初中數(shù)學(xué)相似三角形模型題型大全-值得收藏

1、初中數(shù)學(xué)相似三角形模型（題型）大全-值得收藏一、比的性質(zhì):特征：比的基本性質(zhì)，合比性質(zhì)，等比性質(zhì)aca2bc2d例1：已知一一3,則bdbd例2:如果P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>PB,則下列各等式AB2=AP?PB,ap2=pb?ab,bp2=ap?pb,ap/ab=pb/ap中，正確的是（）例3:已知acLca_»k,則k的值為（bac二、平行A字型如圖（1）DEBC,則ADEABC特征：ADEABC應(yīng)用1:（求線段的長(zhǎng)）ADAEDEABACBC10則AE的長(zhǎng)為（）3如圖（2）DE/BC,且DB=AE,若AB=5,AC=10,角度:DE/平行產(chǎn)生比例ABBCBDAC10

2、10ECAEEC10,AE例2.如圖（3）ABC中，BC=a是AB邊的五等分點(diǎn);Ci,C2,C3,C4是AC邊的五等分點(diǎn)，則B1clB2C2B3c3B4c4（2a）應(yīng)用2：（證明比例線段）111例3.如圖（4）,DE/BC/AF,求證：DEAFBC證明：分析：此題用了兩個(gè)平行A字型在ABC中，DEBC,ADDE一一ABBC在ABF中，DE/AFDBDE小小/曰ADDB+得ABDEABAFDE1DE(1BC1BCAFDEBCAF應(yīng)用3:（證明線段相等）例4.如圖（5）,一直線與ABC的邊AB,AC及BC的延長(zhǎng)線分別交于F。求證：若王變，則D是AB的中點(diǎn)。ECCFD、E、證明：作ADCMCM/BA

3、與EF交于M,則ADEACMEAEAE+EC'ECBFCFADCMBFCM/BDCFBDBFCMCFADBD,，從而ADCMCMD是AB的中點(diǎn)。BD.例5.如圖（6）已知如圖，在4ABC中,/BCA=900BF,交AC于P,過(guò)P作PQ/BC,證明：rACEF為正方形CP/EFPCEFBPBF例6.如圖（7）,此以直角邊AC為一邊向形外正方形ACEF,連接交AB于Q,求證：PC=PQBCPABEFBP又.,PQ/BC/FABFPQEFFAPCFAEF在ABC中,BPQABFAPQPCPQFA以邊向外作矩形ACDE,BE于AC交于F,FG/CB交AB于G,如果CF=FG,證明：那么矩形CF

4、VCF/DEvDEvFG/AEFGAE：CFFGDEBFBEBFBEAEACDE具有什么特征?矩形ACDE是正方形例7：馬戲團(tuán)讓獅子和公雞表演蹺蹺板節(jié)目，蹺蹺板支柱AB的高度為1.2米。（1）若吊環(huán)高度為2米，支點(diǎn)A為蹺蹺板的PQ中點(diǎn)，獅子能否把公雞送到吊環(huán)上？為什么？（2）若吊環(huán)的高度為3.6米，在不改變其他條件的情況下移動(dòng)支點(diǎn)，當(dāng)支點(diǎn)A移到蹺蹺板PQ的什么位置時(shí)，獅子剛好能將公雞送到吊環(huán)上?平行A字型的實(shí)際問(wèn)題1。如圖（1）測(cè)量小玻璃管口的量具ABC上，AB的長(zhǎng)為10毫米，AC被分為60等份。如果小管口DE正好對(duì)著量具上30份（DE平行AB）,那么小管口徑DE的長(zhǎng)是-5一毫米。5米的位置上

5、，則球拍擊球的高度H應(yīng)為2。如圖2小明在打網(wǎng)球時(shí)，要使球恰好能打過(guò)網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)2.7米.3、如圖4已知BC是圓O的直徑，線段MN/BC,A是MN上任意一點(diǎn)，AF與圓O相切于F,連結(jié)AB與圓O相交于Q,D是AB上一點(diǎn)，且AD=AF,DEAB與AC的延長(zhǎng)線交于E。（1）求證：CD/BE（2）若MN與BC之間的距離為5,BC=4,求證：當(dāng)點(diǎn)A變動(dòng)時(shí)，ADE的面積是個(gè)定值(3)若AF:AE=1:2,AC:BC=J2:J3,求BCA的度數(shù)(1)證明：AF2=AQAB,AD=AF,AD2=AQABADAQAB-AD又因?yàn)镼C/EFAQACAD-AEADACAB-AECD/BE（2）證明：SBCD=SD

