八個無敵模型——全搞定空間幾何的外接球和內(nèi)切球問題

1、八個有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球文：付雨樓、段永建今天給大家?guī)?個求解立體幾何內(nèi)切球與外接球半徑的模型，本文最開始 源自付雨樓老師分享的模型，教研QQ群（群號：545423319）成員段永建老師進 一步作圖編輯優(yōu)化分享。類型一、墻角模型（三條線兩個垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）2 =a2+b2+c2 ,即2R = Ja2+b2十c2 ,求出R例1 （1）已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是（ C ）A. 16n B . 20n C . 24n D . 32n1(3)題-1（2）若三棱錐的三

2、個側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長均為33,則其外接球的表面積是 9解：（1） V =a2h =16, a =2, 4R2 =a2 +a2 +h2 =4+4+16 =24 , S = 24i ,選 C； 4R2 =3+3 +3 = 9, S=4nR2=9n（3）在正三棱錐S ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點，且 AM _L MN，若側(cè)棱SA=2j3,則正三棱錐S - ABC外接球的表面積是 。 36n解：引理：正三棱錐的對棱互垂直 。證明如下： 如圖（3） -1 ,取AB, BC的中點D,E ,連接AE,CD , AE,CD交于H ,連接SH ,則H是底面正三角形 ABC 的中心，, SH _L

3、平面 ABC ,二 SH 1 AB ,AC=BC, AD=BD,二 CD _L AB,二 AB _L平面 SCD ,AB I SC ,同理：BC -L SA, AC -L SB,即正三棱錐的對棱互垂直,本題圖如圖(3)-2, 丁 AM 1 MN , SB/MN ,a AM -LSB, v AC -L SB,二 SB_L 平面 SAC,OCB SB ISA, SB1SC, SB ISA, BC _L SA,如果三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3,那么它的外接球的表面積是(5)10C. 一 二 340D二 32二 SA，平面 SBC,二 SA_L SC,SB(3)題-2(4 )

4、在四面體 S-ABC 中，SA_L平而A B C/BAC =120：SA= AC =2, AB =1,則該四面體的外接球的表面積為 (D ) A.1仞B(yǎng).7-：(6)已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為 何體外接球的體積為1的等腰直角三角形和邊長為 1的正方形，則該幾解析:222(4)在 AABC 中，BC =AC +AB -2AB BC cos120 =7,BCBC = 77 , AABC的外接球直徑為 2r =sin BAC240 二S=工，選D3(5)三條側(cè)棱兩兩生直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為a,b, c ( a,b,c R*),則ab -121ac =6D.正三棱錐S-ABC外接球的

5、表面積是 36nN222. (2R)2 =(2r)2 SA2 =2 4.403也c =822222，二 abc = 24,，a =3, b=4, c = 2, (2r) =a +b +c =29, S = 4nR=29n,C類型二、垂面模型(一條直線垂直于一個平面)1.題設(shè)：如圖5, PA_L平面ABC解題步驟：故三棱錐S ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直,二(2R)2 =(2回 +(2庖 +(2問2 =36 ,即 4R2 =36 ,M(府心=3, R2 3R =243 4V 二一二R 二一一33823.3.3=兀PPAAC圖5步：將 MBC畫在小圓面上， A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑A

6、D，連接PD ,則PD必過球心O ;第二步：Oi為AABC的外心，所以O(shè)Oi _L平面ABC ,算出小圓Q的半徑O1D =r （三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得a bsin A sin B = 2r) , OO1 =1PA ； sinC2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2 =PA2+（2r）2u 2R = fPA2+（2r）2 ； R2 =r2OOi2R = J2OO122.題設(shè)：如圖6, 7, 8, P的射影是AABC的外心u三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等 u 三棱錐P-ABC的底面AABC在圓錐的底上，頂點 P點也是圓錐的頂點圖8-1圖8-2圖8-3解題步驟：第一

7、步：確定球心 O的位置，取AABC的外心O1,則P,O,O1三點共線;第二步：先算出小圓 O1的半徑AO1 = r ,再算出棱錐的高 PO1 =h （也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：OA2 =OiA2 +O1O2 = R2 =（h R）2 + r2 ,解出 R方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓。例2 一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）C八八16二一一,A. 3冗 B. 2n C.D ,以上都不對解：選 C, （ 3 -R）2 1 = R2, 3-2 3R R2 1 =R2, 4 -2-3R0,2216R =, S =4 R =一二33類型三、切瓜模型（兩個平面互相垂直）1

