第一章 緒論—2

1、光纖光學(xué)與光纖應(yīng)用技術(shù)1. 2波動方程波動方程 波動方程系指將物質(zhì)方程組代人麥克斯韋方程組的兩個基本方程后，所得到的兩個變量分離形式的二階微分方程組，它便于利用邊值條件求解。波動方程的解描述了在所確定介質(zhì)中的光傳播規(guī)律。以下推導(dǎo)建立各種條件下各向同性介質(zhì)的波動方程。1. 2. 1各向同性、非均勻各向同性、非均勻(與與r有關(guān)有關(guān))、有源介質(zhì)中的波、有源介質(zhì)中的波動方程動方程為導(dǎo)出波動方程，首先從一般情況出發(fā)對(1. 1)式做旋度運算，即()()()BEHtt 2()()()EEEE 22()()EJHEttt 其右端的運算最終結(jié)果為上式左端的二重矢積運算結(jié)果為將兩端結(jié)果代人上式整理得到電場矢量E

2、的波動微分方程:222()( )()EJEEtt (1.20)類似地，對(1. 2)式做旋度運算并整理，可得到如下磁場矢量H的波動微分方程:顯然，通過上述運算變換獲得了電場矢量(E)與磁場矢量(H)相分離的兩個波動微分方程。222()()HHHHJJt (1.21)1.2.2各向同性、非均勻、無源介質(zhì)中的波動方程各向同性、非均勻、無源介質(zhì)中的波動方程 對一般光波導(dǎo)材料(屬非磁性材料)，其磁導(dǎo)率與真空中磁導(dǎo)率一致，因而有 ;所研究的介質(zhì)區(qū)域無源, =0，且電導(dǎo)率 =0 ，因而J=0;但介質(zhì)為非均勻介質(zhì)，即 與r有關(guān)，因而介電常數(shù)的梯度 。 000在上述分析的條件下，(1.20)式、（1.21）式

3、將轉(zhuǎn)化為如下的非齊次波動微分方程: (1.23)22022202()()EEEtHHHt (1.22)上述兩式的形式已簡化，但仍很復(fù)雜，求解困難，為此需做數(shù)學(xué)近似處理。1.2. 3各向同性、漸變折射率光纖中的波動各向同性、漸變折射率光纖中的波動 對漸變折射率光纖,(r) 變化緩慢，即事實上 。但分析表明，只要在一個光波長的距離上的變化是微小的，即當(dāng)滿足 時，則可取近似 。由此數(shù)學(xué)近似處理對方程解導(dǎo)致的誤差影響是可以忽略的。在上述近似條件下，可得到如下近似的齊次波動方程。顯然，方程解亦應(yīng)為近似的。01=0 (1.25)22022202( )0( )0EErtHHrt (1.24)1.2.4各向同

4、性、階躍型折射率光纖中的波動方程各向同性、階躍型折射率光纖中的波動方程 光纖中纖芯介質(zhì)折射率均勻即為階躍型光纖，亦為均勻光波導(dǎo)。 由于折射率均勻,為常標(biāo)量， ，因而（1.24）式、（1.25）式可演變?yōu)槿缦戮_的齊次波動微分方程:0 (1.27)2202220200EEtHHt (1.26)應(yīng)指出(1.26)式、(1.27)式與(1.24)式、(1.25)式的形式相同，然而意義卻有差別。若引入電磁波的傳播速度，且以 表示電磁波在質(zhì)空間給定點處的傳播速度，則可將上兩式表為以速度形式表示的矢量形式波動微分方程:01 222222221010EEtHHt（1.28）（1.29）上述方程表示，電場與磁

5、場耦合在一起，以波動形式在介質(zhì)中以速度傳播。 若場矢量以三個直角坐標(biāo)分量來表示，則(1.26)式所表示的矢量波動微分方程可以表示為如下標(biāo)量形式的波動微分方程組。（1.30） 220222022202000 xxyyzzEEtEEtEEt 若以符號形式V表示其中的任意分量，則可表為如下形式的標(biāo)量波動方程:22020VVt (1.31)同樣引人傳播速度，則上式亦可表為222210VVt(1.32)或?qū)⒗绽顾惴归_，亦可表為1. 3亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程(正弦穩(wěn)態(tài)波動方程正弦穩(wěn)態(tài)波動方程) 為進(jìn)一步簡化波動方程的求解，需要討論亥姆霍茲(helmholtz)方程。在電磁波的討論中，通常是將表示電

