黑龍江省海林市朝鮮族中學(xué)高中人教A版數(shù)學(xué)選修1-1導(dǎo)學(xué)案：3-3-2函數(shù)的極值

1、1.3.2函數(shù)的極值與最值【課標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解函數(shù)極值的概念，會(huì)從幾何的角度直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并會(huì)靈活應(yīng)用.2 掌握函數(shù)極值的判定及求法.3 掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件.4 增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思維意識(shí)，提高運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的基本思想去分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.目標(biāo)解讀1 重點(diǎn)是函數(shù)極值的判定與求法.2 難點(diǎn)是函數(shù)極值的綜合應(yīng)用.【情境引入】“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，說(shuō)的是廬山的高低起伏，錯(cuò)落有致在群山之中，各個(gè)山峰的頂端，雖然不一定是群山的最高處，但它卻是其附近的最高點(diǎn)那么，在數(shù)學(xué)上，這種現(xiàn)象如何來(lái)刻畫(huà)呢？【課前預(yù)習(xí)】1. 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)a,b及其附近有定義，如果，函數(shù)y

2、=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f'(a)=；而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f'(x)，右側(cè)f'(x).類似地，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f'(b)=；而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f'(x)，右側(cè)f'(x)我們把點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的;點(diǎn)b叫做函數(shù)y=f(x)的,f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為，極小值和極大值統(tǒng)稱為2. 求函數(shù)y=f(x)的極值的方法是:(1) 解方程.當(dāng)f'(xO)=0時(shí)：

3、如果在xO附近的左側(cè)，右側(cè)，那么f(xO)是極大值； 如果在xO附近的左側(cè)，右側(cè)，那么f(xO)是極小值.3. 般地，求函數(shù)y=f(x)在a,b上的最大值和最小值的步驟如下：；(2) .【題型探究】【例1】求下列函數(shù)的極值：32x(1)f(x)=X312x;(2)f(x)=帛-2.【分析】按照求極值的基本方法，首先從方程f'(x)=0入手，求出在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)所有可能的極值點(diǎn)，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點(diǎn)處是否取得極值.【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=3/12=3(x+2)(x2).令f'(x)=0，得x=2或x=2.當(dāng)x變化時(shí)，f'

4、(x),f(x)變化狀態(tài)如下表:x(m，2)2(2,2)2(2,+8)f'(x)+0一0+f(x)極大值f(2)=16極小值f(2)=16從表中可以看出，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極大值，且f(2)=(2)312X(2)=16.當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極小值，且f(2)=2312X2=16.(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽.222(x+14x2(x1x+1)f'(x)=22=22.(x2+1J(x2+仃令f'(x)=0，得x=1或x=1.x(汽一-1)1(1,1)1(1，+8)f'(x)一0+0一f(x)極小值3極大值1一2由上表可以看出，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有極小值，且f(一1)=2一2

5、=一3,2當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有極大值，且f(1)=2=1.【評(píng)析】理解極值的定義是正確解決本題的關(guān)鍵點(diǎn).應(yīng)明確f'(x)=0只是函數(shù)f(x)0在x=x處取得極值的必要條件，必須加上該點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，方能判定在x處取00得極值.【例2】設(shè)函數(shù)f(x)=2x33(a+1)x2+6ax+8,其中aR.(1)若f(x)在x=3處取得極值，求常數(shù)a的值；若f(x)在(一a,0)上為增函數(shù)，求a的取值范圍.【分析】由f'(3)=0得關(guān)于a的方程求出a的值，但需要檢驗(yàn)；(2)先求f(x)的增區(qū)間與(一a,0)進(jìn)行分析討論得出a的取值范圍.2【解析】(1)f'(x)=6x6(a+

6、1)x+6a=6(xa)(x1).因?yàn)閒(x)在x=3處取得極值，所以f'(3)=6(3a)(31)=0，解得a=3.經(jīng)檢驗(yàn)知當(dāng)a=3時(shí)，x=3為f(x)的極值點(diǎn).(2)令f(x)=6(xa)(x1)=0，得x=a，x=1.12當(dāng)a<1時(shí)，若x(8,a)U(1,+)，則f'(x)>0,所以f(x)在(8,a)和(1,+8)上為增函數(shù).故當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在(8,0)上為增函數(shù).當(dāng)a>1時(shí)，若x(8,1)U(a,+8),則f'(x)>0,所以f(x)在(8,1)和(a,+8)上為增函數(shù)，從而f(x)在(8,0)上也為增函數(shù).綜上所

