知識講解_指數函數、對數函數、冪函數綜合_提高

1、指數函數、對數函數、冪函數綜合【學習目標】1理解有理指數冪的含義，掌握冪的運算2理解指數函數的概念和意義，理解指數函數的單調性與特殊點3理解對數的概念及其運算性質4重點理解指數函數、對數函數、冪函數的性質，熟練掌握指數、對數運算法則，明確算理，能對常見的指數型函數、對數型函數進行變形處理5會求以指數函數、對數函數、冪函數為載體的復合函數的定義域、單調性及值域等性質6.知道指數函數y=ax與對數函數y=logx互為反函數(a0,a#1.a知識框圖】要點梳理】2)=aa,a0,-a,a1,neN*當n為奇數時，正數的n次方根為正數，負數的n次方根是負數，表示為na；當n為偶數時，正數的n次方根有兩

2、個，這兩個數互為相反數可以表示為土n方.負數沒有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子na叫做根式，n叫做根指數，a叫做被開方數.2. n次方根的性質:(1)當n為奇數時，nan=a；當n為偶數時，0,m,neN,n1丿；a-n=a0,m,neN,nman要點詮釋：0的正分數指數冪等于0，負分數指數冪沒有意義.4. 有理數指數冪的運算性質：(a0,b0,r,seQ)(1)aras=ar+s(2)(ar)s=ars(3)(ab)r=arbr要點二：指數函數及其性質1指數函數概念一般地，函數y=ax（a0,且a豐1）叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R.2指數函數函數性質：函數名稱指數函數

3、定義函數y=ax（a0且a豐1）叫做指數函數a10a1(x0)ax0)值的變化ax=1(x=0)ax=1(x=0)情況ax1(x1(x0,且a豐1），則x叫做以a為底N的對數，記作x=logN，其中a叫做底數,aN叫做真數（2）負數和零沒有對數（3）對數式與指數式的互化：x=logNoax=N（a0,a豐1,N0）.a2幾個重要的對數恒等式log1=0,loga=1,logab=b.aaa3常用對數與自然對數常用對數：lgN，即logN；自然對數：lnN，即logN（其中e=2.71828）.10e4對數的運算性質如果a0,a豐1,M0,N0,那么 加法：logM+logN二log（MN）aa

4、aM 減法：logM-logN=logaaaN 數乘：nlogM=logMn（neR）aa alogaN=Nn logMn=logM（b豐0,neR）abbalogN 換底公式：logN=b（b0,且b豐1）alogab要點四：對數函數及其性質1對數函數定義一般地，函數y=logx（a0,且a豐1）叫做對數函數，其中X是自變量，函數的定義域（0,+8）.a2對數函數性質：函數對數函數名稱定義函數y=logx(aa0且a豐1）叫做對數函數a10a0(x1)alogx=0(x=1)alogx0(0x1)alogx1)alogx=0(x=1)alogx0(0x0，則幕函數的圖象過原點，并且在0,+8

5、)上為增函數.如果1時，若0x1，其圖象在直線y=x上方，當a1時，若0x1，其圖象在直線y=x下方.【典型例題】類型一：指數、對數運算例1.計算1)log21+性12一2噸242；2)lg32+lg35+3lg2lg5；2(1ig0.73)lg52+lg8+lg5lg20+lg22；(4)7ig20-思路點撥】運算時盡量把根式轉化為分數指數幕，而小數也要化為分數為好1【答案】(1)-??；(2)1；(3)3；(4)14.【解析】原式=l0g27121存7/6丿=log2=log22-2=-2(2)原式=(lg2+lg5)Gg22-lg2lg5+lg25)+3lg2lg5=lglO(lg5+lg

6、2)2-3lg2lg5+3lg2lg5=1-3lg2lg5+3lg2lg5=1(3)原式=21g5+2lg2+lg5(1+lg2)+lg22=2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg2+lg5)=2+lg5+lg2=3；(1lg0.7(4)令x二7ig20-，兩邊取常用對數得12丿lgx=lg（1）lg0.77lg20-=（1+lg2）lg7+（lg7-1）（-lg2）=lg7+lg2lg7-lg2lg7+lg2=lg14(1lg0.7x=14,即7lg20-一=14.12丿【總結升華】這是一組很基本的對數運算的練習題，雖然在考試中這些運算要求并不高，但是數式運算是學習數學的基本功，通過這樣

