實變函數(shù)論24講ppt課件

1、目的：熟悉左、右導(dǎo)數(shù)的概念，理解為什么單調(diào)函數(shù)幾乎處處有有限導(dǎo)數(shù)。重點與難點：單調(diào)函數(shù)的可導(dǎo)性及其證明?；緝?nèi)容：一導(dǎo)數(shù)定義問題1：回憶微積分中導(dǎo)數(shù)的定義， 如何判斷導(dǎo)數(shù)是否存在？從數(shù)學(xué)分析知道， 上的函數(shù)在 處的可導(dǎo)性等價于這也是我們討論函數(shù)可導(dǎo)性的一個常用的方法。因而，我們也給上面的左、右極限一個名稱，這就是,ba)(xfy,0bax .)()(lim)()(lim000000hxfhxfhxfhxfhh 左下、左上、右下、右上導(dǎo)數(shù) 定義3 設(shè) 是 上的有限 函數(shù)， ，記)(xfy ,ba),(0bax hxfhxfxfDh)()(lim)(0000hxfhxfxfDh)()(lim)(0

2、000hxfhxfxfDh)()(lim)(0000hxfhxfxfDh)()(lim)(0000分別稱 為 f 在 點右上、右下、左上、左下導(dǎo)數(shù)。 fDfDfDfD,0 x當(dāng) f 在 點有有限導(dǎo)數(shù)時，也稱 f 在 點可微。 顯然，f 在 點有導(dǎo)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)0 x)()(00 xfDxfD).( )()(000 xfxfDxfD0 x0 x(2) 導(dǎo)數(shù)的存在性與可導(dǎo)性上述定義與數(shù)學(xué)分析中導(dǎo)數(shù)定義有一點差別。事實上，在數(shù)學(xué)分析中，講導(dǎo)數(shù)通常都是指可導(dǎo)，也就是說，其導(dǎo)數(shù)是一個有限數(shù)，此處則不同，導(dǎo)數(shù)值可以取，因而，當(dāng) 時，我們稱 f 在該點有導(dǎo)數(shù)，而不說在該點是可導(dǎo)的，就是由于這個緣故。 fDfDf

3、DfD(3) 導(dǎo)數(shù)值為的例子,0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf0 x從這個例子不難看到，函數(shù)在一點有導(dǎo)數(shù)并不意味著它在該點連續(xù)，上述函數(shù)在 點就是間斷的。 例 設(shè)那么 。)0( f定義4 設(shè) f 是 上的連續(xù)函數(shù)，若存在 使得 ，則稱 x 是 f 的右受控點，簡稱為右控點。假設(shè) 存在，使 ，則稱 x 是 f 的左受控點，簡稱為左控點。 二單調(diào)函數(shù)的可導(dǎo)性(1) 左、右控點的定義,ba),( bax),(bxx ) ( )(xfxf),(xax )()(xfxf(2) 左、右控點集的性質(zhì)問題2：為什么要引入左、右控點概念？ 其實質(zhì)是什么？引理引理2(F.Riesz) 2(F.Rie

4、sz) 設(shè)設(shè) f f 是是 a,b a,b 上的連上的連續(xù)函數(shù)，那么續(xù)函數(shù)，那么 f f 的右的右 ( ( 或左或左 ) ) 控點集控點集 E E 是一開集，而且，假設(shè)是一開集，而且，假設(shè) 是是 E E 的構(gòu)成區(qū)間全體，則有的構(gòu)成區(qū)間全體，則有 或或 ( )( )。 ),(kkba)()(kkbfaf)()(kkafbf證明：設(shè) E 是 f 的右控點集， ，于是存在 ，使得 。取 ，使 ，由 f 的連續(xù)性知存在 ，當(dāng) 時，有 ，故當(dāng) 時， 。這就是說， 中點都是 f 的右控點，從而 是 E 的內(nèi)點，即 E 是開集。Ex 0),(01bxx )()(10 xfxf0)()(10 xfxf0),(

