第三章 運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性基礎(chǔ)

1、高等動(dòng)力學(xué)中國礦業(yè)大學(xué)力建學(xué)院力學(xué)系李毅2-1 目 錄 第三章 運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性基礎(chǔ) 3-1 基本概念 3-2 相平面方法 3-3 李雅普諾夫直接方法 3-4 一次近似穩(wěn)定性理論 3-5 機(jī)械系統(tǒng)的穩(wěn)定性 2-23-1 基本概念2-3相軌跡相點(diǎn)或相空間維空間稱為狀態(tài)空間，建立抽象的以狀態(tài)變量為基，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，：動(dòng)力學(xué)方程一般可寫作.,), 2 , 1(),(2121nyyynjtyyyYynnjj穩(wěn)定：受擾運(yùn)動(dòng)與未擾運(yùn)動(dòng)相差不大。不穩(wěn)定：受擾運(yùn)動(dòng)與未擾運(yùn)動(dòng)相差大。1. 擾動(dòng)方程),(),(,),(n2121tYYYyyyTnTnyYyYy動(dòng)力學(xué)方程可寫作維列陣引入)()(),(),(0s0s

2、sttttsyyyYyyy其初始條件為動(dòng)或穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，我們稱為未擾運(yùn)此特解代表系統(tǒng)的一種滿足設(shè)此方程的特解為件但對(duì)應(yīng)于不同的初始條的解，同一動(dòng)力學(xué)微分方程組與未擾運(yùn)動(dòng)顯然受擾運(yùn)動(dòng))()(sttyy為擾動(dòng)稱)()()()(ttttsxyyx),(),(),(),()(tttttssyYxyYxXxXx2. 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義穩(wěn)定。（則稱未擾運(yùn)動(dòng)，均有對(duì)于所有的動(dòng)，只要其初擾動(dòng)滿足，對(duì)一切的受擾運(yùn)存在正數(shù)，正數(shù)定義一：若給定任意小)(,)(00tttttsyxx內(nèi)都將永遠(yuǎn)限制在內(nèi)出發(fā)的任意一條相跡幾何解釋：SS漸近穩(wěn)定。（則稱未擾運(yùn)動(dòng)，時(shí)均有定，且當(dāng)定義二：若未擾運(yùn)動(dòng)穩(wěn))0)(tttsyx為不

3、穩(wěn)定。（則稱未擾運(yùn)動(dòng)，滿足存在時(shí)刻時(shí)當(dāng)初擾動(dòng)滿足，存在受擾運(yùn)動(dòng)，對(duì)任意小正數(shù)定義三：若存在正數(shù))(,)(),(1010ttttttsyxxy。都將漸近地向原點(diǎn)趨近內(nèi)出發(fā)的任意一條相跡幾何解釋：S的邊界。到內(nèi)出發(fā)的相跡，最終達(dá)多小，總有一條幾何解釋：無論SSS李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義基于以下條件：在同一微分方程支配下，受擾運(yùn)動(dòng)僅由初擾動(dòng)引起，在初擾動(dòng)后，系統(tǒng)不再受其他擾動(dòng)，且受擾運(yùn)動(dòng)與未擾運(yùn)動(dòng)在 t無限時(shí)間內(nèi)的同一時(shí)刻進(jìn)行比較。軌道穩(wěn)定性軌道穩(wěn)定性只要求受擾運(yùn)動(dòng)軌道與未擾運(yùn)動(dòng)軌道充分接近，但同一時(shí)刻兩者可能相距甚遠(yuǎn)。定從而振子的平衡位置穩(wěn)代人上式，導(dǎo)出，將)1,1min(00020

4、10 xx3-2 相平面方法不顯含時(shí)間 t 的系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng)。對(duì)單自由度自治系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)過程可由相平面內(nèi)的軌跡來描述。系統(tǒng)平衡對(duì)應(yīng)相跡為奇點(diǎn)。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性的幾何解釋，可從奇點(diǎn)的不同類型，確定奇點(diǎn)附近的相跡走向，從而確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。這種直觀的幾何方法稱為相平面方法。 )(,)(0)(22121xfxxxxxxxxfxfx 引入新變量稱為“力”1. 保守系統(tǒng)的能量積分為“機(jī)械能”為“勢(shì)能”，稱稱積分得相軌跡方程：ExVdxxfxVExVxxxfdxdxx)()()(,)(21)(1011122211212. 相軌跡特性每一條相跡代表系統(tǒng)的一種可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。所有相跡代表所有可能