6、場與磁場的矢量E、D、H、B考慮為具有單一角頻率 的正弦波(即以一定頻率做正弦振蕩的單色波)，這是因為正弦波可以作為基元波，其產(chǎn)生與測量均較方便，因而具有特別重要的意義。2222222221()0VVVVxyzt(1.33) 為運算分析的簡便，采用指數(shù)函數(shù)來描述這種正弦波函數(shù)。這是因為，用指數(shù)函數(shù)表示光波函數(shù)便于將位相的空間因子與時間因子分開。例如，電場矢量可以表示為 。當(dāng)不需考慮光波隨時間的變化時，可以用復(fù)振幅表示光波。 復(fù)振幅是振幅與空間位相因子的乘積。以電場矢量為例，其復(fù)振幅可以表示為 。通常以t=0時的復(fù)振幅E(r)代表電場矢量，并稱之為“復(fù)矢量”，或稱其為“相量”。它既是一個矢量(由

7、 決定其空間方向)，同時又是一個復(fù)數(shù)，因 為相位，是隨時間而變化的，表示波的傳播。 ()j k rjee( , )( )j tE r tE re()0( )j k rE rEe 由于指數(shù)函數(shù)所具有的微分運算特性，即每進(jìn)行一次微分運算后均保持函數(shù)的原形不變，從而可使計算大為簡化。因而若有波函數(shù) ，則有 ， 。因此，上述方程中所有對時間的(偏)微商 均可以用j取代。 則以 取代。將上述 代入(1. 22)式、(1. 23)式，則對各向同性、非均勻、無源介質(zhì)應(yīng)有j tzAe()d zjzd t2222()()d zjzzdt、dtd t22、ddd td t2222、dtdt2()因而有 （1.35

8、）220220()()EEEHHH （1.34）對漸變折射率的光波導(dǎo)，為簡化計算分析，可取近似 ;同時引入022222200 0000() ()rkkkn （1.36）0kn k （1.37）k為介質(zhì)中的波數(shù)或傳播系數(shù)，它是一個數(shù)量。由上述關(guān)系變化可得到（1.36）式中， 為相對介電系數(shù)。 為介質(zhì)折射率； 為自由空間波數(shù)。定義00002kc 0rrn2k（1.38）01 （1.39） 將上述關(guān)系及漸變折射率介質(zhì)條件 代人（1.34）式、（1.35）式，并整理即獲得如下矢量形式的亥姆霍茲方程，亦即正弦穩(wěn)態(tài)方程:0 （1.41）222200Ek EHk H（1.40） 上兩式即為一定頻率()下漸變

9、折射率介質(zhì)中電磁波的基本方程，方程的解E(r)、H(r)即代表電磁波場強在空間中的分布情況，每一種可能存在的分布形式即為一種模式。由于上式是在取 近似條件下得到的，因而對漸變折射率介質(zhì)，方程及其解均為近似的。事實上，方程的k為r的函數(shù)，即000( )( )( )k rkn rkr（1.42） 應(yīng)該指出，對介質(zhì)折射率為常數(shù)( )的均勻波導(dǎo)，即 , （1.40）式、（1.41）式及其解亦成立，且均為嚴(yán)格的。 nct0 由于矢量形式的亥姆霍茲方程不便求解，因而需轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的標(biāo)量形式亥姆霍茲方程。由于E、H在直角坐標(biāo)系中的x,y,z各分量均滿足上述方程，因而可以用符號V形式地表示，即有 220Vk V

10、（1.44）上式即為標(biāo)量形式的亥姆霍茲方程，為一橢圓形偏微分方程。將拉普拉斯算符展開，(1.43)式亦可表示為2222222()0VVVk Vxyz(1.45)運用上述電磁場基本理論，并利用亥姆霍茲方程及相關(guān)的邊界條件即可求解介質(zhì)中電磁場的分布。1.4 各向同性、均勻介質(zhì)圓柱光波導(dǎo)各向同性、均勻介質(zhì)圓柱光波導(dǎo)(階躍光階躍光纖纖)中光波的傳播中光波的傳播 芯與包層折射率均勻分布的階躍光纖，即各向同性、均勻介質(zhì)的圓柱光波導(dǎo)，是一種最重要、最常用的光纖類型，研究光波在其中的傳播規(guī)律與機理具有典型性與重要意義。 上節(jié)導(dǎo)出的亥姆霍茲方程的解E(r),H(r)，應(yīng)隨激勵與傳播條件的不同而不同。其中，一種最

