黑龍江省海林市朝鮮族中學高中人教A版數學選修1-1導學案：3.3.3導數的應用

1、1.3.3導數的應用學習目標1 借助函數圖象，直觀地理解函數的最大值和最小值的概念.f(x)必2 弄清函數最大值、最小值與極大值、極小值的區(qū)別與聯系，理解和熟悉函數有最大值和最小值的充分條件.3會用導數求在給定區(qū)間上函數的最大值、最小值.【情境引入】當你喝完一罐飲料時，你是否留意過手中的易拉罐？你是否思考過：容積一定的圓柱體易拉罐，怎樣設計半徑與高之比能使用料最少？在我們的生活中處處存在數學知識，只要留意，你會發(fā)現經常遇到的如何才能使“用料最省”“效率最高”“利潤最大”等問題，在數學上就是求函數的最大值、最小值問題.那么，我們如何應用數學知識求函數的最大(小)值呢？【新知探究】1. 函數f(x

2、)在閉區(qū)間a,b上的最值如果在區(qū)間a,b上函數y=f(x)的圖象是一條連續(xù)的曲線，則該函數在a,b上一定能夠取得和，并且函數的最值必在或取得.2. 求函數y=f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟(1)求函數y=f(x)在(a,b)內的;將函數y=f(x)的各極值與的函數值f(a),f(b)比較，其中最大的一個是，最小的一個是【例題講解】例1已知函數f(x)=ax36ax2+b,x1,2的最大值為3,最小值為29,求a,b的值.【思路啟迪】先求出函數f(x)在1,2上的極值點，然后與兩個端點的函數值進行比較，建立關于a,b的一方程組，從而求出a,b的值.【解】由題設知0,否則f(x)=b為常

3、函數，與題設矛盾.取導得f'(x)=3ax212ax=3ax(x4)，令f'(x)=0,得X1=0,=4(舍去).(1)當a>0時，列表如下:x1(1,0)0(0,2)2f'(x)+0一f(x)7a+bAb上16a+b由表可知，當x=0時，f(x)取極大值，也就是函數在1,2上的最大值，f(0)=3,即b=3.又f(1)=7a+3,f(2)=16a+3<f(1), f(2)=16a+3=29,a=2.(2)當a<0時，同理可得，當x=0時，f(x)取極小值，也就是函數在(一1,2上的最小值， f(0)=29,即b=29.又f(1)=7a29,f(2)=

4、16a29>f(1), f(2)=16a29=3,.a=2.綜上可得，a=2,b=3或a=2,b=29.點評:(1)已知函數在閉區(qū)間上的最值求其中的參數值時，仍然可以按照求函數最值的方法步驟進行求解，最后建立方程(組)求得參數的值.(2)含參數問題一要注意分類討論，本題在求解時，依據條件需要對a進行分類討論，以便確定函數f(x)在1,2上的最大值和最小值.例2已知函數f(x)=(x+1)lnxx+1,若xf'(x)<x2+ax+1恒成立，求a的取值范圍.【思路啟迪】求出導函數f'(x),轉化為函數的最值問題.x+11【解】f(x)=+lnx1=Inx+-，xf

5、9;(x)=xlnx+1,xx故xf'(x)<x2+ax+1等價于lnxx<a.1令g(x)=lnxx,貝Ug'(x)=11,令g'(x)=0,得x=1.x當0<x<1時，g'(x)>0;當x>1時，g'(x)<0，故x=1是g(x)的極大值點，且是最大值點，貝yg(x)Wg(1)=1.綜上，a的取值范圍是1,+).點評：由不等式恒成立求參的問題，可采用分離參數法，即將參數移至不等式的一端，化成m>f(x)或mWf(x)的形式，然后利用導數知識求出函數f(x)的最值，則由結論mf(x)max或mWf(x)m

6、in即可一求出參數m的取值范圍.例3已知函數f(x)=x3x2+bx+c.(1) 若f(x)有極值，求b的取值范圍；(2) 當f(x)在x=1處取得極值時，證明對1,2內的任意兩個值X1,X2，都有|f(X”f(X2)|<72'解：(1)/f(x)=X31x+bx+c,f'(x)=3x2x+b,要使f(x)有極值,則3x2x+b=0有實數解，從而=112b>0,1bw*而當b<丄12'1b=右時，函數在R上單調遞增，不符合題意.證明：Tf(x)在x=1處取得極值,f'(1)=31+b=2+b=0.b=2.f(x)=3xx2.令f'(x)

7、=0,2解得x=1或x=2由上可知，當3x=1時，f(x)有極小值2+c；2當x=2時，22f(x)有極大值+c.2213又f(2)=2+c>27+c,f(1)=2+c>2+C.3x1,2時，f(x)的最小值為3+c,最大值為2+c.-|f(x1)f(X2)|賢|maxf(x)min|=故結論成立.【課堂小結】1. 函數的最大值與最小值：在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數f(x)在a,b上必有最大值與最小值；但在開區(qū)間(a,b)內連續(xù)的函數f(x)不一定有最大值與最小值.2. 設函數f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內可導，求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步驟如下：(1)求f(x)

8、在(a,b)內的極值；將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，確定f(x)的最大值與最小值.當堂檢測1.設f(x)是a,b上的連續(xù)函數，且在(a,b)內可導，則下列結論中正確的是()A.f(x)的極值點一定是最值點B. f(x)的最值點一定是極值點C. f(x)在此區(qū)間上可能沒有極值點正確.D. f(x)在此區(qū)間上可能沒有最值點解析：根據函數的極值與最值的概念判斷知選項A,B,D都不正確，只有選項C2.函數f(x)=1x32x2在區(qū)間1,5上()A.有最大值0,無最小值32B.有最大值0，有最小值C.有最小值-32，無最大值D.既無最大值也無最小值解析：fzx)=x24x=x(x4),令f'x)=0,得x=0或x=4,f(0)=0,f(4_)=32,f(_1)=7,f(5)=25,f(x)max=f(0)=0,f(x)min=f(4)=32.答案：B3. 函數f(x)=x+2sinx在區(qū)間n,0上的最小值是()nA.B.2層3d.2n.3解析：f'(x)=1+2cosx,令f'(x)=0得x=宇，又3f(n=nf(甘=臺23,f(0)=0,故最小值為一2n3.答案：D4. 函數