1.2第一型曲線積分ppt課件

1、上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第八章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 8-1 第一型曲線積分第一型曲線積分1.第一型曲線積分的概念與性質(zhì)第一型曲線積分的概念與性質(zhì) 設(shè)有一條不均勻的物質(zhì)曲線 以為其二個(gè)端點(diǎn),并設(shè)上任一點(diǎn)處的線密度為 ,求L的質(zhì)量m.L,A BL, ,M x y z, ,x y z把曲線任意分割成段，設(shè)第段的弧長(zhǎng)為把曲線任意分割成段，設(shè)第段的弧長(zhǎng)為 ，Lnisi在第段上任取一點(diǎn)在第段上任取一

2、點(diǎn)i ,1,2,iiiin 第段的質(zhì)量第段的質(zhì)量i,iiiiims 1max,ii ns 令令若極限若極限 存在，那么存在，那么01lim,niiiiis L曲線曲線 的質(zhì)量的質(zhì)量01lim,niiiiims 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)ABis1iMiM),(iiiiiiis),(ni 10limm定義 設(shè)函數(shù)在分段光滑曲線段設(shè)函數(shù)在分段光滑曲線段L上有定義上有定義, ,f x y z把曲線任意分割成段，設(shè)第段的弧長(zhǎng)為把曲線任意分割成段，設(shè)第段的弧長(zhǎng)為 ，Lnisi在第段上任取一點(diǎn)在第段上任取一點(diǎn)i ,1,2,iiiin 1max,ii ns 令令若極限若極限 對(duì)于曲線對(duì)于曲線01lim,niii

3、iifs L的任意分割法及中間點(diǎn)的任意取法都存在，則稱(chēng)此極限的任意分割法及中間點(diǎn)的任意取法都存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)沿曲線的第一型對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，為函數(shù)沿曲線的第一型對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，,iii , ,f x y zL記作記作, ,Lfx y z ds, ,f x y z稱(chēng)為被積函數(shù)稱(chēng)為被積函數(shù)L積分曲線積分曲線ds弧微分弧微分01, ,lim,niiiiLif x y z dsfs 即即說(shuō)明 1. 曲線光滑或分段光滑光滑是指：曲線上每一點(diǎn)都有切線，曲線光滑或分段光滑光滑是指：曲線上每一點(diǎn)都有切線，且切線方向隨著曲線上點(diǎn)的連續(xù)變動(dòng)而連續(xù)變動(dòng)；且切線方向隨著曲線上點(diǎn)的連續(xù)變動(dòng)而連續(xù)變動(dòng)；分段光滑是

4、指：曲線可由有限條光滑曲線弧段連接而成。分段光滑是指：曲線可由有限條光滑曲線弧段連接而成。例如，圓周、拋物線都是光滑曲線；例如，圓周、拋物線都是光滑曲線； 四邊形的周線是分段光滑曲線。四邊形的周線是分段光滑曲線。2. 函數(shù)函數(shù) 在曲線在曲線 上連續(xù)是指上連續(xù)是指 在一個(gè)包在一個(gè)包含含 的區(qū)域上連續(xù)的區(qū)域上連續(xù)., ,f x y zL, ,f x y zL01, ,lim,niiiiLif x y z dsfs 4. 平面第一型曲線積分形式是平面第一型曲線積分形式是:,Lf x y ds3. 可以證明：當(dāng)函數(shù)可以證明：當(dāng)函數(shù) 在光滑曲線弧在光滑曲線弧 上連續(xù)時(shí)，上連續(xù)時(shí)， 那么那么 在在 上可積

5、上可積., ,f x y zLL, ,f x y ziimiisf),(lim10上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)3. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfLd ),() 1 (LszyxfCd),()2(（C為常數(shù))Lszyxfd),()3( L 由 組成) 21, LLLsd)4( l 為曲線弧 L 的長(zhǎng)度),(zyxgLszyxfd),(szyxgLd),(LszyxfCd),(l21d),(d),(LLszyxfszyxf 第一型曲線積分與曲線的走向無(wú)關(guān), , ,.ABBAf x y z dsf x y z ds2. 第一型曲線積分的計(jì)算第一型曲線積分的計(jì)算 ,Lyy xaxb設(shè)曲線 是有函數(shù) 所給出 ,yy x

6、a b其中在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),f x yL又假定在 上連續(xù),則定理定理 2,1.bLaf x y dsf x y xy xdx(轉(zhuǎn)化為定積分轉(zhuǎn)化為定積分)證證: : 根據(jù)定義 iimiisf),(lim10Lsyxfd),(iimiisf),(1.)(,(1iimiisyf22)(iiiixyxs而而iixy2)(1).(1iiixxx 因?yàn)閷?duì)因?yàn)閷?duì)L的任意一個(gè)分割都相當(dāng)于對(duì)區(qū)間的任意一個(gè)分割都相當(dāng)于對(duì)區(qū)間 的一種分割，的一種分割，因而，上述和式可改寫(xiě)為因而，上述和式可改寫(xiě)為,iiba上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)于是上述和式又近似于于是上述和式又近似于)(,(imiIiyfiixy2)(1可以嚴(yán)格地證

7、明，當(dāng)可以嚴(yán)格地證明，當(dāng)時(shí)，0max1imis，0max1imix時(shí)，并且0max1imix上述和式的極限就是線積分上述和式的極限就是線積分I ，即，即Lsyxfd),()(,(lim0imiIiyfiixy2)(1baxyxf)(,(dxxyds2)(1弧微分弧微分.)(12dxxy上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例例1. 計(jì)算計(jì)算,dLsx其中 L 是拋物線2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點(diǎn) O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首

8、頁(yè)定理定理 2 設(shè)曲線L的參數(shù)方程為 x(t) y (t) (t) 22,.Lf x y dsftttt dt：上連續(xù)，則有計(jì)算公式在若上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)在與其中函數(shù)L),(,)()(yxfttxdydsdxyo說(shuō)明說(shuō)明:, 0, 0) 1 (iits因此積分限必須滿足!(2) 注意到 tttdsd)()(22x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例例2),00(sincos:RRyRxL，的參數(shù)方程為設(shè)L.)1 (22LdsyxI計(jì)算解解,dcossin2222RRRds02222)sin1 (cosRdRRI0223cosdRR0225sincosdR.8253RR上

9、頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例例3 求曲線積分求曲線積分,d2Lsyx.B(1,1)A(1,0),O(0,0),L為頂點(diǎn)的三角形的邊界是以其中解解,OALBOAB );10( , 0:OAxy);10( , 1:AByx).10( ,:BOxxy它們的弧微分依次為它們的弧微分依次為,012dxdxds,012dydyds.2112dxdxdsOAsyxd2, 0010dxABsyxd2,311102dyyOBsyxd2. 2412103dxxLsyxd231. 241上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)定理定理 3方程為為一空間曲線，且參數(shù)設(shè)L),()(),(),(:ttzztyytxxL,d)(222szyx:L),)()(),(上連續(xù)，則有下列公式在（定上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又假，在及并假定zyxftztytx.)()()()(),(),(222dttztytxtztytxf上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例例4. 計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分 ,