Matlab小波變換對(duì)奇異點(diǎn)的檢測(cè)

1、Matlab小波變換對(duì)于奇異點(diǎn)的檢測(cè)1 .信號(hào)的突變性突變信號(hào)又稱奇異信號(hào)，突變信號(hào)的突變點(diǎn)經(jīng)常攜帶比較重要的信息，是信號(hào)的重要特征之一。在數(shù)字信號(hào)處理和數(shù)字圖像處理中具有非常重要的作用和地位，信號(hào)的突變性檢測(cè)是先對(duì)原信號(hào)在不同尺度上進(jìn)行“磨光”，再對(duì)磨光后信號(hào)的一階或二階倒數(shù)檢測(cè)其極值點(diǎn)或過(guò)零點(diǎn)。對(duì)信號(hào)進(jìn)行磨光處理，主要是為了消除噪聲而不是邊緣。傳統(tǒng)的信號(hào)突變檢測(cè)方法是基于傅立葉變換的，由某一函數(shù)的傅立葉變換趨近于零的快慢來(lái)推斷該函數(shù)是否具有突變性，但它只能反映信號(hào)的整體突變性，而對(duì)信號(hào)的局部突變則無(wú)法描述。這樣我們就引入小波變換算法。2 .信號(hào)的突變點(diǎn)的檢測(cè)原理設(shè)h是函數(shù)f和g的卷積，即：

2、h(t)=f(t)=g(t)則根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)有：AA.Fh'(t)=jFf(t):g(t)=jf()g()=j-f()g()=f()jg()=Ff'(t)二Fg(t)=Ff(t)二Fg'(t)所以得到：h'(t)=f'(t);g(t)=f(t)=g'(t)若將函數(shù)f看作是信號(hào)，g(t)看作是濾波器，那么信號(hào)的導(dǎo)數(shù)與濾波器的卷積結(jié)果可以看作是濾波器的導(dǎo)數(shù)與信號(hào)的卷積。例如，如果選g(t)為高斯函數(shù)，則利用其導(dǎo)數(shù)可以構(gòu)造Morlet小波和Maar小波，因此，小波變換的突變點(diǎn)和極值點(diǎn)與信號(hào)f的突變點(diǎn)和極值點(diǎn)具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用小波可以檢測(cè)突變信號(hào)。

3、具體過(guò)程如下：設(shè)e(t)是一個(gè)起平滑作用的低通平穩(wěn)函數(shù)，且滿足條件qQ工出=1,i,m=。通常取H(t)為高斯函數(shù)，即1-t2/2i(t)=e.2二假設(shè)Wt)是二次可導(dǎo)的，并且定義=(1)(t)=d。=一1te12/2dt2二"0)=d3=1(1-t2)e±2/2dt2二則函數(shù)中(1)(t)、滿足小波的容許條件：*(t)dt=0，(2)(t)dt=0因此可用做小波母函數(shù)。若記a=1e-則19s(t)表示9(t)在尺度因子s下的伸縮。由于小波變換就是將原信's's號(hào)f(t)同伸縮小波卷積得到的，為此以中(t)W(t)為小波函數(shù)定義的卷積型小波變換為：wS1)&

4、quot;t)=f*wS1)(t)=f/s?jt)=s-d(f*6s)(t)<dt)dt2d2e、2d2ws)f(t)=fs)(t)=f*s景(t)=sf(f*Hs)(t)Idt)dt由此可見(jiàn)，小波變化wf'f(t),w!2)f(t)分別是函數(shù)f(t)在尺度s下由e(t)平滑后再取一階、二階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)s較小時(shí)，用久(t)對(duì)f(t)平滑的結(jié)果對(duì)f(t)的突變位置影響不大；當(dāng)s較大時(shí)，則此平滑過(guò)程會(huì)將f(t)的一些細(xì)小的突變削去，而只剩下大尺寸的突變。由此我們可知，當(dāng)小波函數(shù)可看作某一平滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，信號(hào)小波變換模的局部極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)信號(hào)的突變點(diǎn)(或邊緣)。當(dāng)小波函數(shù)可看作某一平滑函

5、數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，信號(hào)小波變換模的過(guò)零點(diǎn)，也對(duì)應(yīng)信號(hào)的突變點(diǎn)(或邊緣)。這就是采用檢測(cè)小波變換系數(shù)模的過(guò)零點(diǎn)和局部極值點(diǎn)可檢測(cè)信號(hào)突變點(diǎn)(或邊緣)的原理。Matlab小波變換檢測(cè)奇異點(diǎn)原始信號(hào)是含有奇異點(diǎn)的信號(hào)，為確定該奇異點(diǎn)的時(shí)間，采用haar小波進(jìn)行連續(xù)小波變換后，在對(duì)系數(shù)進(jìn)行分析處理。仿真程序如下：figure(1)plot(cuspamax)xlabel('時(shí)間);ylabel('幅值');title('頻率突變信號(hào))；figure(2)c,l=wavedec(cuspamax,5,'db6');cfd=zeros(5,1024);fork

