圖形的旋轉、圓中規(guī)律探索

1、 如圖，P是正三角形ABC內的一點，且PA=6，PB=8，PC=10求APB的度數(shù)PA8886610已知已知E、F分別在正方形分別在正方形ABCD邊邊AB和和BC上，上，AB=1，EDF=45.求求BEF的周長的周長.解：解：ABCD是正是正方形，方形，ADC=90，AD=DC=AB=BC=1.將將ADE繞著點繞著點D逆時針旋逆時針旋轉轉90到到DCM的位置的位置.由旋由旋轉的特征可知轉的特征可知AE=CM，DE=DM，ADE=CDMEDF=45，F(xiàn)DM=45DEF與與DMF關于關于DF成軸對稱，成軸對稱，EF=FMBEF的周長的周長=BE+EF+BF=BE+（FC+CM）+BF=BE+FC+

2、AE+BF=（BE+AE）+（FC+BF）=BA+BC=2，所以所以BEF的周長為的周長為2如圖，點如圖，點F為正方形為正方形ABCD的邊的邊CD上上的一點，的一點，AB=4，AF5，將，將AFD繞繞點點A旋轉到旋轉到AEB的位置，則四邊形的位置，則四邊形AECF的周長為多少？面積為多少？的周長為多少？面積為多少？FEDCBA 如圖，把兩張邊長為如圖，把兩張邊長為10cm10cm的正方形的正方形紙片放在桌面上，使一張紙片的頂點紙片放在桌面上，使一張紙片的頂點放在另一張正方形紙片的中心位置放在另一張正方形紙片的中心位置O O處處. .試問，桌面被兩張正方形紙片所試問，桌面被兩張正方形紙片所覆蓋的

3、那部分面積是多少？覆蓋的那部分面積是多少？OOO延伸延伸: (1)如圖，如圖，O是邊長為是邊長為a的正方的正方形形ABCD的中心的中心,將一塊半徑足夠長、將一塊半徑足夠長、圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點處，并將紙板繞點處，并將紙板繞O點旋轉點旋轉.求證求證:正方形正方形ABCD的邊被紙板覆蓋的總長的邊被紙板覆蓋的總長度為定值度為定值a（圓心（圓心O是在正方形內）是在正方形內）. OABCD(2)(2) 將一塊半徑足夠長的扇形紙板的將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為圓心放在邊長為a a的正三角形中心的正三角形中心O O點點處，并將紙板繞處，并將紙板繞

4、O O點旋轉點旋轉. .當扇形紙板當扇形紙板的圓心角是多少度時，正三角形的邊的圓心角是多少度時，正三角形的邊被紙板覆蓋的總長度為定值？被紙板覆蓋的總長度為定值？ 如果把正三角形改成正五邊形，其如果把正三角形改成正五邊形，其他條件不變，那么扇形的圓心角是多他條件不變，那么扇形的圓心角是多少度呢？你能得到什么一般性的結論少度呢？你能得到什么一般性的結論呢？呢？ 一般的，將一塊半徑足夠長的扇一般的，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為形紙板的圓心放在邊長為a a的正的正n n邊邊形中心形中心O O點處，并將紙板繞點處，并將紙板繞O O點旋轉點旋轉. .當扇形紙板的圓心角是當扇形紙板的圓心角是

5、度時，正度時，正n n邊形的邊被紙板覆蓋的總邊形的邊被紙板覆蓋的總長度為定值長度為定值. .360n(3)(3) 此時，正此時，正n n邊形被紙板所覆蓋的邊形被紙板所覆蓋的面積是否也為定值呢？請說明理由面積是否也為定值呢？請說明理由. . 例例6 6、已知，點、已知，點P P是正方形是正方形ABCDABCD內的一點，連內的一點，連PAPA、PBPB、PC.PC.（1 1）將）將PABPAB繞點繞點B B順時針旋轉順時針旋轉9090到到PCBPCB的位置的位置（如圖（如圖1 1）. .設設ABAB的長為的長為a a，PBPB的長為的長為b b（baba），求），求PABPAB旋轉到旋轉到PCBP

6、CB的過程中邊的過程中邊PAPA所掃過區(qū)域（圖所掃過區(qū)域（圖1 1中陰影部分）中陰影部分）的面積；的面積；例例6 6、已知，點、已知，點P P是正方形是正方形ABCDABCD內的一點，連內的一點，連PAPA、PBPB、PC.PC.（1 1）將）將PABPAB繞點繞點B B順時針旋轉順時針旋轉9090到到PCBPCB的位置（如圖的位置（如圖1 1）. .若若PA=2PA=2，PB=4PB=4，APB=135APB=135，求，求PCPC的長的長. .例例6 6、已知，點、已知，點P P是正方形是正方形ABCDABCD內的一點，連內的一點，連PAPA、PBPB、PC.PC.（2 2）如圖）如圖2