5、的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，也包括平衡狀態(tài)?？紤]到初始條件的連續(xù)性，相軌跡一般來說可以充滿相平面（整個(gè)或局部） 。獲得相軌跡可由運(yùn)動(dòng)方程亦可由上述方程。顯然，平衡狀態(tài)的相跡為一個(gè)點(diǎn)，反之，相軌跡退化為一個(gè)點(diǎn)時(shí)（稱為奇點(diǎn)），對(duì)應(yīng)于一個(gè)平衡狀態(tài)。研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，可由奇點(diǎn)的特征獲得。因?yàn)楦鶕?jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定義，擾動(dòng)引起的相跡改變?cè)谄纥c(diǎn)的附近（鄰域），稱為（平衡）穩(wěn)定。因此“中心”對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)“鞍點(diǎn)”對(duì)應(yīng)于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)奇點(diǎn)分類：（1）中心，指奇點(diǎn)周圍的相跡為圍繞奇點(diǎn)的類型（2）鞍點(diǎn)，指奇點(diǎn)周圍的相跡有不圍繞奇點(diǎn)的類型根據(jù)相跡方程（3.2.4），相跡奇點(diǎn)的類型可由勢(shì)能函數(shù)V(x)獲得?？偨Y(jié)如下：穩(wěn)定稱為

6、“退化鞍點(diǎn)”，不右側(cè)具有鞍點(diǎn)性，有中心性，在左側(cè)具處，在勢(shì)能拐點(diǎn)的定奇點(diǎn)為“鞍點(diǎn)”，不穩(wěn)處，對(duì)應(yīng)的勢(shì)能取極大值的奇點(diǎn)為“中心”，穩(wěn)定處，對(duì)應(yīng)的勢(shì)能取極小值的是相跡的奇點(diǎn)。的駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)勢(shì)能交處，相軌跡與橫坐標(biāo)相的交點(diǎn)與勢(shì)能相軌跡對(duì)橫坐標(biāo)對(duì)稱3331211121132111)6()5()4(, 0, 0)()()3(,)()2() 1 (SSSxSxSxxxfxVzCCCxEzxVz3. 拉格朗日定理 若單自由度保守系統(tǒng)的勢(shì)能在平衡位置處有孤立極小值，則平衡穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。該定理稱為“拉格朗日-狄里克雷定理”，簡(jiǎn)稱“拉格朗日定理”中心：對(duì)應(yīng)于單擺下垂位置鞍點(diǎn)：對(duì)應(yīng)于單擺倒立位置結(jié)論：?jiǎn)螖[下垂位置穩(wěn)

7、定， 單擺倒立位置不穩(wěn)定4. 靜態(tài)分岔之變化。參數(shù)的變化時(shí)，相跡隨為：則勢(shì)能，運(yùn)動(dòng)微分方程為：于某個(gè)參數(shù)設(shè)保守系統(tǒng)的力場(chǎng)依賴xdxxfxVVxfx0),(),(0),( 現(xiàn)象稱為分岔。的臨界值為分岔值。該為分岔參數(shù)，型產(chǎn)生突變，則稱主要指奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)和類突變，跡軌跡的拓?fù)湫再|(zhì)產(chǎn)生經(jīng)過某個(gè)臨界值時(shí)，相若如圖所示和分別對(duì)應(yīng)于平面分割成兩個(gè)區(qū)域，平面上確定的曲線將此該方程在）（由以下方程確定：相跡的奇點(diǎn)0),(0),(),(8.2.30),(sssssxfxfxxfx處為中心，平衡穩(wěn)定。而也是鞍點(diǎn)。同樣點(diǎn)。處取極大值，奇點(diǎn)為鞍在，表明勢(shì)能即有從正值變?yōu)樨?fù)值，因而時(shí)，變?yōu)榇笥谟尚∮诋?dāng)確定。，的縱坐標(biāo)的交

8、點(diǎn)與曲線可由直線，奇點(diǎn)的位置對(duì)于任意給定的參數(shù)2310001132100),(0),(, 0),(),(,2,310),(ssssssssssssxxxxxxxVxVxfxfxxxxxxxf 龐加萊方法:穩(wěn)定。則奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)，平衡不的下方，位于曲線如果區(qū)域定。則奇點(diǎn)為中心，平衡穩(wěn)的上方，位于曲線如果區(qū)域0),(0),(0),(0),(ssssxfxfxfxf線對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定圖中實(shí)線對(duì)應(yīng)穩(wěn)定，虛就是相跡的分岔值。，類型都發(fā)生突變，因此個(gè)數(shù)或經(jīng)過這些點(diǎn)時(shí)，奇點(diǎn)的當(dāng)都具有臨界性質(zhì)，或取不定值的點(diǎn)3213210sdxd于非線性系統(tǒng)。因此，分岔現(xiàn)象只存在無重根，不存在分岔值的線性函數(shù)，為若0),(),(xfx

