第3章 桿梁結構有限元分析

1、有限元基礎及工程仿真分析有限元基礎及工程仿真分析主講：魏召蘭主講：魏召蘭四川農(nóng)業(yè)大學土木工程學院四川農(nóng)業(yè)大學土木工程學院第第3章章 桿梁結構的有限元分析桿梁結構的有限元分析3.1 桿件有限元分析的標準化表征與算例桿件有限元分析的標準化表征與算例 3.1.1 桿件分析的基本力學原理桿件分析的基本力學原理桿件是最常用的承力構件，它的特點是連接它的桿件是最常用的承力構件，它的特點是連接它的兩端一般都是鉸接接頭，因此，它主要是承受沿軸線兩端一般都是鉸接接頭，因此，它主要是承受沿軸線的軸向力，因兩個連接的構件在鉸接接頭處可以轉動，的軸向力，因兩個連接的構件在鉸接接頭處可以轉動，則它不傳遞和承受彎矩。則它

2、不傳遞和承受彎矩。 有一個左端固定的拉桿，其右端承受一外力有一個左端固定的拉桿，其右端承受一外力P。該拉桿的長度為該拉桿的長度為l，橫截面積為，橫截面積為A，彈性模量為，彈性模量為E，如，如圖圖3-2所示，這是一個一維問題，下面討論該問題的所示，這是一個一維問題，下面討論該問題的力學描述與求解。力學描述與求解。 【基本變量基本變量】3.1.1(1) 1D問題的基本變量問題的基本變量 由于該問題是沿由于該問題是沿x方向的一維問題，因此只有沿方向的一維問題，因此只有沿x方向的基本變量，即方向的基本變量，即 定義沿定義沿x方向移動為位移：方向移動為位移： u(x) 定義沿定義沿x方向的相對伸長方向的

3、相對伸長(或縮短或縮短)量為應變：量為應變： x(x) 定義沿定義沿x方向的單位橫截面上的受力為應力：方向的單位橫截面上的受力為應力：【基本方程基本方程】3.1.1(2) 1D問題的基本方程問題的基本方程 該問題的三大類基本方程和邊界條件如下該問題的三大類基本方程和邊界條件如下: 取出桿件的任意一個截面，可得到平衡方程取出桿件的任意一個截面，可得到平衡方程(無體力無體力)為為 取出桿件取出桿件x位置處的一段長度位置處的一段長度dx，設它的伸長為，設它的伸長為du，則它，則它的相對伸長量為的相對伸長量為 該方程稱為幾何方程。該方程稱為幾何方程。 由該材料的拉伸試驗，可得到該材料的虎克定律為由該材

4、料的拉伸試驗，可得到該材料的虎克定律為: 該方程也稱為物理方程。該方程也稱為物理方程。 邊界條件邊界條件(BC, boundary condition) 從求解思路來說，可以有兩類方法來對該問題進行求從求解思路來說，可以有兩類方法來對該問題進行求解，即解，即 (1)直接求解方法：該問題比較簡單，因此，可以由直接求解方法：該問題比較簡單，因此，可以由3個方程來直接求解個方程來直接求解3個變量。個變量。 (2)基于試函數(shù)的間接方法：可以先選取一個變量基于試函數(shù)的間接方法：可以先選取一個變量(如位如位移移)作為最基本的待求變量，將其它變量都用它來表達，并作為最基本的待求變量，將其它變量都用它來表達，

5、并采用間接的近似求解方法；具體的做法為：先對待求的位采用間接的近似求解方法；具體的做法為：先對待求的位移變量假設一種事先滿足位移邊界條件的可能解移變量假設一種事先滿足位移邊界條件的可能解(其中有一其中有一些待定的系數(shù)些待定的系數(shù))，稱為，稱為試函數(shù)試函數(shù)(trail function)，讓該受力系統(tǒng)，讓該受力系統(tǒng)的勢能取最小值來最后確定出可能解的勢能取最小值來最后確定出可能解(試函數(shù)試函數(shù))中的那些中的那些待定待定系數(shù)系數(shù)(unknown constant)；也可以讓該受力系統(tǒng)的內部變形；也可以讓該受力系統(tǒng)的內部變形虛功等于外部施加力的虛功，來求出試函數(shù)中的那些待定虛功等于外部施加力的虛功，來

6、求出試函數(shù)中的那些待定系數(shù)。系數(shù)。 下面針對圖下面針對圖3-2所示的一端固定的拉桿問題，分別討論所示的一端固定的拉桿問題，分別討論基于直接求解方法以及基于試函數(shù)的間接方法的求解過程。基于直接求解方法以及基于試函數(shù)的間接方法的求解過程。 【求解原理求解原理】3.1.1(3) 1D問題的直接求解問題的直接求解 【求解原理求解原理】3.1.1(4) 1D問題的虛功原理求解問題的虛功原理求解 先以一個簡單的結構靜力平衡問題來描述虛功原理的基本思先以一個簡單的結構靜力平衡問題來描述虛功原理的基本思想，然后再具體求解一端固定的拉桿問題。想，然后再具體求解一端固定的拉桿問題。 彈性力學中的虛功原理可表述為：