11、基本的解就是存在于全空間中的平面波。在均勻介質(zhì)中，平面波是基波，任意形式的電磁波均可分解為等相面與等幅面一致的一些均勻平面波;而在非均勻介質(zhì)中，可以近似地認(rèn)為，在到達(dá)光頻時，存在的是波前極小的平面波，可稱之為“本地平面波”，其法線即為射線。因而，在非均勻介質(zhì)中本地平面波即為基波。1.4.1均勻介質(zhì)圓柱光波導(dǎo)均勻介質(zhì)圓柱光波導(dǎo)(階躍光纖階躍光纖)芯中的光波傳播芯中的光波傳播 在均勻介質(zhì)中傳輸?shù)木鶆蚱矫娌?，在每個波陣面上E(H)的振幅相同，位相亦相同。在均勻介質(zhì)中各點的場矢量在略去時間位相因子的條件下，可以如下的復(fù)振幅形式表示()0()0( )( )j k rj k rE rEeH rHe(1.4

12、5) (1.46) 式中，E。，H。為代表波振幅的常矢量;r為代表介質(zhì)中點的位置的矢量;k為波矢量或稱傳播矢量。分析計算表明，k的方向應(yīng)與坡印廷矢量S的方向一致，即代表波的傳播方向，其數(shù)量k可由平面波表達(dá)式計算得到如下表達(dá)式(在無損耗的介質(zhì)中，應(yīng)有 )0(1.47)22222220 xyzkkkkk 式中，為電磁波振蕩的角頻率，它表明傳播系數(shù)k值隨 而變，亦即不同頻率電磁波有不同的位相速度，此即介質(zhì)的色散機理。因而上式又稱為平面波的色散方程。這也是用直角坐標(biāo)系表示的均勻介質(zhì)中電磁波傳播狀態(tài)的特征方程。由于 是k值的直角坐標(biāo)系三個分量，因而上式表征一個球面，即表 示各個方向的k值相等;若k取不同

13、值則表征不同的球面。由此，可得出結(jié)論:在各向同性、均勻介質(zhì)中的平面波，其向各方向的傳輸系數(shù)是相同的，即有xkykzk0k （1.48）若引人光波在。、介質(zhì)中的位相速度，則有前面的（1.38）式:2k表明傳輸系數(shù)k即為圓波數(shù)，在平面波的情況下，k值即等于單位長度上可以容納的波長數(shù)的2 倍。 以上所述表明，在均勻介質(zhì)的圓柱光波導(dǎo)中，階躍光纖芯中的光波是以平面波向前傳播的;然而，在芯與包層的界面處，應(yīng)有怎樣的光波傳輸機理呢?為此，需分析均勻介質(zhì)光波導(dǎo)界面處的表面波現(xiàn)象。 1.4.2均勻光波導(dǎo)界面處全反射條件下的波場分析均勻光波導(dǎo)界面處全反射條件下的波場分析-表面表面波波 本節(jié)的分析表明，在由兩種各向

14、同性、均勻、透明介質(zhì)(芯與包層)構(gòu)成的均勻波導(dǎo)(階躍光纖)中，均勻平面波在芯與包層界面處將有部分發(fā)生折射和反射，這部分的光能量最終將逸出、消耗掉;還有一部分滿足全反射條件的光波能量，將發(fā)生全反射。其中的折射光波將在波導(dǎo)界面外側(cè)的薄層中形成表面波。為此，要研究在這種邊界條件下的電磁波解，并研究這種表面波的特性。 若平面波由n1;介質(zhì)(芯)經(jīng)界面射向n2介質(zhì)(包層)，芯與包層介質(zhì)的折射率滿足n1n2;當(dāng)入射光波在界面處滿足全反射條件，即入射角全反射臨界角 。時，這時不能定義實數(shù)的折射角，因而在界面處將出現(xiàn)不同于一般反射、折射的物理現(xiàn)象，即界面處不僅存在反射光波，而且存在被稱之為“表面波”的折射光波

15、。c圖圖1.1 全反射條件下界面折射光波的分析全反射條件下界面折射光波的分析 如圖1. 1所示，設(shè)平面波在界面處的入射、反射和折射光波的電場強度矢量分別為(1.49) ()0()0()0j k rtj krtj krtEEeEEeEEe 式中，k,k,k分別代表入射、反射和折射光波傳輸系數(shù)的波矢量。其中，反映折射光波特性的折射光波傳輸系數(shù)、波矢量k應(yīng)予重點研究?？疾熳游缑鎯?nèi)界面處發(fā)生的折、反射情況。折射光波的位相因子應(yīng)由kr決定，而xzkxkzk kr r(1.50)式中， ,分別代表折射光波沿z軸(光傳播方向)和x軸(垂直于光傳播方向)的分量，且分別有xkzk12sin(sin )sinzz