9、xfrgsrgssfrgffcr分岔值為虛線對(duì)應(yīng)鞍點(diǎn)圖中，實(shí)線對(duì)應(yīng)中心，令3),arccos(2, 010),()cos(sin),(0),(22 5. 耗散系統(tǒng)cxxfxxxxxxxfxcx211221)(dd,0)(，有令：來說，其動(dòng)力學(xué)方程為則稱為耗散系統(tǒng)。一般性阻尼力，還有與速度成正比的粘設(shè)系統(tǒng)內(nèi)除保守力外， 處。都是與有阻尼時(shí)的奇點(diǎn)一致顯然，無阻尼時(shí)的奇點(diǎn)0)(xf為漸近穩(wěn)定。此時(shí)平衡狀態(tài)由穩(wěn)定轉(zhuǎn)普諾夫穩(wěn)定定義，于中心奇點(diǎn)。根據(jù)李雅看出，相跡將不斷趨近，可以）時(shí)，相跡斜率減少（當(dāng)也一定是中心。因?yàn)椋凶枘釙r(shí)，此點(diǎn)衡位置，奇點(diǎn)為中心。對(duì)于無阻尼時(shí)的穩(wěn)定平ccc00稱奇點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。往奇

10、點(diǎn)的射線，這時(shí)，點(diǎn)，成為直接通較大，相跡迅速接近奇當(dāng)阻尼較強(qiáng)時(shí)，穩(wěn)定焦點(diǎn)。旋線，這時(shí)，稱奇點(diǎn)為形成一條趨近中心的螺軌跡的部分特征，較小，相跡仍保持封閉當(dāng)阻尼較弱時(shí)，cc定結(jié)點(diǎn)。改稱不穩(wěn)定焦點(diǎn)或不穩(wěn)變?yōu)椴环€(wěn)定。奇點(diǎn)類型狀態(tài)跡不斷向外擴(kuò)展，平衡時(shí)，阻尼成為激勵(lì)，相當(dāng)0c3-3 李雅普諾夫直接方法不求解運(yùn)動(dòng)微分方程，而是根據(jù)擾動(dòng)微分方程本身直接判斷其零解的穩(wěn)定性。1. 定號(hào)，半定號(hào)和不定號(hào)函數(shù)函數(shù)）。為半正定函數(shù)（半負(fù)定，稱時(shí)，而對(duì)原點(diǎn)的鄰域當(dāng)且僅當(dāng)定義二：）。統(tǒng)稱為定號(hào)函數(shù)。為正定函數(shù)（負(fù)定函數(shù)，稱時(shí)，而對(duì)原點(diǎn)的鄰域當(dāng)且僅當(dāng)定義一：連續(xù)實(shí)函數(shù)。原點(diǎn)鄰域內(nèi)的單值維狀態(tài)空間是設(shè))()0(0000)()

11、0(0000),(n)(21xxxxxxxxVVVVVVVVxxxVn為不定號(hào)函數(shù)。正值也可取負(fù)值，稱可取時(shí)，而對(duì)原點(diǎn)的鄰域當(dāng)且僅當(dāng)定義三：)(000 xxxVVV2. 李雅普諾夫定理運(yùn)動(dòng)漸近穩(wěn)定。為負(fù)定，則系統(tǒng)的未擾）解曲線計(jì)算的全導(dǎo)數(shù)（，使沿?cái)_動(dòng)方程可微正定函數(shù)定理二：若能構(gòu)造一個(gè)的未擾運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定。統(tǒng)為半負(fù)定或?yàn)榱?，則系）解曲線計(jì)算的全導(dǎo)數(shù)（，使沿?cái)_動(dòng)方程可微正定函數(shù)定理一：若能構(gòu)造一個(gè)為：維列向量，其擾動(dòng)方程為維自治系統(tǒng)，討論VVVVnn.3.13)(.3.13)(xxX(x)xx。系統(tǒng)的未擾運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定為正定，則）解曲線計(jì)算的全導(dǎo)數(shù)使沿?cái)_動(dòng)方程（，定號(hào)函數(shù)可微正定、半正定或不定理三：若能構(gòu)