7、述，當(dāng)a0,+8)時(shí)，f(x)在(8,0)上為增函數(shù).【評(píng)析】本題的第問(wèn)直接求f'(x)，令f'(x)=0,可求解第問(wèn)利用分類討論，將a與1比較作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，判斷在(8,0)上，f(x)>0是否成立，從而確定a的取值范圍，本題主要考查二次函數(shù)的極值問(wèn)題和利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)的單調(diào)性.【例3】已知aR,討論函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+a+1)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).【分析】本題是一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合運(yùn)用問(wèn)題，首先導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算需過(guò)關(guān)，另外討論時(shí)分類的標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵.x2【解析】f'(x)=ex+(a+2)x+(2a+1),2令fz(x)=0，得x+(a+2)x+(2a+1)=0.2

8、(1)當(dāng)=a4a>0,即a<0或a>4時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根x,x，不妨設(shè)x<x,1212x于是f(x)=e(xx)(xx),從而有下表：12x(8,Xi)Xi(Xi,x2)X2(X2,+8)f'(x)+0一0+f(x)極大值極小值x即此時(shí)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn).(2)當(dāng)=0,即卩a=0或a=4時(shí)，方程有兩個(gè)相冋頭根xx，于是f(x)e(x122x).1故當(dāng)x>x時(shí)，f'x)>0;1當(dāng)x<x時(shí)，f(x)>0,f(x)在R上為增函數(shù)，此時(shí)f(x)無(wú)極值.1(3)當(dāng)A<0時(shí)，即0<a<4時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，f'(

9、x)>0恒成立，所以f(x)在R上是增函數(shù)，此時(shí)f(x)無(wú)極值.綜上，a>4或a<0時(shí)，f(x)有2個(gè)極值點(diǎn).0=a詔時(shí)，f(x)無(wú)極值點(diǎn).【評(píng)析】本題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，解不等式，恒成立等基本知識(shí)，考查綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，及推理能力以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.【例4】求下列函數(shù)的最值:12(1)f(x)=sin2xxf(x)=ln(1+x)-；x2,x0,2.【分析】函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，必有最大值和最小值，在求a,b上的最值時(shí)，只需求出f(x)在(a,b)內(nèi)的極值，然后與端點(diǎn)處函數(shù)值進(jìn)行比較即可.【解析】(l)f'(x)=2c

10、os2x1,1令f'(x)=0,得cos2x=TtTt又x2,2,2x罵n,nn/2x=±3，x=±6.函數(shù)f(x)在n，n上的兩個(gè)極值分別為i'n込丄nl6.=2+6.又f(x)在區(qū)間端點(diǎn)的取值為2=-2,比較以上函數(shù)值可得nnf(X)max=,f(X)min=,11人11(2)f(X)=2X,令一2X=0,X+12x+12化簡(jiǎn)為X+X2=0,解得X1=2(舍去)，X2=1.當(dāng)0wx<1時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1<xw2時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.1所以f(1)=ln24為函數(shù)f(x)的極大

11、值.又f(0)=0,f(2)=ln31>0,f(1)>f(2).121所以f(0)=0為函數(shù)f(x)=ln(1+x)4x在0,2上的最小值，f(1)=ln24為函數(shù)在0,2上的最大值.【評(píng)析】不論求函數(shù)的極值，還是最值，都要先看清定義域，當(dāng)定義域沒(méi)有給出時(shí)，首先求定義域.【課堂小結(jié)】根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)極值的定義，要弄清以下幾點(diǎn)：1. 極大（?。┲滴幢厥亲畲螅ㄐ。┲?，可以有多個(gè)數(shù)值不同的極大（?。┲?；2. 極大（?。┲凳蔷植砍浞中〉念I(lǐng)域內(nèi)的最大（小）值；3. 極大（?。┲抵荒茉趨^(qū)間的內(nèi)點(diǎn)取得，常數(shù)函數(shù)沒(méi)有極大值，也沒(méi)有極小值；4. f'（X0）=0只是可導(dǎo)函數(shù)f（x）在X0取得極值的必要條件，不是充分條件.【當(dāng)堂檢測(cè)】1已知函數(shù)y=X23x+2|,則（）A. y有極小值但無(wú)極大值B. y有極小值0，但無(wú)極大值1C. y