8、 .題設(shè)：如圖9-1 ,平面PAC _L平面ABC，且AB_L BC （即AC為小圓的直徑）第一步：易知球心 。必是APAC的外心，即APAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC = 2r ;a b c第二步：在 APAC中，可根據(jù)正弦定理 =2R,求出Rsin A sin B sin C2 .如圖9-2 ,平面PAC _L平面ABC ,且AB_L BC （即AC為小圓的直徑）OC2 =O1c2 0102M R2=r2 0102M AC=2R2二O1O23 .如圖9-3 ,平面PAC _L平面ABC ,且AB _L BC （即AC為小圓的直徑），且 P的射影是 MBC的 外心u三棱錐P-ABC

9、的三條側(cè)棱相等 u三棱P-ABC的底面 MBC在圓錐的底上，頂點 P點也是 圓錐的頂點解題步驟：第一步：確定球心 。的位置，取AABC的外心01,則P,0,01三點共線；第二步：先算出小圓 01的半徑A01 = r ,再算出棱錐的高 P01=h （也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：0A2 =01A2 +0102=R2 =（h R）2+r2 ,解出R4 .如圖9-3 ,平面PAC _L平面ABC ,且AB_L BC （即AC為小圓的直徑），且 PA-L AC ,則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2 =PA2+（2r）2u 2R=vPA2+（2r）2 ； R2 =r20012 = R =

10、 .r20012例3 （1）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為1,底面邊長為2J3,則該球的表面積為（2）正四棱錐SABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為 J2 ,各頂點都在同一個球面上，則此球的體積為解：（1）由正弦定理或找球心都可得 2R=72S = 4求=49n ,（2）方法一：找球心的位置，易知r =1 , h =1方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是_4 二2R=2, R=1 , V =34 二h =r ,故球心在正萬形的中心 ABCD處，R = 1,V=3ASAC的外接圓，此處特殊，RUSAC的斜邊是球半徑，(3)在三麴隹 P ABC 中，PA = PB = PC= $3,

11、側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60,則該三棱錐外接球的體積為（A.二B.jiC. 4D.解：選D,圓錐A, B,C在以r,3的圓上,2R=1（4）已知三棱錐 S - ABC的所有頂點都在球 徑，且SC = 2 ,則此棱錐的體積為（。的求面上，AABC是邊長為1的正三角形，SC為球。的直AA 2A.6B 3B.6D.解：OO1 = . R2 -r21-（：）232、, 6 h 二3=-Sh =.26類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）OC圖 10-1圖 10-2圖 10-302BO1題設(shè)：如圖10-1 , 是任意三角形）圖 10-2 ,10-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓

12、柱，棱柱的上下底面可以第一步：確定球心O的位置，。1是MBC的外心，則OO1 1 平面 ABC ；第二步：算出小圓101 的半徑 AO1 = r ， OO1 = AA1 21 .=-h （ AA =h也是圓枉的局）； 2222 2 h 222 h 2第三步：勾股定理： OA =0沿 +OQ = r =(_)+r = r= r +(_),解出R22例4 (1) 一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上， 9且該六棱柱的體積為 9,底面周長為3,則這個球的體積為 81解：設(shè)正六邊形邊長為 a ,正六棱柱的高為 h ,底面外接圓的關(guān)徑為 r ,則a =，23

13、 1 2 3 ,3- 3,392 、, 3 2 1、2 d底面積為 S =6(-)=,V柱=Sh=h =，: h = J3 , R =()+(-) =1 ,4 2888224 二R=1 ,球的體積為V = 3(2)直三棱柱 ABC A B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB = AC = AA = 2 , N BAC =120。則此球的表面積等于DR = 2, S = 16n解：BC = 2V3 , 2r = = 4 , r =2 , R = V5 , S = 20 sin120(3)已知AEAB所在的平面與矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA = EB =3, AD =2,/AEB =60

14、1則多面體 EABCD 的外接球的表面積為。 16n解析：折疊型，法一：AEAB的外接圓半徑為r1 =J3, OO1 =1,R244.3. 1301M =，r2 =O2D =22(4)在直三棱柱 ABC AB1cl中，AB =4, AC =6, A =，AA1 =4則直三棱柱 ABC - A1B1cl的外接球3160的表面積為。冗3解析：BC2 =16 +36 2 4 6 1 =28, BC =2%萬22,二.32.7 4,72,7二 313R24.生 33c 160jiS =-3類型五、折疊模型題設(shè)：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊 (如圖11)第一步：先畫出如圖所示的圖形，將