6、ECBCDDEC所以ADE的面積是一個(gè)定值。SABC=S14ADE25=20(3)AC=限,QC="K,BC=3K,COSQCB='K=石/2所以3KBCQ=450,所以bca=750三、平行X字型如圖（1）DE/BC,則AEDsMCB特征：ADEAACBAEADDEACABBC應(yīng)用1:（證明比例線段）例1.已知，如圖（2）一直線與四邊形ABCD的AB、CD邊交于E、H,與AC交于G,與AD、CB的延長(zhǎng)線交于P、F,求證：GP-GH=EG-FG證明：（分析：此題應(yīng)用兩次X字型）/PA/CF,HC/AEPGGFPGAGAGGEGC,GCGHEGFGGHPGCHEGFG例2.如圖

7、（3）GQ與。2外切于點(diǎn)P,外公切線AB切0Oi于點(diǎn)A,切0O2于點(diǎn)B,0Oi與。O2的一,AP2半徑分別為r和R,求證：二BP2證明：RtABC構(gòu)成三直角模型BP2AP-PCAP2BP2AP2APAPPCPCO2ABCBA900O2A/BC在力AO2P和小PCO2中,APPCAO2CO2AP2BP2例3、如圖（4）DE是.ABC的中位線;F是DE的中點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交AH:HE等于（B）C1DG/AC3:2BHBDDGDFDG1BAAH例4、如圖（求證：5）,已知點(diǎn)EH1EHAHM是矩形DGEHME*BF=BE*MF21ABCD點(diǎn)G,的邊CD的中點(diǎn)，連BM與AC交于巳與AD的延長(zhǎng)線交于F,i

8、口MFDMMC證明：YAF/BCMCMC/ABABFBMEBE例5、如圖（6）,D是AC上一點(diǎn),證明：方法一如圖6DCABMFMEME*BFBE*MFFBBEF是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AD=FB，連DF與AB交于E,求證：BC*EF=AC*DE。過(guò)D點(diǎn)作DM'，*DM/CB,/CB與AB交于MDMBCDMDE又BCACDEEFBC*EFADACAD=BF,AC*DE方法二如圖6,過(guò)F點(diǎn)作FN/ACBFEFN(6)交AB的延長(zhǎng)線于N,YFN/ACBFBCADFNACFNDE,vADBF,EFBCACDEEFBC*EFAC*DE例6、如圖:在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，AE交BD于

9、O,則Saaob等于(已知如圖(7),ABCD為正方形，以D點(diǎn)為圓心，AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的。O相交與P,C兩點(diǎn)，連結(jié)AC,AP,CP,并延長(zhǎng)(1)求證：AEP-ACEA(2)求BH:HC分析：此題應(yīng)用了雙割線模型(1) 證明：由124AEPACEA(2) 解：丫OF/ABAOHF-ABHACP,AP分別交AB,BC,。于E,H,F三點(diǎn)，連結(jié)OFOHOFBHAB.AB=BC=2OFOH1BH2設(shè)OH=k,HB=2k,貝UOC=OB=OH+HB=3kA四、HC=4kBH:HC=2k:4k=1:2直角模型圖（1）直角ABC直角ACDs直角BCDACBC,CDAB,則有AC2AD*AB;A

10、C*BCCD*AB（射影定理）BC2BD*AB;CD2AD*DB;例1、如圖(2)在ABC中ACB=90：,CDAB于D,求證ce*ac=ad*bd證明：在RtAACD中，CD2=CE*AC,在ce*ac=ad*bdRtAACB中，cd2=ad*bd例2、如圖（2）,在ABC,C=90：,CDAB于D,DEAC于E,垂足分別為D,E三直角模型求證：AC-BC2AECE證明：在RtABC中，AC2=AD*ABAC2bc2=bd*ab,2BC2ADBD又ED|BCAD_AEBDCEACAD2=AC*AF3、OA2=OD*OP(D)D、4個(gè)ABCA_2_ACAEBC2"CE例3、如圖(3)