16、nkkkkkn(1.51)(1.52)2222111222() sin( )sin( )nnnj kjknnn =212cos1(sin)xnkkknc將(1. 51)式、(1. 52)式代入(1. 50)式，應(yīng)有將(1.53)式代入1.49)式中式應(yīng)有2212sin()znjkxkzn k kr r(1.53)2212sin()( sin)0nxnj kztEEee m (1.54)上式中位相因子項 代表折射光波在第二介質(zhì)中沿+z方向的相移;復(fù)振幅項則表示場強振幅沿x方向的變化規(guī)律，存在兩種可能的解。然而分析表明，若復(fù)振幅中的位相因子項前取“+”號，則在x0的半空間中，隨著x的增大，其振幅將

17、按指數(shù)規(guī)律迅速增大，在+ 處將為 ，這將違背場強在無窮遠(yuǎn)處應(yīng)有界或為0的邊界條件。為此，復(fù)振幅位相因子前應(yīng)取“一”號作為方程解，“+”號應(yīng)棄之。因而，最終解應(yīng)為sinzzzkzkkz2212sin()( sin)0nkxnj kztee E EE E(1.55)(1. 55)式表明，在階躍光纖(均勻光波導(dǎo))芯與包層界面滿足全反射的條件下，折射率為n2的包層介質(zhì)中，確實存在著沿+z方向傳播，而其場強振幅沿+x方向按指數(shù)規(guī)律迅速衰減的折射光波。由于折射光波透過界面迅速衰減，因而它只存在于界面附近n2介質(zhì)的一薄層內(nèi)。為分析此薄層的厚度，定義“穿透深度”為:當(dāng)振幅衰減至界面處(x=0)振幅的1/e倍時

18、沿x方向的深度x。若界面處振幅為 ，則由(1. 55)式應(yīng)有穿透深度x。時的如下關(guān)系式:0E E22102sin()11nkxneee 0 00 00 0E EE EE E由上式可解出穿透深度:0222211221sin()2sin()xnnknn(1.56) (1. 56)式表明，折射光波穿透n2介質(zhì)的薄層厚度與入射光波長幾具有相同數(shù)量級，且入射角 與全反射臨界角 的差值越大，則x。越小，即折射光波衰減越快。c 由于折射光波按指數(shù)規(guī)律迅速衰減，迅即消逝，故稱這種波為“倏逝波”(evenescent wave)。倏逝波的衰減規(guī)律在光頻波段已由實驗證實。由于倏逝波是緊貼著n1 、n2:兩種不同介

19、質(zhì)之間界面沿x軸方向傳播的一種電磁波，它沒有離開界面沿二方向輻射的電磁波能量轉(zhuǎn)換，因而又稱其為“表面波”(surface wave)或“界面波”(boundary wave)。由于它滿足場強在無窮遠(yuǎn)處為0的邊界條件，因而它是“正常波”。 因此，對于由均勻介質(zhì)n1、n2構(gòu)成的階躍光纖(均勻光波導(dǎo))中存在電磁場形式的綜合分析結(jié)論是:入射光波和反射光波形成的電磁場集中在纖芯(n1介質(zhì))內(nèi)部，而折射光波形成的電磁場則集中在光波導(dǎo)界面外的n:介質(zhì)薄層中，即全部電磁場被限制在光波導(dǎo)中及其表面附近。這種波導(dǎo)機構(gòu)所引導(dǎo)的由入射波、反射波、表面波疊加形成的傳導(dǎo)波是一種特殊的波，它在此波導(dǎo)中及波導(dǎo)周圍的薄層空間內(nèi)傳播，其示意圖如圖1. 2所示。倏逝波的波形特征如圖1. 3所示，圖中當(dāng)z=ct，即相位為常數(shù)時，代表等相位面;當(dāng)x= ct,即E 的復(fù)振幅為常數(shù)時，代表等幅面。上述分析表明，表面波的等相位面與等幅面不一致，兩者正交，因而稱這種波為非均勻平面波;相應(yīng)地，等相位面與等幅面重合的波稱為均勻平面波。對表面波做進(jìn)一步的分析表明，代表其波面?zhèn)鞑サ腅的位相項應(yīng)有如下關(guān)