15、 ABCD畫在小圓上，找出 ABCD和AABD的外心H1和H2；第二步：過Hi和H 2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點即為球心 O,連接OE,OC ； 第三步：解 AOEH1,算出OH1,在R9OCH1中，勾股定理： OH； + CH； = OC2例5三棱錐P-ABC中，平面PAC _L平面ABC , PAC和 ABC均為邊長為2的正三角形，則三棱 錐P-ABC外接球的半徑為一一 一 242_1斛析：2ri= 2r2= ,ri=r2= ：= ,02H= ,sin 60. 333_2_22R=02Hr111O2H = -p= , O1H =,33,15AH =1,R2 =A02

16、=AH 2 +01H 2 +0102 =勺，R 215 33題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等,求外接球半徑(AB = CD , AD = BC, AC = BD)類型六、對棱相等模型（補形為長方體）第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱;第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為 a,b,c, AD=BC=x, AB = CD = y, AC = BD = z ,列方程組,b2b2c222222=y = (2R) = a b ca2補充：VA_BCD,1 . 一 1 ,=abc - -abc 4 = abc圖12第三步：根據(jù)墻角模型,2Rra2+b2+c2=Jx2 + y2+

17、z222 _x2y2z2R 一8x2 y2 z2R = d一一，求出 R，例如，正四面體的外接球半徑可用此法。例6 （1）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形 (正四面體的截面)的面積是(2) 一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是1的球面上，其中底面的三個頂點.3彳解：(1)截面為APCO1,面積是J2 ；(2)高h=R=1,底面外接圓的半徑為2R = 2,a 一設(shè)底面邊長為 a ,則2R = 2 ,sin 60-3 2a =、：3 , S =a43,3O2(1)題解答圖三棱錐的體積為V=1Sh=a(3)在三

18、棱錐A BCD中，AB=CD= 2,AD =BC =3, AC=BD = 4,則三棱錐 A-BCD外接球的表面積為29 o JT2解析：如圖12,設(shè)補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長,設(shè)長寬高分別為a,b,c ,則a2 + b2 = 9.22b c =4c2 a2 =16. 2(a2 b2 c2) =9 4 16 =292(a2 +b2+c2) = 9 + 4+16 = 29 ,29229294R =，S =n222(4)如圖所示三棱錐 A-BCD ,其中AB =CD =5, AC = BD=6,AD = BC = 7,則該三棱錐外接球的表面積為.解析：同上，設(shè)補形為長方體,三個長度為三

19、對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為a,b,c,2(a2+b2+c2) =25 +36 +49 =110, a2+b2+c2=55, 4R2 = 55, S = 55n【55元；對稱幾何體；放到長方體中】(5)正四面體的各條棱長都為 J2 ,則該正面體外接球的體積為解析：這是特殊情況,但也是對棱相等的模式，放入長方體中,2R =43,34R =，V =-n23類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同，也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐P)模型C圖13題設(shè)：/APB =/ACB =90：求三棱錐P-ABC外接球半徑(分析：取公共的斜邊的中點O,連接1_ _，OP,OC ,則OA =OB =OC =OP

20、 =AB，二。為三棱錐P ABC外接球球心，然后在 OCP中求出 2半徑)，當看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值。例7 (1)在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角則四面體ABCD的外接球的體積為()A.125B125JI.二1295解：(1) 2R = AC=5, R=5, V2125125C.nD.二63434125125 二二R=n *,選C3386(2)在矩形ABCD中,AB=2, BC=3,沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC ,所得三棱錐A - BCD的外接球的表面積為解析：(2) BD 的中點是球

21、心 O, 2R = BD=Ji3, S=4nR2=13n；類型八、錐體的內(nèi)切球問題1.題設(shè)：如圖14,三棱錐P-ABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個三角形的外心；1 _第二步：求DH = BD , PO = PH r, PD是側(cè)面AABP的高；3第三步：由APOE相似于APDH ,建立等式： 旭=巴，解出r DH PD2 .題設(shè)：如圖15,四棱錐P-ABC上正四棱錐，求其外接球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O,H三點共線；1 一 一 一第二步：求FH =BC, PO = PHr, PF是側(cè)面&PCD的高;2第三步：由APOG相似于APFH

22、 ,建立等式：OG=_PO,解出HF PF3 .題設(shè)：三棱錐 P - ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等 第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；第一步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r ,建立等式：VP -abc =VO-ABCVO-PAB VO-PACVO-PBCVP SBC11111=S.ABC r7SPABr-SPAC r-SPBCr= (S. ABCS.PABSPACS.PBC ) r33333第三步:解出r =3V P 7BCSO -ABCSO -PABSO -PACSO -PBC習(xí)題：1 .若三棱錐A. 3S - ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,B. 6C. 36且SA=2, SB = SC = 4,則該三棱錐的外接球半徑為 (D. 9解：【A】 (2R)2 =,/4+16+16 =6,