2022年北京市房山區(qū)高考第一次模擬數(shù)學(xué)試卷及答案解析

1、2022年北京市房山區(qū)高考第一次模擬數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的）1. (4 分)已知集合 4=%62|?<4, B= - 1, 2,則 AU8=(A. - 1B. - 1, 2|C. -1,0, 1,2D. - 2, -1,0, 1,212. (4分)函數(shù)的定義域?yàn)?)如(x+1)A. (0, +8)B. 0, +8)C. ( - 1, +8) D. - 1, +8)3. (4分)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=-3 (i為虛數(shù)單位)的命題，其中假命題為()A. |z|=V2B. ?=2/C. z的共知復(fù)數(shù)為1+iD. z

2、的虛部為-14. （4分）函數(shù)/（x） =/nx+4x- 13的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（A. (1, 2)B. (2, 3)5. (4 分)已知 a=log23, b= (-) 3, c=logA. a>b>cB. b>a>c6.(4分)已知等差數(shù)列為的前項(xiàng)和為是()A. 679 = 0C. d<0C. (3, 4)D. (4, 5)13,則a, b, c的大小關(guān)系為()2C. c>b>aD. c>a>b且S7>S8, S8 = S9S10，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的B. Si5>S14D. S8與S9均為S的最小值7. （4分）函數(shù)/（x）

3、=cosx - cos2x,試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值（）A.奇函數(shù)，最大值為2B.偶函數(shù)，最大值為299C.奇函數(shù)，最大值為三D.偶函數(shù)，最大值為a88 T_>TtT-»T8. （4分）已知非零平面向量a, b,則Ta + ）=|a|+|b|"是"存在非零實(shí)數(shù)入，使b =Xan的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件9. （4分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB/CD, ADA.DC, E是CD的中點(diǎn)0c=1, ABT ->=2,則氏4=()A. V5B. -V5C. 1D. - 110. （4分）袋子里

4、有編號(hào)為2, 3, 4, 5, 6的五個(gè)球，某位教師從袋中任取兩個(gè)不同的球.教 師把所取兩球編號(hào)的和只告訴甲，其乘積只告訴乙，再讓甲、乙分別推斷這兩個(gè)球的編 號(hào).甲說：“我無法確定乙說：“我也無法確定甲聽完乙的回答以后，甲說：“我現(xiàn)在可以確定兩個(gè)球的編號(hào)了根據(jù)以上信息，你可以推斷出抽取的兩球中（）A. 一定有3號(hào)球B, 一定沒有3號(hào)球C.可能有5號(hào)球D.可能有6號(hào)球二、填空題（共5道小題，每題5分，共25分.把答案填在題中橫線上.）11. （5分）若角0的終邊過點(diǎn)P （3. - 4）.貝！J sin （。-丑）=.12. （5分）設(shè)斯為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為S, «=2, S2-3ai

5、=0.則小的通項(xiàng)公式 是 ; 5”+即48,則的最小值為 .13. （5分）函數(shù)/'（x） = sin（2x +苧）的最小正周期為；若函數(shù)f （x）在區(qū)間（0, a） 上單調(diào)遞增，則a的最大值為.x + a, - 2 < x <0o<x<i14. （5分）設(shè)函數(shù)/（x）的定義域?yàn)?, 1,能說明若函數(shù)f（x）在0, 1上的最大值為f （1）,則函數(shù)f（x）在0, 1上單調(diào)遞增”為假命題的一個(gè)函數(shù)是 .15. （5分）設(shè)函數(shù)/（x） （xCR）的周期是3,當(dāng)在-2, 1）時(shí)，/（%）=-13ay（萬）=若f（x）有最小值，且無最大值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是三、解答題

6、(共6道小題，85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16. (14 分)已知函數(shù)/ (x) =2cos2x+2V3sinxcosx - 1.71(I)求/(一)的值； 6TC(H)求函數(shù)/(x)在區(qū)間與，n上的最小值和最大值.17. (14分)如圖，在四棱柱A8CD-48C1。中，AAi_L平面A8CD,底面A8CD滿足AOBC,且 A5=AO=AAi=2, BD=DC=2y/2.(I )求證：48_1_平面4。14；(II)求直線48與平面& CO所成角的正弦值.18. (14分)已知8為等差數(shù)列斯的前項(xiàng)和，且m = l, S3=6.(I )求數(shù)列即的通項(xiàng)公式：(II)設(shè)-