5、0 xOx)()()(00 xfxfxf),(0 xOx)()()(10 xfxfxf),(0 xO0 x設(shè) 是 E 的構(gòu)成區(qū)間，往證對任意 ，有 。若不然，則有 ，使 ，由于 是右控點，故存在 ，使 。記 ， ，則顯然有 ，所以 必不等于 。 kkkkkbabaE),(),(),(kkbax)()(kbfxf),(0kkbax )()(0kbfxfEx 0),(01bxx )()(10 xfxf)(|sup110 xfxx )()(00 xfxf0 xkb),(01bxx 我們斷言，必有 ，否則由便知 也是右受控點，這與 矛盾。然而，又不可能有 ，因為這樣的話，由 知 ，于是又存在 ，使 。

6、從而 ，這與 的定義矛盾。 0 xbk )()(00 xfxfbfkkbEbk0 xbkkbxx00Ebxxk),(00),(02bxx )()(20 xfxf)()()(200 xfxfxf0 x因此對任意 ，必有 ，由的連續(xù)性知 。對于左控點集可類似證明，證畢。不連續(xù)時，只要其不連續(xù)點都是第一類的，也可以定義右、左控點。)()(kbfxf),(kkbax)()(kkbfaf定義5 設(shè) f 是 上的函數(shù)，且只有第一類不連續(xù)點。對 ，若有 ，使得 ，則稱 x 是 f 的右受控點，簡稱為右控點。類似地，若有 ，使 ，則稱 x 是 f 的左受控點，簡稱為左控點。 ,ba),(bax),(bx)()

7、0(),0(),(maxxfxfxfxf),(xax )()0(),0(),(maxxfxfxfxf x引理引理3(F.Riesz) 3(F.Riesz) 設(shè)設(shè) f f 是是 上只有第上只有第一類不連續(xù)點的函數(shù)，那么一類不連續(xù)點的函數(shù)，那么 f f 的右控的右控點點( ( 左控點左控點 ) ) 全體全體 E E 是開集，假設(shè)是開集，假設(shè) 是是 E E 的構(gòu)成區(qū)間，那么的構(gòu)成區(qū)間，那么 。,ba),(kkba)0(),0(),(max) 0(kkkkbfbfbfaf證明：只對右控點集證之，左控點情形可類似證得。設(shè) ，則存在 ，使得 。由左、右極限定義知對任意 ，存在 ，使得當(dāng) 時，有 ，當(dāng) 時，

8、有 。Ex 0),(01bxx )()0(),0(),(max1000 xfxfxfxf0000 xx)0()()0(00 xfxfxfxx00)0()()0(00 xfxfxf從而當(dāng) 時， ，由于 ，故可選 ，使 ，這說明中的所有點也是右控點，所以 E 是開集。),(0 xOx)0(),0(),(max)(xfxfxfxf)0(),0(),(max000 xfxfxf)()0(),0(),(max1000 xfxfxfxf0)()0(),0(),(max1000 xfxfxfxf設(shè) 是 E 的構(gòu)成區(qū)間，往證對任意 ，有 。事實上，若不然，則存在 使 。注意到 是 f 的右控點，故存在 ，使得

9、 。),(kkba)0(),0(),(max)(kkkbfbfbfxf),(0kkbax )0(),0(),(max)(0kkkbfbfbfxf0 x1x)()0(),0(),(max1000 xfxfxfxf),(kkbax),(0bx),(max| ),(sup0011xfbxxx)0(),0(),(max000 xfxfxf).0(),0(),(max111xfxfxf),()0(),0(100 xfxfxf記顯然這說明 。 )()0(),0(),(max0000 xfxfxfxf)0(),0(,(max111xfxfxfkbx 1),0(),0(),(maxkkkbfbfbf),0()

10、,0(),(maxkkkbfbfbf因為從而我們證明不可能有 。事實上，假設(shè) ，則由于 是之上確界，故對任意 ，存在 ，使 。 kbx 11x),(max| ),(0010 xfbxxFx00 xFx 11xxx),()0(),0(100 xfxfxfkbx 1從而由 ，立知 。所以 也是 f 的右控點，這與假設(shè) 是 E 的構(gòu)成區(qū)間矛盾。 )()0(),0(),(max000 xfxfxfxf)()0(),0(),(maxxfbfbfbfkkkkb),(kkba另一方面，我們也可證明不能有 。若不然，由 得 ，于是存在 ，使 ，進而 。kbx 1kbxx10Ex 1),(12bxx )()0(