6、=1:5d=detcoef(c,l,k);d=d(ones(1,2Ak),:);cfd(k,:)=wkeep(d(:)',1024)endcfd=cfd(:);I=find(abs(cfd)<sqrt(eps);cfd(I)=zeros(size(I);cfd=reshape(cfd,5,1024);colormap(pink(64);img=image(flipud(wcodemat(cfd,64,'row');set(get(img,'parent'),'YtickLabel',);title('離散小波變換后系數(shù)的絕對(duì)

7、值)ylabel('層數(shù))；figure(3)ccfs=cwt(cuspamax,1:32,'haar','plot');title('連續(xù)小波變換系數(shù)的絕對(duì)值)colormap(pink(64);ylabel('尺度)xlabel('時(shí)間(或者空間)')程序的運(yùn)行結(jié)果如下圖所示：圖1原始信號(hào)的示意圖Figure2k川里圖2db6連續(xù)小波變換后系數(shù)圖3haar連續(xù)小波變換后系數(shù)命令行輸出結(jié)果如下：NameSizeBytesClasscaption1x71142charcuspamax1x10248192doublearra

8、ay結(jié)論原始信號(hào)載入后有矩陣表示，其中矩陣大小為1*1024,矩陣名為cuspama*矩陣是以雙精度表示相應(yīng)的圖像顯示如圖1所示。對(duì)原始先信號(hào)使用db6小波在尺度132上進(jìn)行連續(xù)小波變換。相應(yīng)系絕對(duì)值的圖像如圖2所示。從圖3的原始信號(hào)連續(xù)小波變換系數(shù)的示意圖可以清楚的看出,在t=710時(shí)，小波系數(shù)出現(xiàn)了一個(gè)倒錐形的區(qū)域，以此，可以推斷在該區(qū)域存在突變點(diǎn)。小波分析在檢測(cè)突變點(diǎn)應(yīng)用中具有傅立葉變換無(wú)法比擬的優(yōu)越性。傅里葉變換，拉普拉斯變換和Z變換的意義【傅里葉變換】傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號(hào)

9、處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成幅值分量和頻率分量）。傅里葉變換是一種解決問(wèn)題的方法，一種工具，一種看待問(wèn)題的角度。我們?cè)瓉?lái)對(duì)一個(gè)信號(hào)其實(shí)是從時(shí)間的角度去理解的，不知不覺(jué)中,其實(shí)是按照時(shí)間把信號(hào)進(jìn)行分割，每一部分只是一個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)信號(hào)值，一個(gè)信號(hào)是一組這樣的分量的疊加。傅里葉變換后，其實(shí)還是個(gè)疊加問(wèn)題，只不過(guò)是從頻率的角度去疊加，只不過(guò)每個(gè)小信號(hào)是一個(gè)時(shí)間域上覆蓋整個(gè)區(qū)間的信號(hào)，但他確有固定的周期，或者說(shuō)，給了一個(gè)周期，我們就能畫出一個(gè)整個(gè)區(qū)間上的分信號(hào)，那么給定一組周期值（或頻率值），我們就可以畫出其對(duì)應(yīng)的曲線，就像給出時(shí)域上每一點(diǎn)的信號(hào)值一樣，不過(guò)如果信號(hào)是周期的話，頻域的更

10、簡(jiǎn)單，只需要幾個(gè)甚至一個(gè)就可以了，時(shí)域則需要整個(gè)時(shí)間軸上每一點(diǎn)都映射出一個(gè)函數(shù)值。傅里葉變換就是將一個(gè)信號(hào)的時(shí)域表示形式映射到一個(gè)頻域表示形式；逆傅里葉變換恰好相反。這都是一個(gè)信號(hào)的不同表示形式對(duì)一個(gè)信號(hào)做傅里葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個(gè)方面。幅度是表示這個(gè)頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義？頻域的相位與時(shí)域的相位有關(guān)系嗎？信號(hào)前一段的相位（頻域）與后一段的相位的變化是否與信號(hào)的頻率成正比關(guān)系？傅里葉變換就是把一個(gè)信號(hào)，分解成無(wú)數(shù)的正弦波（或者余弦波）信號(hào)。也就是說(shuō)，用無(wú)數(shù)的正弦波，可以合成任何你所需要的信號(hào)。想一想這個(gè)問(wèn)題：給你很多正弦信號(hào)，你怎樣才能合成你需要的