7、= 2%, 及為數(shù)列岳的前項(xiàng)和,是否存在mN*,使得7=S2o+44?若存 在，求出，的值；若不存在，說明理由.19. (14分)在ABC中，若a、b、c分別是內(nèi)角4、B、C的對(duì)邊，已知ABC同時(shí)滿足 下列4個(gè)條件中的3個(gè)： sin ? = 4；a2+Z>2 - c2+a/>=0； b = 25/3; c=3.(1)請(qǐng)指出這3個(gè)條件，并說明理由；(2)求 sinA.20. (15 分)已知函數(shù)f(x) - x, g (x) =2x - 3.(I )求曲線y=f (x)在點(diǎn)(1, /(D)處的切線方程；(II)求函數(shù)f (x)在0, 2上的最大值；(III)求證：存在唯一的xo，使得

8、了 (xo)=g (xo).2022年北京市房山區(qū)高考第一次模擬數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的)1. (4 分)已知集合4 = 2"<4, B=- , 2,則 AU8=()A. - 1B. - 1, 2C. -1,0, 1,2D. - 2, - 1, 0, 1, 2)【解答】解：集合 A = k6Z*<4 = - 1, 0, 1, B= - 1, 2),.AUB= - 1, 0, 1. 2).故選：c.2. (4分)函數(shù)尸 1 的定義域?yàn)?)加 0+1)A. (0, +8)B.

9、0, +oo)C. ( - 1, +8) D. - 1, +8)【解答】解：由題意得：既+1)>°,解得>。，lx + 1 >0故選：A.3. (4分)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=-1 (i為虛數(shù)單位)的命題，其中假命題為()A. |z|= V2B. ?=2jC. z的共輾復(fù)數(shù)為1+iD. z的虛部為-1【解答】解：復(fù)數(shù)z= = 72L T - 十 I (一1 十 1)(一 J.-1)所以|z|=應(yīng)正確；?= ( - 1 - j) 2=+2i+i2=2i正確，z的共枕復(fù)數(shù)為：-1+i,所以C 不正確；z的虛部為-1,正確；故選：C.4. (4分)函數(shù)/(x) =/nr+4x

10、- 13的零點(diǎn)一定位于區(qū)間()A. (1, 2)B. (2, 3)C. (3, 4)D. (4, 5)【解答】解：函數(shù)/(x) =ltvc+4x- 13, ：.f (2) =ln2 - 5<0, f (3) =ln3 - l>0, 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)/(x) =/nx+4x- 13的零點(diǎn)一定位于區(qū)間為(2, 3), 故選：B.5. （4 分）己知。=log23, b= c=log 13,則 a, b, c 的大小關(guān)系為（A. a>b>cB. h>a>cC. c>b>aD c>a>b【解答】解：a=log23>log2

11、2=l,c=log 13V0, 2所以a>b>c,故選：A.6. (4分)已知等差數(shù)列斯的前項(xiàng)和為S，且S7>S8, Sg=S9Vsio,則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A. 9 = 0B. S15>S4C. d<0D. S8與S9均為S”的最小值【解答】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列”, S7>S8, S8 = S9<S1(),所以的-58= -。8>0，S9 - 58 = 49=0，S10 - S9 = a0>0，即“8<0，09=0, aio>o, d>0,故A正確，C錯(cuò)誤；S15-S14 = «15>O,即 S15>

12、S14,故B正確；由“8<0，49 =。，。10>0可知S8與S9均為Si的最小值，。正確.故選：C.7. (4分)函數(shù)/(x) =cosx - cos2x,試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值()A.奇函數(shù)，最大值為2B.偶函數(shù)，最大值為299C.奇函數(shù)，最大值為:D.偶函數(shù)，最大值為:88【解答】解：由題意，/ ( - x) =cos ( - x) - cos ( - 2x) =cosx - cos2x=/ (x),所以該函數(shù)為偶函數(shù)，_91)9又 f (x) =cosx - cos2x= - 2cos/jr+cosx+1 = - 2 (cosjv«) +g，,1 .a ,9所

13、以當(dāng)COSX=4時(shí)，f (x)取最大值3故選：D. TfTT-»T8. （4分）已知非零平面向量a, b,則”|a + b|=|a|+|b|"是“存在非零實(shí)數(shù)入，使b =M” 的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解答】解：（1）若向+否=1|+向,則;,%方向相同， T TT T:.a, b共線，.存在非零實(shí)數(shù)入，使b=M.A a|a + fc|=|a|+|6|w是"存在非零實(shí)數(shù)入，使，江”的充分條件；T T T T（2）若存在非零實(shí)數(shù)入，使b=M,則a, b共線， T TT T T T當(dāng)q, b方向相同時(shí)，a