11、在ABC中，ADBC于D,DEAB于E,DFAC于F,求證：AB*AE=AC*AF證明：ADBC,DEABABD-ADEAD2=AB*AE又ADBC,DFACDAADF因止匕AB*AE=AC*AF例4、如圖(4),BC是半圓的直徑，O是圓心，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA切半圓于點(diǎn)A,ADBC于點(diǎn)D,求證；PD*PO=PC*PB證明：；PA為切線，PA2=pc*PB,在RtAAOP中，PA2=PD*POPD*PO=PC*PB例5、如圖(5),點(diǎn)P是。O的直徑BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),PC于。O相切于點(diǎn)C,CDAB,垂足為D,連接AC,BC,DC,那么下列結(jié)論中：1、PC2=PA*PB2、PC*OC=OP*

12、CD4、OA(CP-CD)=AP*CD正確的結(jié)論有A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)分析：3、OC2=OA2=OD*OP4、OA(CP-CD)=PC*OA=OP*CD,OP=OA+APPC*OA=(OA+AP)*CD例6、如圖(6),在RtABC中,CD是斜邊上的高，DEBC于E,則圖中與4相似的三角形(不包才ABC)共有(B)A、5個(gè)B、4個(gè)C、3個(gè)D、2個(gè)分析：ABC4ACD4CDE4CDB4DEB例7、如圖3已知AB是圓O的直徑，圓O過(guò)AC的中點(diǎn)D,DEBC,E,求證(1)DE是圓O的切線(2)CD2=CDCBOD/BC所以/CED=(1)連結(jié)OD，jD是AC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn),/ODE=90

13、°,DE是圓O的切線。(2)連結(jié)DB,RtCDBCD2=CECB。例8。已知：如圖5ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上，連結(jié)DE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連ZDC,BE,若BDE+BCE=18°°(1)寫出圖中三對(duì)相似三角形(注意：不得加字母和線)(2)請(qǐng)?jiān)谀闼页龅南嗨迫切沃羞x取一對(duì)，說(shuō)明它們相似的理由。(1) ADEACB,AEBADC,CEFDBF,FEBFCD(2) BDE+BCE=18°°,BDE+1=8°°，1=ACB=»ADE相似ACB例9。如圖6以ABC的邊AB為直徑作圓O交BC與D,過(guò)D作

14、圓O的切線交AC與E,要使得DE垂直AC,則ABC的邊必須滿足的條件是-AB=AC連ZAD-例10。如圖7,圓0與圓02相交于D,E兩點(diǎn)，A是圓02上一點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線和AD的延長(zhǎng)線分別交圓02于B,C,DE=2,AC=12,BC=6,則AB二3AD五、格點(diǎn)模型例1.如圖（1）在正方形網(wǎng)格上有五個(gè)三角形，其中與三角形ABC相似（不包括ABC本身）的三角形有（A）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)例二在方格紙中，每個(gè)小格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫做格點(diǎn)三角形，在如圖（2）5*5的方格紙中，作格點(diǎn)ABC與4OAB相似（相似比不能為1）,則C點(diǎn)坐標(biāo)是（4,4）或(5,2)例2如圖（3）由邊長(zhǎng)為1

15、的25個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格上有一個(gè)ABC,在網(wǎng)格上畫一個(gè)與ABC相似且面積最大的AB1C1使它的三個(gè)頂點(diǎn)都落在小正方形的頂點(diǎn)，則A1B1C1的最大面積（5）（1）YAABC中，AB=夜，AC=寸而,BC=2,且S&ABC1,依題意A1B1C1中最長(zhǎng)邊AC1的長(zhǎng)度不大于572,圖（1）圖（2）5短,AABCsABiC,則AB=J2,BC=2眄,這時(shí)兩三角形的相似比為1：卮面積比圖（3）例4、如圖（4）,在大小為4*4的正方形方格中，畫一個(gè)AB1G，使A1B1clsABC（相似比不為ABC的頂點(diǎn)A,B,C在單位正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中1）,且點(diǎn)Ai,Bi,Ci都在單位正方形的頂點(diǎn)上分