7、2，若，若PAPA2 2+PC+PC2 2=2PB=2PB2 2，請說明點，請說明點P P必在必在對角線對角線ACAC上上. .PA9（2008蕪湖）如圖，兩正方形彼此相鄰且內接于半圓，若小正方形的面積為16cm2，則該半圓的半徑為（）A Cm B9cm C Cm D cmOABCDE 16（2013福州）如圖，由7個形狀、大小完全相同的正六邊形組成網(wǎng)格，正六邊形的頂點稱為格點已知每個正六邊形的邊長為1，ABC的頂點都在格點上，則ABC的面積是_DE如圖，在半徑為 ，圓心角等于45的扇形AOB內部作一個正方形CDEF，使點C在OA上，點D、E在OB上，點F在弧AB上（1）求正方形CDEF的邊長

8、；（2）求陰影部分的面積（結果保留） 5如圖，在三角形如圖，在三角形ABC中中AB=AC=3cm,BC=2cm,以以AC為直徑作半圓交為直徑作半圓交BC于點于點E，則圖中陰影部，則圖中陰影部分面積為分面積為_cm 如圖，一張半徑為1的圓形紙片在邊長為a（a3）的正方形內任意移動，則該正方形內，這張圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是 在扇形OAB中，AOB=90，半徑OA=6將扇形OAB沿過點B的直線折疊,點O恰好落在AB上點D處，求.求整個陰影部分的周長和面積. 1.（2009衢州）如圖，衢州）如圖，AD是是 O的直徑的直徑（1）如圖）如圖，垂直于，垂直于AD的兩條弦的兩條弦B1C1，B2C

9、2把圓周把圓周4等分，等分，則則B1的度數(shù)是的度數(shù)是 ，B2的度數(shù)是的度數(shù)是 ；（2）如圖）如圖，垂直于，垂直于AD的三條弦的三條弦B1C1，B2C2，B3C3把圓周把圓周6等分，分別求等分，分別求B1，B2，B3的度數(shù)；的度數(shù)；（3）如圖）如圖，垂直于，垂直于AD的的n條弦條弦B1C1，B2C2，B3C3，BnCn把圓周把圓周2n等分，請你用含等分，請你用含n的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示Bn的度數(shù)的度數(shù)（只需直接寫出答案）（只需直接寫出答案） 5（2010嘉興）如圖，已知 O的半徑為1，PQ是 O的直徑，n個相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關于PQ對稱，其中第一個A1B1C1的頂點A

10、1與點P重合，第二個A2B2C2的頂點A2是B1C1與PQ交點，最后一個AnBnCn的頂點Bn、Cn在圓上 （1）如圖1，當n=1時，求正三角形的邊長a1；（2）如圖2，當n=2時，求正三角形的邊長a2；（3）如題圖，求正三角形的邊長an（用含n的代數(shù)式表示） 4如圖，在平面直角坐標系中，如圖，在平面直角坐標系中， M經過原點經過原點O，且與，且與x軸、軸、y軸分別相交于軸分別相交于A（8，0）、）、B（0，6）兩點）兩點（1）求點）求點M的坐標；的坐標；（2）若二次函數(shù)）若二次函數(shù)y=a（x+m）2+n圖象的頂點圖象的頂點C在在 M上，且上，且經過點經過點B，圓心，圓心M在其對稱軸上求此二次

11、函數(shù)的關系式在其對稱軸上求此二次函數(shù)的關系式 8歸納猜想：同學們，讓我們一起進行一次研究性學習：（1）如圖1已知正三角形ABC的中心為O，半徑為R，將其沿直線l向右翻滾，當正三角形翻滾一周時，其中心O經過的路程是多少？ （2）如圖2將半徑為R的正方形沿直線l向右翻滾，當正方形翻滾一周時，其中心O經過的路程是多少？ 9.9.矩形矩形ABCDABCD的邊的邊AB=8AB=8，AD=6AD=6，現(xiàn)將矩形，現(xiàn)將矩形ABCDABCD放在直線放在直線l上且沿上且沿著著l向右作無滑動地翻滾，當它翻滾至類似開始的位置向右作無滑動地翻滾，當它翻滾至類似開始的位置A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1時

12、時( (如圖所示如圖所示) )，則頂點，則頂點A A所經過的路線長是所經過的路線長是_【解析【解析】點點A A經過的總路線長經過的總路線長答案：答案：1212 （3）猜想：把正多邊形翻滾一周，其中心O所經過的路程是多少（R為正多邊形的半徑，可參看圖2）？請說明理由（4）進一步猜想：任何多邊形都有一個外接圓，若將任意圓內接多邊形翻滾一周時，其外心所經過的路程是否是一個定值（R為多邊形外接圓的半徑）？為什么？請以任意三角形為例說明（如圖12）通過以上猜想你可得到什么樣的結論？請寫出來 在平面直角坐標系中以原點O為圓心的圓經過A（13,0），直線y=kx-3k+4與圓交于B、C兩點，則弦BC的最小值是多少？OA（13,0）M(3，4)BC11如圖所示，在ABC中，BAC