中南大學(xué)機械振動第二章(之一)

1、第二章第二章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng) 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)：只有一個自由度的振動系統(tǒng)稱為單自由度振動系統(tǒng)。 單自由度線性振動系統(tǒng)可以用一個常系數(shù)的二階線性常微分方程描述它的振動規(guī)律。 單自由度系統(tǒng)在振動理論及其應(yīng)用中是最基本的，是多自由度系統(tǒng)和連續(xù)體系統(tǒng)振動理論和方法的基礎(chǔ)。2.1 2.1 引言引言 幾種單自由度系統(tǒng)的示例:2.2 2.2 無阻尼自由振動無阻尼自由振動 自由振動自由振動：系統(tǒng)在初始激勵下或外加激勵消失后的一種振動形態(tài)。其振動規(guī)律完全取決于系統(tǒng)本身的性質(zhì)。2.2.1 2.2.1 運動微分方程運動微分方程 在不考慮系統(tǒng)振動時能量耗散的條件下，單自由度系統(tǒng)模型可以化簡為圖22所

2、示的無阻尼模型。圖 22 列出系統(tǒng)的運動微分方程的列出系統(tǒng)的運動微分方程的4 4個步驟個步驟： 1. 1. 取坐標(biāo)取坐標(biāo)：取定一個坐標(biāo)系以描述系統(tǒng)的運動，原點為靜靜平衡平衡時質(zhì)量所在位置位置。 取定一坐標(biāo)系Ox，O點為原點，彈簧無變形時質(zhì)量在原點上。 2. 2. 取質(zhì)量隔離體，分析其受力情況取質(zhì)量隔離體，分析其受力情況：設(shè)質(zhì)量沿坐標(biāo)正向有一移動，考察質(zhì)量的受力情況，畫出隔離體圖。 設(shè)質(zhì)量沿坐標(biāo)正向移動了x，彈簧左端受約束不能運動，因而位移為零，彈簧右端位移為x-0 x。這樣，彈簧的總變形量為兩端位移之差，等于x。因此彈簧力大小為kx 3. 3. 列運動微分方程列運動微分方程：按牛頓第二定律寫出

3、運動微分方程 上述結(jié)論與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，但選擇合適的坐標(biāo)系有助結(jié)論與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，但選擇合適的坐標(biāo)系有助于簡化問題的求解。于簡化問題的求解。以下例說明。例例2.12.1 考慮汽車的垂直振動，并只考慮懸架質(zhì)量，彈性元件為汽車的板簧。此時汽車垂直振動模型如圖23(a)所示，忽略阻尼。圖 23 在振動分析中，通常只對系統(tǒng)的動力響應(yīng)感興趣，希望方程的解中只包括動力響應(yīng)。將描述系統(tǒng)振動的坐標(biāo)系的原點取在系統(tǒng)的靜平衡位置可以做到這一點。 結(jié)論結(jié)論: 對于線性振動系統(tǒng)，可將其受到的激勵分為與時對于線性振動系統(tǒng)，可將其受到的激勵分為與時間無關(guān)的靜載荷和與時間有關(guān)的動載荷，分別計算系間無關(guān)的靜載荷和與時間

4、有關(guān)的動載荷，分別計算系統(tǒng)的靜力響應(yīng)和動力響應(yīng)，系統(tǒng)的總響應(yīng)為靜力響應(yīng)統(tǒng)的靜力響應(yīng)和動力響應(yīng)，系統(tǒng)的總響應(yīng)為靜力響應(yīng)和動力響應(yīng)之和。和動力響應(yīng)之和。2.2.2 2.2.2 求固有頻率的方法求固有頻率的方法1 1靜態(tài)位移法靜態(tài)位移法 2. 2.能量法能量法 系統(tǒng)振動時動能、勢能要相互轉(zhuǎn)換。根據(jù)能量關(guān)系也能求系統(tǒng)的固有頻率。對于單自由度系統(tǒng)，用對于單自由度系統(tǒng)，用能量法求固有頻率有兩種方法：能量法求固有頻率有兩種方法：例2.3 如圖2-5所示系統(tǒng)，繩索一端接一質(zhì)量，另一端繞過一轉(zhuǎn)動慣量為I的滑輪與彈簧相接，彈簧的另一端固定。設(shè)繩索無伸長，繩索與滑輪之間無滑動。此時系統(tǒng)可視為單自由度系統(tǒng)，求系統(tǒng)的固

5、有頻率。圖 2-5討論：討論：取質(zhì)量m的位移為描述系統(tǒng)運動的坐標(biāo)重算一遍該系統(tǒng)的固有頻率，其結(jié)果應(yīng)與上面相同。系系統(tǒng)的固有頻率與所選取的坐標(biāo)系無關(guān)。統(tǒng)的固有頻率與所選取的坐標(biāo)系無關(guān)。上題如果用靜態(tài)位移法求解，將涉及未知的繩與滑輪的靡擦力，因而無法計算靜態(tài)位移。因此能量法對有約束力但約束力不做功的情況更為適用。補充例題：補充例題：習(xí)題習(xí)題2.1 2.1 彈簧下懸掛一物體，彈簧靜伸長為彈簧下懸掛一物體，彈簧靜伸長為 。設(shè)。設(shè)將物體向下拉，使彈簧有靜伸長將物體向下拉，使彈簧有靜伸長3 3 ，然后無初速度，然后無初速度地釋放，求此后的運動方程。地釋放，求此后的運動方程。 習(xí)題習(xí)題2.2 2.2 彈簧不