11、信號(hào)呢？答案是要兩個(gè)條件，一個(gè)是每個(gè)正弦波的幅度，另一個(gè)就是每個(gè)正弦波之間的相位差。所以現(xiàn)在應(yīng)該明白了吧，頻域上的相位，就是每個(gè)正弦波之間的相位。傅里葉變換用于信號(hào)的頻率域分析，一般我們把電信號(hào)描述成時(shí)間域的數(shù)學(xué)模型，而數(shù)字信號(hào)處理對(duì)信號(hào)的頻率特性更感興趣，而通過(guò)傅立葉變換很容易得到信號(hào)的頻率域特性。傅里葉變換簡(jiǎn)單通俗理解就是把看似雜亂無(wú)章的信號(hào)考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號(hào)組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號(hào)中振幅較大（能量較高）信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率，從而找出雜亂無(wú)章的信號(hào)中的主要振動(dòng)頻率特點(diǎn)。如減速機(jī)故障時(shí)，通過(guò)傅里葉變換做頻譜分析，根據(jù)各級(jí)齒輪轉(zhuǎn)速、齒

12、數(shù)與雜音頻譜中振幅大的對(duì)比，可以快速判斷哪級(jí)齒輪損傷?！纠绽棺儞Q】工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換。它是為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來(lái)處理，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（s域）上來(lái)表

13、示；在線性系統(tǒng)，控制自動(dòng)化上都有廣泛的應(yīng)用.【Z變換】在數(shù)字信號(hào)處理中，Z變換是一種非常重要的分析工具。但在通常的應(yīng)用中，我們往往只需要分析信號(hào)或系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，也即是說(shuō)通常只需要進(jìn)行傅里葉變換即可。那么，為什么還要引進(jìn)Z變換呢？【三者關(guān)系】傅里葉變換的物理意義非常清晰：將通常在時(shí)域表示的信號(hào)，分解為多個(gè)正弦信號(hào)的疊加。每個(gè)正弦信號(hào)用幅度、頻率、相位就可以完全表征。傅里葉變換之后的信號(hào)通常稱為頻譜，頻譜包括幅度譜和相位譜，分別表示幅度隨頻率的分布及相位隨頻率的分布。對(duì)一個(gè)信號(hào)來(lái)說(shuō)，就包含的信息量來(lái)講，時(shí)域信號(hào)及其相應(yīng)的傅里葉變換之后的信號(hào)是完全一樣的。那傅里葉變換有什么作用呢？因?yàn)橛械男盘?hào)主要

14、在時(shí)域表現(xiàn)其特性，如電容充放電的過(guò)程；而有的信號(hào)則主要在頻域表現(xiàn)其特性，如機(jī)械的振動(dòng)，人類的語(yǔ)音等。若信號(hào)的特征主要在頻域表示的話，則相應(yīng)的時(shí)域信號(hào)看起來(lái)可能雜亂無(wú)章，但在頻域則解讀非常方便。在實(shí)際中，當(dāng)我們采集到一段信號(hào)之后，在沒(méi)有任何先驗(yàn)信息的情況下，直覺(jué)是試圖在時(shí)域能發(fā)現(xiàn)一些特征，如果在時(shí)域無(wú)所發(fā)現(xiàn)的話，很自然地將信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域再看看能有什么特征。信號(hào)的時(shí)域描述與頻域描述，就像一枚硬幣的兩面，看起來(lái)雖然有所不同，但實(shí)際上都是同一個(gè)東西。正因?yàn)槿绱?，在通常的信?hào)與系統(tǒng)的分析過(guò)程中，我們非常關(guān)心傅里葉變換。拉普拉斯變換是以法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯命名的一種變換方法，主要是針對(duì)連續(xù)信號(hào)的分析。拉普拉

15、斯和傅里葉都是同時(shí)代的人，他們所處的時(shí)代在法國(guó)是處于拿破侖時(shí)代，國(guó)力鼎盛。在科學(xué)上也取代英國(guó)成為當(dāng)時(shí)世界的中心，在當(dāng)時(shí)眾多的科學(xué)大師中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里葉就是他們中間最為璀璨的三顆星。傅里葉關(guān)于信號(hào)可以分解為正弦信號(hào)疊加的論文，其評(píng)審人即包括拉普拉斯和拉格朗日。傅里葉變換雖然好用，而且物理意義明確，但有一個(gè)最大的問(wèn)題是其存在的條件比較苛刻，比如時(shí)域內(nèi)絕對(duì)可積的信號(hào)才可能存在傅里葉變換。拉普拉斯變換可以說(shuō)是推廣了這以概念。在自然界，指數(shù)信號(hào)ex是衰減最快的信號(hào)之一，對(duì)信號(hào)乘上指數(shù)信號(hào)之后，很容易滿足絕對(duì)可積的條件。因此將原始信號(hào)乘上指數(shù)信號(hào)之后一般都能滿足傅里葉變換的條件，這種變換就是拉普拉斯變換。這種變換能將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，在18世紀(jì)計(jì)算機(jī)還遠(yuǎn)未發(fā)明的時(shí)候，意義非常重大。從上面的分析可以看出，傅里葉變換可以看做是拉普拉斯的一種特殊形式，即所乘的指數(shù)信號(hào)為e0。也即是說(shuō)拉普拉