11、),0(),(max2111xfxfxfxf)0(),0(),(max000 xfxfxf)()0(),0(),(max2111xfxfxfxf這與 的定義矛盾，綜上得 ，但這又與 的假設(shè)矛盾，故對任意 ，有 ，證畢。 1xkbx 10 x),(kkbax)0(),0(),(max)(kkkbfbfbfxf(3) 單調(diào)函數(shù)幾乎處處有有限導(dǎo)數(shù) 的證明定理4 設(shè) f 是 a,b 上的單調(diào)有限函數(shù)，那么 f 在 a,b 上幾乎處處有有限導(dǎo)數(shù)。 證明：不妨設(shè) f 是單調(diào)增加的 ( 遞減情形可考慮 )。由于 f 的不連續(xù)點全體 E 是可數(shù)集，故可去掉這些點，記 。我們首先證明 (1)F0)(|*xfDx

12、FmfEba,為此，對任意正整數(shù) n，記則存在 ，使nnFxnxfDxFF0,)(|0 xx (*).)()(00nxxxfxf令 ，那么 僅有第一類不連續(xù)點，且當(dāng) 時，nxxfxf)()(fbx),0()0(),0(),(maxxfxfxfxf).()0(),(maxbfbfbf于是(*)式等價于 。因是 的連續(xù)點，故 ，由此立知 是 的右控點，故 包含在 的右控點集 中，因 ， 是 的構(gòu)成區(qū)間，由引理3及 f 的單調(diào)性知 。)()(0 xfxfnFx 0) 0() 0()(000 xfxfxf0 xnFfkkkbaE),(Ekkkknbbfnaaf) 0() 0(ff),(kkbaE當(dāng) 時

13、，上式中 的換成 ，由此得bbk)0( bf)0( bf)(*kkknabEmFmkkkafbfn)0()0(1).()(1afbfn,)(|nFxfDxF)(|*xfDxFm, 0)(|*xfDxFm)(. 0)()(1nafbfn由知即下證)2(. 0)()(|*xfDxfDxFm對任意 ，記那么 ， 故僅需證明對每個 ，有 。假設(shè) ，則存在 ，使得2121,rrQrrQrrrrFxfDxfDxF2121)()(|21rrF0*21rrFm21rrFxxx 1.)()(211rxxxfxf令 ，上式意味著 ， 于是 x 是左控點。由Riesz引理3， 包含于 的左控點集 中，并且 ，由于

14、f 單調(diào)增加，所以 ，從而 。 xrxfxf2)()()()(1xfxf21rrFfkkkbaF),()0(),0(max)0(kkkafafbf)0(),0(),(max) 0(kkkkafafafaf)()0()0(2kkkkabrafbf現(xiàn)設(shè) ，因 ，由前段的證明可知 包含于 的某個開子集 中 ( 將 f 限制在 上，應(yīng)用前面的證明 )，并且( 注意當(dāng) 時， 應(yīng)改成為 )。 ),(21kkrrbaFx1)(rxfD),(21kkrrbaFikikikbaF),()()(),(kkba)0()0()()()()()(1kikikikiafbfabrkkibb)()0(kbf),(kkba)

15、0()(kibf從而 包含在開集 中，且 ikikiafbf)0() 0()()(21rrFikkikiba,)()(),(進一步，),() 0() 0(2kkkkabrafbfikikkikikikirrbabamFm,)()()()()(),()(21kkkafbfr)0()0(11ikkikiafbfr,)()(1)0()0(1kkkabrrabrr)()(1212用 替代 ，重復(fù)上面的過程可知 包含在某個開集,)()(kikiba,ba),()(21kikirrbaF),(),()()(.kikikimnkimnnmikbabaFkikirrmFFm21*中，且 。進而)()()()(12kikiikabrrFm).()()(21)()(12abrrabrrkikiki用歸納法不難證明，對任意自然數(shù) n，有用于 ，故 ，進而 ，所以 。 ).()()(*1221abrrFmnrr21rr )(, 0)(12nrrn0)(*21r