16、析：由圖可知ABC中BC=2,AB=姓ABC135,以135角為突破口，所以要畫出與之相似的三角形，必使AB1C1135,jAlBl幽也,單位為1的正方形對(duì)角線為旄,所以一格為一邊，一對(duì)角線BGBC2為一邊畫出AB1C1圖（1）所示另外還有兩種方法如圖（2）,圖（3）所示例5在方格紙中每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)。以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫做格點(diǎn)三角形。請(qǐng)你在的10*10的方格紙中畫兩個(gè)相似但不全等的格點(diǎn)三角形，并加以證明。要求：所畫三角形是鈍角三角形，并標(biāo)明相應(yīng)字母。分析：（1）正確畫出兩個(gè)相似但不全等的鈍角格點(diǎn)三角形（如圖所示）（提示：先畫出一個(gè)鈍角三角形，分別作各邊平行線，或利用三條對(duì)應(yīng)變成比例

17、畫出另一個(gè)與之相似的三角形）證明：設(shè)AB=1貝UBC=J2,AB12,C12衣，AB1BCA1B12B1cl從圖中可知BB,135ABCsAB1C1(1)求出每個(gè)格點(diǎn)三角形的邊長(zhǎng)(2)證出三對(duì)對(duì)應(yīng)邊成比例(3)結(jié)論：此題答案不唯一.例6已知圖(1)和圖(2)中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位。1,圖(1)中的格點(diǎn)ABC先向右平移3個(gè)單位再向上平移2個(gè)單位得到AB1C1請(qǐng)你在圖中(1)畫出在A1B1cl2,在圖(2)中畫出一個(gè)與格點(diǎn)DEF相似但相似比不等于1的格點(diǎn)三角形。分析：(1)考生沿著網(wǎng)格線不難完成作圖(2)需要把DEF放大，DEF的三邊長(zhǎng)度之比是1:75:272而格點(diǎn)間線段的最大長(zhǎng)度為6

18、72,所以可以把DEF放大&倍，2倍,2&倍,3倍均可，所以本題答案不唯一。圖(1)DE圖(2)六、利用方程探究相似三角形問(wèn)題例1、如圖1,梯形ABCD中，利用方程探究A90,AD8,CD2,ABm(m0)(1) 當(dāng)BPC90時(shí)，求證：ABP-ADPC(2) 當(dāng)m為何值時(shí)，能使BPC90的點(diǎn)P分別有兩個(gè)，一個(gè)，或不存在？(3) 是否存在合適的m的值和P點(diǎn)的位置，使得ABP,APDC,PBC者防目似？如果不存在，說(shuō)明理由；如果存在，求出解：(1)13,AD90：,AABP-ADPC(2)假設(shè)存在合適的m值，使得ABP-ADPC,則-PA空設(shè)PA=x,DCPD則乙m,即x28x2m

19、0戶648m8(8m)28x當(dāng)m<8時(shí)，>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，相應(yīng)P點(diǎn)有兩個(gè)。當(dāng)m=8時(shí)，=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，相應(yīng)P點(diǎn)有一個(gè)。當(dāng)m>8時(shí)，<0,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，相應(yīng)的P點(diǎn)不存在。(3)假設(shè)存在符合條件的m值和合適位置的P點(diǎn)(圖2)由ABP,PDC,4PBC者防目似，所以ADBPC90：m的值和P點(diǎn)的位置。APB與4PDC必定相似，只需考慮APB與4PBC假設(shè)4APB4PBC12取BC中點(diǎn)Q,連結(jié)PQ,可證得PQ/AB/DCP為AD中點(diǎn)，PAAB4m.一.,-,m8.因此，當(dāng)m=8,且P為AD中點(diǎn)時(shí),DCPB24ABP,PDC,PBC都相似例2、如圖（3）,已知梯形ABCD中，AD/BC,A90,AB=7,AD=3,BC=2,試在腰AB上確定點(diǎn)P的位置，使得以P,A,D為定點(diǎn)的三角形與以P,B,C解:x3假設(shè)APD'BCP2yxyy=1例3,P點(diǎn)放在PA=6的位置。如圖4,矩形ABCD,AD=a,DC=b,在AB上找一點(diǎn)E,使E點(diǎn)與C,三角形相似，設(shè)AE=x，問(wèn)這樣的E點(diǎn)是否存在?點(diǎn)有幾個(gè)？請(qǐng)說(shuō)明理由。的連線將矩形分成的三個(gè)若存在，這樣的ADE!似BEC?目似0D