7、在外力作用下處于平衡狀彈性力學中的虛功原理可表述為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的變形體，當給物體以微小虛位移時，外力所做的總虛功等于態(tài)的變形體，當給物體以微小虛位移時，外力所做的總虛功等于物體的總虛應變能物體的總虛應變能(即應力在由虛位移所產(chǎn)生虛應變上所作的功即應力在由虛位移所產(chǎn)生虛應變上所作的功)。注意這里的虛位移是指僅滿足位移邊界條件注意這里的虛位移是指僅滿足位移邊界條件BC(u)的許可位移。的許可位移。 下面應用虛功應力來具體求解如圖下面應用虛功應力來具體求解如圖3-2所示的一端固定的拉所示的一端固定的拉桿問題，設有滿足位移邊界條件的位移場桿問題，設有滿足位移邊界條件的位移場 【求解原理求

8、解原理】3.1.1(5) 1D問題的最小勢能原理求解問題的最小勢能原理求解 3.1.2 局部坐標系中的桿單元描述局部坐標系中的桿單元描述 最簡單的標準單元就是桿單元，下面就要研究它的試函數(shù)最簡單的標準單元就是桿單元，下面就要研究它的試函數(shù)描述，以及計算它的應變能和外力功。描述，以及計算它的應變能和外力功。 【單元構造單元構造】3.1.2(1) 桿單元的描述桿單元的描述 單元的描述包括單元的幾何及節(jié)點描述、位移場、應變場、單元的描述包括單元的幾何及節(jié)點描述、位移場、應變場、應力場、勢能，也就是要充分利用描述問題的三大類變量以及應力場、勢能，也就是要充分利用描述問題的三大類變量以及三大類方程來計算

9、單元的勢能，然后，由最小勢能原理三大類方程來計算單元的勢能，然后，由最小勢能原理(或虛功或虛功原理原理)來得到單元的方程。實際上，單元內位移場的描述就是它來得到單元的方程。實際上，單元內位移場的描述就是它的試函數(shù)的選取。的試函數(shù)的選取。 【典型例題典型例題】3.1.2(2) 變截面桿單元的推導變截面桿單元的推導 如圖如圖3-5所示，有一受軸載荷的線性變截面桿件，兩端的截所示，有一受軸載荷的線性變截面桿件，兩端的截面積為面積為A1和和A2，長度為，長度為l，材料的彈性模量為，材料的彈性模量為E，試建立描述該，試建立描述該桿件的一個桿單元。桿件的一個桿單元。 3.1.3 桿單元的坐標變換桿單元的坐

10、標變換 1. 平面桿單元的坐標變換平面桿單元的坐標變換 在工程實際中，桿單元可能處于在工程實際中，桿單元可能處于整體坐標系整體坐標系(global coordinate system)中的任意一個位置，如圖中的任意一個位置，如圖3-6所示，這需要所示，這需要將原來在將原來在局部坐標系局部坐標系(local coordinate system)中所得到的單元中所得到的單元表達等價地變換到整體坐標系中，這樣，不同位置的單元才有表達等價地變換到整體坐標系中，這樣，不同位置的單元才有公共的坐標基準，以便對各個單元進行集成公共的坐標基準，以便對各個單元進行集成(即組裝即組裝)。圖。圖3-6中中的整體坐標

11、系為的整體坐標系為( )，桿單元的局部坐標系為，桿單元的局部坐標系為(ox)。 2. 空間桿單元的坐標變換空間桿單元的坐標變換 3.1.4 桿單元分析的桿單元分析的MATLAB程序程序 學習有限元方法的一個最佳途徑，就是在充分掌學習有限元方法的一個最佳途徑，就是在充分掌握基本概念的基礎上親自編寫有限元分析程序，這就握基本概念的基礎上親自編寫有限元分析程序，這就需要一個良好的編程環(huán)境或平臺，需要一個良好的編程環(huán)境或平臺，MATLAB軟件就是軟件就是這樣一個平臺，它以功能強大、編程邏輯直觀、使用這樣一個平臺，它以功能強大、編程邏輯直觀、使用方便見長，從本節(jié)開始，將自主學習方便見長，從本節(jié)開始，將自主學習MATLAB程序，程序，并編寫以下程序：并編寫以下程序：1D桿單元的有限元分析程序桿單元的有限元分析程序(Bar1D2Node)2D桿單元的有限元分析程序桿單元的有限元分析程序(Bar2D2Node) 3.1.5 桿結構分析的算例桿結構分析的算例 【典型例題典型例題】3.1.5(1