14、+ b=a+bf T TT T T T當(dāng)Q, b方向相反時(shí)，|Q + b|V|a|+|b|,T T t TT T. “|a + b|=|a|+|b|"不是“存在非零實(shí)數(shù)入，使b =Xa"的必要條件.故選：A.9. （4分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB/CD, AD1.DC, E是CO的中點(diǎn)0c=1, AB =2,則日1 .6=（）【解答】解：過E作EFLAB,垂足為F,則 AF=DE= CD= I，- >> EA - AB = -AE AB = AE9AB*cosEAF= - AB*AF= - 2x = 1.故選：D.C10.（4分）袋子里有編號(hào)為2, 3,

15、 4, 5, 6的五個(gè)球，某位教師從袋中任取兩個(gè)不同的球.教 師把所取兩球編號(hào)的和只告訴甲，其乘積只告訴乙，再讓甲、乙分別推斷這兩個(gè)球的編 號(hào).甲說：“我無法確定乙說：“我也無法確定甲聽完乙的回答以后，甲說：“我現(xiàn)在可以確定兩個(gè)球的編號(hào)了根據(jù)以上信息，你可以推斷出抽取的兩球中（）A. 一定有3號(hào)球B. 一定沒有3號(hào)球C.可能有5號(hào)球D.可能有6號(hào)球【解答】解：由于編號(hào)和不能確定，故而兩球編號(hào)和為7或8或9,兩數(shù)為2, 5或3, 4 或 4, 5 或 3, 6,或 2, 6 或 3, 5；由于編號(hào)積不能確定，故而兩球編號(hào)積為12,兩數(shù)為3, 4或2, 6.故兩球編號(hào)為3, 4或2, 6.故選：D

16、.二、填空題（共5道小題，每題5分，共25分.把答案填在題中橫線上.）411.（5 分）若角。的終邊過點(diǎn) P （3, -4）,貝ijsin （0-tt）= - .一5一【解答】解：.角 8 的終邊過點(diǎn)尸（3, -4）, .”=3, y=-4, r=|OP|=5, .'.sing4則 sin （0 - n） = - sin0=耳，4故答案為：12. （5分）設(shè)斯為等比數(shù)列,其前項(xiàng)和為,圖=2, 52-30=0.則僅）的通項(xiàng)公式 是 如=2"；S+a>48,則n的最小值為 6 .【解答】解：設(shè)等比數(shù)列?！暗墓葹閝，貝aiq=2, S2 - 3。1=2+。1 - 3。=0,

17、解得，tzi 1, q=2,故 a”=lX2"l=2"l,一 一2 一乙i，%+a”=2"- l+2”7>48,即 3*2"'1>49,故"的最小值為6,故答案為：a=2n t, 6.13. (5分)函數(shù)= sin(2r +9的最小正周期為n ；若函數(shù)/ (x)在區(qū)間(0, a)TT上單調(diào)遞增，則a的最大值為-.-8-【解答】解：函數(shù)/0) = 5譏(2%+學(xué))的最小正周期為；若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0, a)上 單調(diào)遞增，當(dāng)X0時(shí)，2x+7=7：當(dāng)x=u時(shí)，2x+7=2a+才，2a+.W, .,0V4 患，7T故答案為：7T

18、:-.14. (5分)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?, 1,能說明若函數(shù)f(x)在0, 1上的最大值為f(1),則函數(shù)/(x)在0, 1上單調(diào)遞增”為假命題的一個(gè)函數(shù)是f(x) = (x-1)2+pxC|O, 11，(答案不唯一).【解答】根據(jù)題意，要求函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?, 1,在0, 1上的最大值為/(I), 但f(x)在0, 1上不是增函數(shù)，可以考慮定義域?yàn)?, 1上，先減后增的函數(shù)的二次函數(shù)，函數(shù)/ (x) = (x-1) 2+1, xGO, 1符合，故答案為：f (x) = (x4) +*, x0, 1> (答案不唯一,x + a, - 2 < x VO15. (5分)設(shè)

