：0f(x“0,f(x)：g(x)=g(x)0I2f(x)訂g(x)2!f(x0,1IJf(x)>Jg(x)二g(x)Z0/(x>g(x)規(guī)律：把無理不等式等價轉化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解9、指數(shù)不等式的解法：當a>1時,af(x)Aag(x)=f(x)>g(x)f(x)g(x)、彳、當0cav1時，a>af(x

8、)cg(x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質轉化10、對數(shù)不等式的解法f(x)0lOgaf(X)-lOgag(X)：=g(x)0當a>1時，lf(x)>g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)ug(x).0l當0ca<1時，lf(x)vg(x)規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質轉化11、含絕對值不等式的解法：a(ax0)a=定義法：a(a:0)平方法：f(x)|g(x)二f2(x)乞g2(x).同解變形法，其同解定理有： xEa=aExEa(aO); x£a二xa或xWa(a£0); |f(x)|蘭g(x)二g(x)蘭f(x)蘭g(x)(g(x)色0) f(x)_

9、g(x)：=f(x)_g(x)或f(x)乞-g(x)(g(x)_0)規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號.12、含有兩個(或兩個以上)絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集13、含參數(shù)的不等式的解法2解形如axbxc0且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論的標準有:討論a與0的大??；討論二與0的大??；討論兩根的大小.14、恒成立問題2不等式axbxc0的解集是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是： 當a=0時=b=0,c0;a0=I 當a=0時0-2不等式axbxc:0的解集是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是： 當a=0時二b=0,c：0;-la:：:0 當a=0時0.f(X)：a恒成立：=f(x)max：a;f(X)一a恒成立=f(X)max-a；f(x)a恒成立：=f(X)mina；f(X)a恒成立=f(x)mina-15、線性規(guī)劃問