6-邊界層方程

1、§9.邊界層方程考慮不可壓粘性流體的平板邊界層流動(dòng)。在這一類定常的邊界層流動(dòng)中，流向坐標(biāo)x的作用類似于非定常流動(dòng)中的時(shí)間坐標(biāo)t，因此可以沿著x方向推進(jìn)。這種方法稱為空間推進(jìn)方法?？臻g推進(jìn)方法將從j=0線上的來(lái)流開(kāi)始，沿x方向，向下游推進(jìn)，逐步計(jì)算出j=1線、j=2線、等各條線上的流動(dòng)參數(shù)。3平板邊界層流動(dòng)的控制方程+fx=0抖/uu+v抖y2udu+Ue_勺y2edx這里u=u（x）是邊界層外緣處的速度分布。通過(guò)求解邊界層外的eedu無(wú)粘流動(dòng)，可事先求得u。因此在邊界層流動(dòng)的求解中，u_嚴(yán)這eedx一項(xiàng)是已知的。邊界層流動(dòng)控制方程的初始條件是在平板前緣（j=0線），給定來(lái)流速度u=V

2、，v=0¥而邊界條件是沿壁面（k=0線），速度u=0,v=0取特征速度V和特征長(zhǎng)度¥界層流動(dòng)的控制方程成為L(zhǎng)=1，將方程無(wú)量綱化，平板邊方程中uu=V¥V而Re=vv=-V¥uu=eeV¥是（來(lái)流，雷諾數(shù)。2U+duueedx下面為了簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，省略所有無(wú)量綱量上方的橫杠。按照空間推進(jìn)的觀點(diǎn)，流向坐標(biāo)x是類時(shí)間坐標(biāo)。因此邊界層方程中的第一個(gè)方程，就是a=1>0的對(duì)流方程，可用迎風(fēng)格式uj+1-ujvj-vjkJ+_kk-1=0DxDy離散。這里，為了體現(xiàn)空間推進(jìn)方法與非定常流動(dòng)時(shí)間推進(jìn)的相似性特意將x方向網(wǎng)格的指標(biāo)j寫成了上標(biāo)。這一格式的精

3、度較低，x方向和y方向都是一階的。穩(wěn)定性條件是xD在網(wǎng)格中點(diǎn)y。作為改進(jìn)方案，可考慮類似于交錯(cuò)網(wǎng)格的處理，k-1處列出差分格式并改用隱式格式即uj+1+uj+1uj+ujk-1k-k-1k2Vi+1-Vi+1+丄k-L=0dy這樣可將y方向的精度提高到二階，并改善格式的穩(wěn)定性。同時(shí)還可以抑制“棋盤”模式的振蕩。類似地，控制方程中的第二個(gè)方程，就是a=1Rexu的對(duì)流擴(kuò)散方程?？刹捎玫牟罘指袷接酗@式中心差分格式uj+1-ujuj-ujui-kk+vjk+1k-AkDxk2Dy1uj-2uj+ujk+ikk-1+ReDy2(X比jdx這一格式的精度較高，x方向一階，y方向可達(dá)二階。但穩(wěn)定性條件較為

4、苛刻，推進(jìn)步長(zhǎng)的限制為Dx?min驏* 2u2Dy2* Rexu*桫，v2驏u1Re鬃Dy2±min&桫Rev2實(shí)際計(jì)算中，考慮到速度剖面的單調(diào)性，u可取其最小值uj1再取b=maxkvjk，則有DxWuj1驏驏21Re亍min桫RebrD"壬i7顯式迎風(fēng)格式uj+1-ujuj-ujUjkk+vjk+1注丄kDxk2Dy1uj-2uj+ujk+1kk-1+ReDy2vjkujk+12uj+uj()dukk-1+ue2Dyejdx這一格式的精度較低，x方向和y方向都是一階的。但是穩(wěn)定性條件放寬了，推進(jìn)步長(zhǎng)的限制是DxDy22v+DyRe檢uDy2+vDyReDxWuj