12、造一個(gè)VV.3.13)(x上述定理的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明可參考有關(guān)文獻(xiàn)。下面，我們從幾何觀點(diǎn)給出不嚴(yán)格但直觀的證明。此封閉曲線的內(nèi)切圓為相切的封閉曲線，選擇是與投影在相平面的，交于與曲面的最低點(diǎn)作平面過曲線，交于作圓柱面與曲面。過的圓為中心在相平面上作半徑相切。以原點(diǎn)為與平面。顯然此曲面在原點(diǎn)處函數(shù)曲面三維空間內(nèi)作正定。在設(shè)擾動(dòng)變量為二維，SSSSSconstVSSSSxxVxxxx32211212121),(),(),(x運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定。普諾夫的定義一，未擾。根據(jù)李雅方程的相跡均不能越出內(nèi)出發(fā)的每一條擾動(dòng)下方，因此從的必局限在的運(yùn)動(dòng)不可能上行，而上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在內(nèi)出發(fā)的相點(diǎn)為半負(fù)定或?yàn)榱悖瑒t從算的全導(dǎo)數(shù)）解曲

13、線計(jì)沿?cái)_動(dòng)方程（若SSSPPSVV2.3.13)(x。二，未擾運(yùn)動(dòng)漸近穩(wěn)定普諾夫的定義向原點(diǎn)逼近。根據(jù)李雅必對(duì)應(yīng)的點(diǎn)至最底點(diǎn)，在相平面上下降點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)必沿為負(fù)定，則若PPV運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定。三，未擾根據(jù)李雅普諾夫的定義邊界。的地遠(yuǎn)離原點(diǎn)而達(dá)到指定點(diǎn)必相應(yīng)上升。相平面內(nèi)的的運(yùn)動(dòng)必沿的區(qū)域內(nèi)出發(fā)的點(diǎn)為正定，在不定，而若SPPVVV 03. 拉格朗日定理在3-2中給出了單自由度保守系統(tǒng)穩(wěn)定性的拉格朗日定理。利用李雅普諾夫直接方法，可以進(jìn)一步證明，拉格朗日定理也適用于任意自由度的保守系統(tǒng)系統(tǒng)。取系統(tǒng)的哈密頓函數(shù) H=T+V 為李雅普諾夫函數(shù)，其中動(dòng)能為廣義速度的正定二次齊次函數(shù)，將平衡位置作為勢(shì)能的零點(diǎn)。若勢(shì)

14、能在V平衡位置取孤立極小值，則 V為廣義坐標(biāo)的正定函數(shù)。因此 H=T+V為正定函數(shù)。由于保守系統(tǒng)存在能量積分，T+V均為常數(shù)，其沿?cái)_動(dòng)方程的解曲線的全導(dǎo)數(shù)必等于零。根據(jù)李雅普諾夫的定理一，平衡位置穩(wěn)定。拉格朗日定理拉格朗日定理：若勢(shì)能V在平衡位置取孤立極小值，則保守系 統(tǒng)的平衡穩(wěn)定。切塔耶夫定理切塔耶夫定理：若勢(shì)能V在平衡位置取孤立極大值，且V為廣 義坐標(biāo)的二次齊次函數(shù)，則保守系統(tǒng)的平衡不穩(wěn)定。3-4 一次近似穩(wěn)定性理論李雅普諾夫直接方法理論上適用于一切非線性系統(tǒng)，但由于缺乏普遍適用的構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的方法，因此，實(shí)際應(yīng)用時(shí)存在不少困難。線性系統(tǒng)已經(jīng)發(fā)展的十分完善。將非線性系統(tǒng)近似化為線性系

15、統(tǒng)，稱為一次近似系統(tǒng)。能否用一次近似系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析代替非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，需要研究。本節(jié)首先研究線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，然后給出李雅普諾夫一次近似理論。1. 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則 )(, 2 , 1,()(,)3 . 4 . 3(0雅可比矩陣式中次近似方程統(tǒng)的一到線性方程組，即原系略去二次及以上項(xiàng)，得勒級(jí)數(shù)，述擾動(dòng)方程右邊展成泰當(dāng)擾動(dòng)足夠小時(shí)，將上為：維列向量，其擾動(dòng)方程為維自治系統(tǒng)，討論njixXaannxjiijnnijAAxxX(x)xxnnnnnnnsssmnsssBemmmjst212121,0.34 . 3.34 . 3顯然有：每個(gè)根的重?cái)?shù)分別為個(gè)不同的特征值的特征值，設(shè)共有此