7、的運算練習熟練掌握運算公式、法則，以及學習數式變換的各種技巧.舉一反三：【變式1】2log510+log50.25=()A.0B.1C.2D.4【答案】C【解析】2log10+log0.25=log102+log0.25=log(100x0.25)=log25=2.555555【變式2】(1)(lg2)2+lg2-lg50+lg25；(2)(log2+log2)-(log3+log3).39485【答案】(1)2；(2)4【解析】(1)原式二(lg2)2+(1+lg5)lg2+lg52二(lg2+lg5+1)lg2+2lg5=(1+1)lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2；2）原式=（空

8、+竺）翌+空）=豎+竺）（旦+旦）lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg23lg25lg352lg36lg24類型二：指數函數、對數函數、冪函數的圖象與性質例2.設偶函數f(x)滿足f(x)二x3-8(x0)，則xIf(x-2)0)=()A.xIx4C.xIx6B.xIx4D.xIx4答案】B【解析】Qf(x)二x3-8(x0)且f(x)是偶函數.X3-&X0,X3&X0,x20,或0X2,或Jx4,Ix4或x0，故選B.【總結升華】考查解不等式組及函數解析式，考查函數性質的綜合運用舉一反三：13x+i,x3，則x的取值范圍是().logx,x0,002A.x8B.x8C.000

9、【答案】Ax0,fx【解析】依題意仁0c或J0。即J03xf+i3logx3Ix2000x8D.x0或0x80000,或J0，所以x8，故選A+11Ilogx20log802Ilogx,x0,例3設函數f(x)=1log2(x),xf(-a)，則實數a的取值范圍是()A.(1,0)U(0,1)B.(Y,-1)U(1,+8)C.(1,0)U(1,+8)D.(8,1)U(0,1)答案】C【解析】解法一：若a0，則aloga，212得logalog1，得a1，解得a1.22aa若a0，log(a)log(a)，丄2.log2(-匚)log2(-a)解得ae(-1,1)由可知ae(-1,0)U(1,+

10、8)解法二：特殊值驗證令a=2,f=log2=1,2f(-2)=一1，滿足f(a)f(-a)，故排除A、D.令a=-2,f(-2)=-1,f=1不滿足f(a)f(-a)，故排除B.【總結升華】本題考查了分段函數的性質、分類思想的應用.【高清課堂：冪指對函數綜合377495例1】例4.函數y二log丄(x26x+8)的單調遞增區(qū)間是()3A.(3，+w)B.(g,3)C.(4,+w)D.(g,2)【思路點撥】這是一個內層函數是二次函數，外層函數是對數函數的復合函數，其單調性由這兩個函數的單調性共同決定，即“同增異減”.【答案】D【解析】函數y二log(x2-6x+8)是由y二logu,u二x26

11、x+8復合而成的，y二logu是減函111333數，u=x26x+8在(-8,3)上單調遞增，在(3,+8)上單調遞減，由對數函數的真數必須大于零，即x26x+80，解得x4或x0,a1)在區(qū)間1,2上的最大值為8,最小值為m.若函數g(x)=(3-10m)J7是單調增函數，則a=.【思路點撥】根據題意求出m的取值范圍，再討論a的值，求出f(x)的單調性，從而求出a的值.1【答案】-8【解析】根據題意，得310m0，3解得m1時，函數f(x)二ax在區(qū)間1,2上單調遞增，最大值為a2=8，解得a=2邁，最小值為1Q23ma-1，不合題意，舍去；2邁410當1a0時，函數f(x)二ax在區(qū)間i,