5、1Dy22Re+bDy平均隱式格式j(luò)+1-k+1Uj+1-Uj1&Uj-k匕+vj?丫kDxk2桫2Dyuj+1k-1uj-uj十k+1k-1孑2Dy刁11驏驏j+1-2uj+1+uj+1?_£k+1kk-1Re2桫Dy2ujk+12uj+uj士kk-1¥+Dy2刁()duUeejdx這一格式的精度最好，X方向和y方向都是二階的，而且是無(wú)條件（線性）穩(wěn)定的。但是需要求解方程組（如果不用凍結(jié)系數(shù)法，方程組還是非線性的）。完全隱式格式uj+1-ujuj+1-uj+1ui_±丄+vjk+1k-_L=kDxk2Dy1uj+1-2uj+1+uj+1k+Jkk-1+u

6、ReDy2e(x比idxX.i這一格式的精度為x方向一階，y方向二階，無(wú)條件（線性）穩(wěn)定的。也需要求解方程組。注）上面談到的穩(wěn)定性，是根據(jù)凍結(jié)系數(shù)法所做的線性化穩(wěn)定性分析。網(wǎng)格比這里不考慮邊界層分離等復(fù)雜的流動(dòng)現(xiàn)象，因此可以認(rèn)為速度分量u>0。如果出現(xiàn)分離，整個(gè)空間推進(jìn)的做法都不成立了，因?yàn)轭悤r(shí)間坐標(biāo)是不可逆的。顯式格式的優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算簡(jiǎn)單，計(jì)算步驟是一個(gè)遞推過(guò)程。以顯式中心差分格式ui+1+ui+1k-1k-2uik-+ui012k+vi+1-vi+1kk-1=DyDxui+1-uiui-ui1ui-2ui+uiui-Jc4+vik+1k-1=k+1kk-1+UkDxk2DyReDy2(

7、x)iduedx為例，具體的計(jì)算步驟如下。1.在j=0線給定初始條件u0=1，v0=0，（k=,32,1L）kk但是在前緣（j=0，k=0）處，需按邊界條件給定u0=0，v0=0002.給定推進(jìn)計(jì)算的最大步數(shù)n。對(duì)j=0,1,2,3,L,n3.先給定j+1線的邊界條件uj+1=0vj+1=00，04.利用j線上的計(jì)算結(jié)果，根據(jù)取定的CFL數(shù)和格式的穩(wěn)定性條件確定X方向上的網(wǎng)格尺寸Dx（也就是空間推進(jìn)的步長(zhǎng)）Dx=CFL鬃j1min驏L丄竺Dy2左'7桫Reb22其中bj=maxvjk5.動(dòng)量方程的差分格式是uj+1k的顯式格式輊Dx犏犏犏uj+1=uj+kkujkuj-ujVjk+1k

8、-1+k2Dy1Reuj-2uj+ujk+1kk-1+uDy2(X巴jdx（對(duì)于無(wú)壓力梯度的平板邊界層流動(dòng)，叫=0,dx上式右邊方括號(hào)內(nèi)的最后一項(xiàng)為零。）對(duì)k=1,2,3,L，由此式依次計(jì)算出uj+1，直到在某k一個(gè)k值k=K處，計(jì)算出的uj+1滿足條件kuj+130.9995u(x)Kej+1此時(shí)可認(rèn)為已經(jīng)到達(dá)邊界層外緣，停止j+1線上uj+1k的計(jì)算。同時(shí)也確定了j+1線邊界層外緣的位置x=x，y=yj+1K6.在求出uj+1之后，連續(xù)性方程的差分格式成為vj+1的kk顯式格式vj+1=vj+1-kk-1uj+1kuj+uj土k一1k_工2土可對(duì)k=1,2,3,L,K，依次計(jì)算出vj+1。k7.如果j<n，將j加1，返回；否則，結(jié)束計(jì)算?？紤]雷諾數(shù)為400的具體算例(無(wú)壓力梯度)。建議計(jì)算參數(shù)按下述方式取