16、方程的根為的特征方程。次代數(shù)方程，即的展開后得到件是：有非零解的充分必要條（）得）為常值列陣，代入（式中）的解為：設(shè)（AAEAB0E)BABBx次多項(xiàng)式。的是則方程基本解為：重?cái)?shù)為有重的特征值為有界函數(shù)。實(shí)部時(shí)，對(duì)應(yīng)的基本解有零為臨界情形，特征值對(duì)應(yīng)的解無限增大。作的特征值正實(shí)部隨時(shí)間推移趨于零。有有負(fù)實(shí)部時(shí)，對(duì)應(yīng)的解特征值）的解為：個(gè)不同的單根，方程（有設(shè)1)(), 2 , 1()(,)2(), 2 , 1(.34 . 3) 1 (kktskkkkkkktsknttfnketfxnssssnkexnkkAA由于線性微分方程組的通解是由基本解的線性組合構(gòu)成，因此方程組（3.4.3）的零解穩(wěn)定性

17、可根據(jù)特征值的實(shí)部符號(hào)判定。歸納為以下定理。線性方程組穩(wěn)定性準(zhǔn)則 定理一：若所有特征值的實(shí)部為負(fù)，則線性方程組的零解漸近穩(wěn)定。 定理二：若至少有一特征值的實(shí)部為正，則線性方程組的零解不穩(wěn)定。具有正實(shí)部的特征值數(shù)目稱為不穩(wěn)定度。 定理三：若存在零實(shí)部的特征值，且為單根，其余根無正實(shí)部，則線性方程組的零解穩(wěn)定，但不是漸近穩(wěn)定。若為重 根， 則零解不穩(wěn)定。2. 李雅普諾夫一次近似理論 以上三定理適用于線性系統(tǒng)，李雅普諾夫證明，在一定條件下，從一次近似方程的穩(wěn)定性推斷原方程的穩(wěn)定性。歸納為以下定理。 定理一：若一次近似方程的所有特征值的實(shí)部為負(fù)，則原線性方程組的零解漸近穩(wěn)定。 定理二：若一次近似方程至

18、少有一特征值的實(shí)部為正，則原方程組的零解不穩(wěn)定。 定理三：若一次近似方程存在零實(shí)部的特征值，其余根無正實(shí)部，則不能判斷原方程組的零解穩(wěn)定性。 定理一和定理二與線性系統(tǒng)相同，定理三為臨界情況，線性系統(tǒng)能判斷穩(wěn)定與否。但非線性系統(tǒng)不行，此時(shí)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性在很大程度上取決于略去的高次項(xiàng)。3. 勞斯-赫爾維茨判據(jù) 一次近似方程的全部特征值實(shí)部為負(fù)，是一次近似方程也是原方程的零解漸近穩(wěn)定的充分條件。 1895年提出的勞斯-赫爾維茨判據(jù)是判斷此條件是否滿足的實(shí)用方法。設(shè)線性方程組的特征方程展開后的一般形式為：以后的元素為零。排列，向右的元素依次為：）自對(duì)角線元素（以后的元素為零；排列，向左的元素依次為

19、：行內(nèi)，自對(duì)角線元素）任意（元素；，依次排列成主對(duì)角線，將階方陣下規(guī)則構(gòu)成。將此方程的系數(shù)按以規(guī)定002121210111032) 1 (:00aaaaaaaaaakaaanaasasasakkknnkkknnnnnDnkkknnkkknnnnnaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaakaaanaasasasa000000000000000032) 1 (:000123450123010021212101110以后的元素為零。排列，向右的元素依次為：）自對(duì)角線元素（以后的元素為零；排列，向左的元素依次為：行內(nèi)，自對(duì)角線元素）任意（元素；，依次排列成主對(duì)角線，將階方陣下規(guī)則構(gòu)成。將此方程

20、的系數(shù)按以規(guī)定D，赫爾維茨行列式：稱為特征多項(xiàng)式的個(gè)順序主子行列式的34512301323012110), 2 , 1(aaaaaaaaaaaaaninDi), 2 , 1(04.4.13nkk行列式均大于零，即條件為所有的赫爾維茨的充分必要）的所有根均有負(fù)實(shí)部定理：代數(shù)特征方程（3-5 機(jī)械系統(tǒng)的穩(wěn)定性 工程機(jī)械系統(tǒng)除受到重力和彈性恢復(fù)力等保守力以外，還受有阻尼力，有時(shí)對(duì)帶有旋轉(zhuǎn)部件的機(jī)械系統(tǒng)還有科氏慣性力引起的廣義力陀螺力。 一般來說，機(jī)械系統(tǒng)通常包含保守力，阻尼力和陀螺力。為反對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣，和陀螺陣。陣，阻尼陣分別稱為質(zhì)量陣，剛度，階方陣組可寫為：機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程GCKMGCKM0KxxG)(CxMf)4 . 5 . 3( 1. 線性化動(dòng)力學(xué)方程的普遍形式線性化動(dòng)力學(xué)方程的普遍形式2. 機(jī)械系統(tǒng)的穩(wěn)定