19、函數(shù)f(x) (xR)的周期是3>當(dāng)入包2, 1)時(shí)，/(x) = i(同。0<%<1若f(x)有最小值，且無最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_LL_|【解答】解：/ (x) (xR)的周期是3,13I111a/2,V(T)=/(6+j) =/<-)=(-)2 =今當(dāng) OWxVl 時(shí)，f (x)=($ x為減函數(shù)，則g q(x)Wl,當(dāng)-2WxV0時(shí)，函數(shù)/(x)=x+a 為增函數(shù)，貝ij - 2+af (x) <a,：f (x)有最小值，且無最大值,.d-2 + a-l(a>l解得1<七|,5故a的取值范圍為(1, -1，故答案為：A(L |j三、解答題

20、(共6道小題，85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16. (14 分)已知函數(shù)f(x) =2cos2x+2V3sinxcosx - 1.7C(I)求/(二)的值;671(II)求函數(shù)/(X)在區(qū)間，n上的最小值和最大值.【解答】解：(I)因?yàn)?(x) =2cos2x+2V3sinxcosx - 1 =cos2x+V3sin2x=2sin (Zr+Q,， 7Tjr -tt7T所以/ (一) =2sin (2x、+召)=2sin =2；(II )由題意，xG, tt, , yr 77rl37r所以2¥+大廠-，"T- 066令2x+ = 3,解得x=n,此時(shí)/(x)

21、取得最大值為/ (tt) =2s吟=1,令2x+5 =竽，解得犬=等 此時(shí)f (x)取得最小值為/ (q)=2sin = -2.17. (14分)如圖，在四棱柱ABC。-A18C1。中，AAi_L平面A8CD,底面A8CD滿足AOBC,且 A8=AD=AAi=2, BD=DC=2y2.(I )求證：AB,平面4"Mi；(Il )求直線A8與平面BiCCi所成角的正弦值.【解答】解：(I )證明：.在四棱柱A8CO-48C0 中，AAiJ_平面ABCQ, 底面 48co 滿足 AO8C,且 A8=AD=7L4i = 2, BD=DC=242.：.AB±AAi, AB2+AD2

22、=BD2, C.ABLAD,'：AAHAD=A,，AB_L平面AOZMi.(H)解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，A。為)，軸，A4i為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系, A (0, 0, 0), B (2, 0, 0), Bi (2, 0, 2), C (2, 4, 0), D (0, 2, 2),AB = (2, 0, 0), CBX = (0, - 4, 2), CDt = ( - 2, - 2, 2),設(shè)平面BCD的法向量為/=(x, y, z),則E = -4y + 2z = 0 ，取 y=,得 Ji, I, 2),設(shè)直線AB與平面BCD所成角為0,則直線A8與平面BCD所成角的正弦值為：

23、.c AB-n2y6sm6= + = T-7= = -z- |Z16|-|n|2Y6d一 D -18. （14分）已知S”為等差數(shù)列而的前項(xiàng)和，且m = l, 53=6.（I ）求數(shù)列斯的通項(xiàng)公式;（H）設(shè)% = 2而，力,為數(shù)列岳的前項(xiàng)和，是否存在mN*,使得7=S2o+44?若存在，求出加的值；若不存在，說明理由.【解答】（本小題13分）解：（I）設(shè)等差數(shù)列小的公差為",則 S3=ai+a2+a3=3ai+3d=6,又 1 = 1,所以 d=l, an=n,（II ）因?yàn)榕c=2® = 2n,所以與為等比數(shù)列.所以4 = 2（；二,=2n+1 - 2.假設(shè)存在 mN*,使

24、得 7m=520+44, S20 = 20x+20）= 210,所以 2，”+i _ 2=210+44,即 2'"+l=256,所以，”=7 滿足題意.19. （14分）在ABC中，若“、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，已知ABC同時(shí)滿足 下列4個(gè)條件中的3個(gè)： sin 3 =-/+序 _ c1+ab=0- b = 2 V3： c=3.（1）請(qǐng)指出這3個(gè)條件，并說明理由；（2）求 sinA.【解答】解：（1） ZVIBC同時(shí)滿足條件，.（1分）理由如下：若A8C同時(shí)滿足，.因?yàn)榍乙籈 （0，一），所以一=一,即8=為（2分）因?yàn)閏osC1 -2且 C6 (0, n),所以C = * (4 分)所以B+C=tt,矛盾（5分）所以AABC只能同時(shí)滿足，.因?yàn)閎>c,所以B>C,故48C不滿足故ABC滿足，（7分）（2）在ABC 中，b = 2V3, c=3, 8=為又由正弦定理知：,所以sinC =鏢坦 T （9分） sinB sinCb 4又因?yàn)?>C,所以C（0, J）,所以cosC=? （10分）所以si幾4