6、受力時長度為彈簧不受力時長度為65cm65cm，下端掛上，下端掛上1kg1kg物體后彈簧長物體后彈簧長85cm85cm。設(shè)。設(shè)用手托住物體使彈簧回到原長后無初速度地釋放，試求物體的運動方程、用手托住物體使彈簧回到原長后無初速度地釋放，試求物體的運動方程、振幅、周期及彈簧力的最大值。振幅、周期及彈簧力的最大值。習(xí)題習(xí)題2.3 2.3 重物重物m ml l懸掛在剛度為懸掛在剛度為k k的彈簧上并處于靜平衡位置，的彈簧上并處于靜平衡位置，另一重物另一重物m m2 2從高度為從高度為h h處自由落到處自由落到m ml l上而無彈跳，如圖上而無彈跳，如圖TT2.32.3所示，求其后的運動。所示，求其后的

7、運動。圖 T2.3 習(xí)題習(xí)題2.4 2.4 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m m、轉(zhuǎn)動慣量為、轉(zhuǎn)動慣量為I I的圓柱體作自由純滾動，的圓柱體作自由純滾動，圓心受到一彈簧圓心受到一彈簧k k約束，如圖約束，如圖T T2.42.4所示，求系統(tǒng)的固有頻率。所示，求系統(tǒng)的固有頻率。習(xí)題習(xí)題2.5 2.5 均質(zhì)桿長均質(zhì)桿長L L、重、重G G，用兩根長，用兩根長h h的鉛垂線掛成水平位的鉛垂線掛成水平位置，如圖置，如圖T T2.52.5所示，試求此桿相對鉛垂軸所示，試求此桿相對鉛垂軸OOOO微幅振動的周微幅振動的周期。期。圖 T2.5習(xí)題習(xí)題2.6 2.6 求如圖求如圖T T2.62.6所示系統(tǒng)的周期，三個彈簧都成鉛

8、垂，所示系統(tǒng)的周期，三個彈簧都成鉛垂，且且k2k22k12k1，k3=k1k3=k1。圖 T2.6習(xí)題習(xí)題2.7 2.7 如圖如圖T T2.72.7所示，半徑為所示，半徑為r r的均質(zhì)圓柱可在半徑為的均質(zhì)圓柱可在半徑為R R的的圓軌面內(nèi)無滑動地、以圓軌面最低位置圓軌面內(nèi)無滑動地、以圓軌面最低位置O O為平衡位置左右微擺，為平衡位置左右微擺，試導(dǎo)出柱體的擺動方程，求其固有頻率。試導(dǎo)出柱體的擺動方程，求其固有頻率。 圖 T2.7習(xí)題習(xí)題2.8 2.8 橫截面面積為橫截面面積為A A，質(zhì)量為，質(zhì)量為m m的圓柱形浮子靜止在比重的圓柱形浮子靜止在比重為的液體中。設(shè)從平衡位置壓低距離為的液體中。設(shè)從平衡

9、位置壓低距離x x( (見圖見圖T T2.8)2.8)，然后無，然后無初速度地釋放，若不計阻尼，求浮子其后的運動。初速度地釋放，若不計阻尼，求浮子其后的運動。習(xí)題習(xí)題2.10 2.10 如圖如圖T T2.102.10所示，輪子可繞水平軸轉(zhuǎn)動，對轉(zhuǎn)軸所示，輪子可繞水平軸轉(zhuǎn)動，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為I I，輪緣繞有軟繩，下端掛有重量為，輪緣繞有軟繩，下端掛有重量為P P的物體，的物體，繩與輪緣之間無滑動。在圖示位置，由水平彈簧維持平衡。繩與輪緣之間無滑動。在圖示位置，由水平彈簧維持平衡。半徑半徑R R與與a a均已知，求微振動的周期。均已知，求微振動的周期。 圖T2.10圖T2.122.2.3 2.2.3 有效質(zhì)量有效質(zhì)量 離散系統(tǒng)模型約定離散系統(tǒng)模型約定：系統(tǒng)的質(zhì)量集中在慣性元件上，彈性元件無質(zhì)量。 約定成立的條件約定成立的條件：當(dāng)彈性元件的質(zhì)量遠(yuǎn)小于系統(tǒng)總質(zhì)量時，略去彈性元件的質(zhì)量對系統(tǒng)的振動特性影響不大。當(dāng)彈性元件的質(zhì)量占系統(tǒng)質(zhì)量的相當(dāng)部分時，略去它會使計算得到的固有頻率住偏高固有頻率住偏高。如果彈性元件有質(zhì)量，則它在振動中不但能儲存勢能，也能儲存動能。系統(tǒng)的總動能應(yīng)該是慣性元件儲存的動能加上彈性元件儲存的動能。因此，可以采用能量等效的方采用能量等效的方法（等效質(zhì)量法）法（等效質(zhì)量法），加大慣性元件的