12、2上單調遞減，最大值為a-1=8，解得a=J，最小值813為m=a2=，滿足題意；64101綜上，a=.81故答案為：6.8【總結升華】本題主要考查指數函數的圖象與性質的應用問題，通過討論對數函數的底數確定函數的單調性是解決本題的關鍵舉一反三：2，記滿的點集【變式1】已知f(x)=2|x，該函數在區(qū)間a,b上的值域為1,足該條件的實數a、b所形成的實數對為點P(a,b),則由點P構成14組成的圖形為()A.線段ADB.線段ABDCC.線段AD與線段CDD.線段AB與BC【思路點撥】由指數函數的圖象和性質，我們易構造出滿足條件f(x)二2ix-ii在閉區(qū)間a,b上的值域為1,2的不等式組，畫出函

13、數的與答案進行比照,即可得到答案【答案】C*函數圖象后【解析】函數f(x)二2|x-1的圖象為開口方向朝上，以x=1為對稱軸的曲線，如圖.故選C.【總結升華】本題考查的知識點是指數函數的性質，函數的值域，其中熟練掌指數函數在定區(qū)間上的值域問題，將已知轉化為關于a,b的不等式組，是解答本題的關鍵.Ilgx1,0x10.2取值范圍是()A(1，10)B(5，6)C(10，12)D(20，24)【答案】C【解析】由a,b,c互不相等，結合圖象可知：這三個數分別在區(qū)間(0,1),(1,10),(10,12)上，不妨設ae(0,1),be(1,10),ce(10,12)，由f(a)=f(b)得lga+l

14、gb=0,即lgab=0，所以ab二1，所以abce(10,12)，故選c.【總結升華】考查利用圖象求解的能力和對數的運算，考查數形結合的思想方法類型三：綜合問題2x+b已知定義域為R的函數f(x)=是奇函數。2x+1+a(I)求a,b的值;k一3【解析】(I)因為f(x)是奇函數,所以f(0)=0，即_1=0nb=1f(x)=a+212xa+2x+112又由f(1)=f(1)知=a+4(II)解法一：由(I)知f(x)=1 丄2na=2.a+112x1=+1，易知f(x)在(+8)上2 +2x+122x+1為減函數。又因f(x)是奇函數，從而不等式：f(2t2-1)+f(t2-1-k)0等價

15、于f(2t2-1)0，1從而判別式A=4+12k0nk-3.(II)若對任意的teR，不等式f(2t2-1)+f(t2-1-k)0恒成立，求k的取值范圍【思路點撥】(I)利用奇函數的定義去解。(II)先判斷函數f(x)的單調性，由單調性脫掉函數符號f，轉化成二次函數問題去解決?！敬鸢浮?I)a=2，b=1；(II)(或：即對一切teR有：k3t22t，又3t22t=3(t3)233.k一32+2x+1122t2k=0，1-2t2-2t解法二:由(I)知f(x)=嚴乂由題設條件得:2+2t2-2t+12+22t2-k+1艮卩：(22t2-k+i+2)(122-2)+(2t2-2t+i+2)(12

16、2t2-k)1，因底數21，故：3t22tk01上式對一切twR均成立，從而判別式A=4+12k0nk0,且a#1.aa(1) 求函數f(x)的定義域；(2) 判斷函數f(x)的奇偶性，并說明理由；1(3) 設a=-，解不等式f(x)0.厶(x+10,【解析】(1)依題意知，c解得jVx0.函數f(x)的定義域為x11x0，得0-1丄1x1x2解得1x0.x|1x0成立，求實數a的取值范圍.【思路點撥】由題意知，原不等式轉化成a在(-3,1】上恒成立只要求出不等式解析】依題意，則設0(x)=一任取Xi，X2Wx-1(1Ax(2Axa-+13丿13丿1+2x+3x-a0o在上恒成立.,xw(-8,1】只需求0(x)的最大值0(xi)-0(x2)=_(2Ax13丿(2丫23丿由于y=ax(0a1)是單調遞減函數.0(x)-1，這【總結升華】解決本題的關鍵是把af(x)轉化成af(x)，af(x)轉化成a0且b豐1)b1+2ax1)求f(x)的定義域；(2)求使f(x)0在(0,+8)上恒成立的實數a的取值范圍.解析】(1)Qx2-2x+2=(x-1)2+10，.1+2ax0,即2ax-1.若a=0，則f(x)的定義域為R；若a0，則f(x)的定義域為(-扌-，+8、I2a丿若a1時，在f