論復(fù)變函數(shù)在工程中的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué) 院： 電氣工程學(xué)院 專業(yè)班級(jí)：電氣工程及其自動(dòng)化1303班學(xué) 號(hào)： 學(xué)生姓名： 王丁 指導(dǎo)教師： 丁蕾 輔 導(dǎo) 員： 魯力鵬 2014年12月論復(fù)變函數(shù)在工程中的應(yīng)用1、 利用復(fù)變函數(shù)研究平面向量場(chǎng)的有關(guān)問(wèn)題。以靜電場(chǎng)為例。我們知道，場(chǎng)內(nèi)沒有其他帶電物體的平面靜電場(chǎng)即使無(wú)源場(chǎng)也是無(wú)場(chǎng)。我們可以利用復(fù)變函數(shù)中的解析函數(shù)構(gòu)造場(chǎng)E的復(fù)勢(shì)。因?yàn)镋為無(wú)源場(chǎng)，所以divE=Exx+Eyy=0。從而我們知道在B內(nèi)Ey+是某二元函數(shù)u(x,y)的全微分，即：du x,y=Ey+由于等值線u(x,y)=1上任一點(diǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向與等值線在該點(diǎn)處的切線方向相同，等

2、值線就是向量線，也就是場(chǎng)E的電力線。因此稱u(x,y)為該場(chǎng)的力函數(shù)。又因?yàn)閳?chǎng)E為無(wú)旋場(chǎng)，所以EyxExy=0。從而我們知道在B內(nèi)也是某二元函數(shù)v(x,y)的全微分，即：dv x,y=所以v(x,y)是場(chǎng)E的勢(shì)函數(shù)，等值線v(x,y)=2就是等勢(shì)線。綜上所述，不難看出如果E是單連域B內(nèi)無(wú)源無(wú)旋場(chǎng)，那么u與v也滿足C-R方程，并且它們具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以，函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是B內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)，成為靜電場(chǎng)E的復(fù)勢(shì)。利用靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)可以統(tǒng)一研究力函數(shù)和勢(shì)函數(shù)，討論電力線和等勢(shì)線的分布，描繪出靜電場(chǎng)的圖像。以上便是復(fù)變函數(shù)在靜電場(chǎng)中最初步研究的一些淺顯的應(yīng)用。顯而易見，復(fù)

3、變函數(shù)的一些基本性質(zhì)（如解析函數(shù)、C-R條件等）在其中發(fā)揮著舉足輕重的作用。2、 相量法分析線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。相量法（phaser method），分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的便捷方法。它用稱為相量的復(fù)數(shù)代表正弦量，將描述正弦穩(wěn)態(tài)電路的微分（積分）方程變換成復(fù)數(shù)代數(shù)方程，從而簡(jiǎn)化了電路的分析和計(jì)算。相量可在復(fù)平面上用一個(gè)來(lái)表示。它在任何時(shí)刻在虛軸上的投影即為在該時(shí)刻的瞬時(shí)值。引入相量后，兩個(gè)同頻率的加、減運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相應(yīng)相量的加、減運(yùn)算。相量的加、減運(yùn)算既可通過(guò)運(yùn)算進(jìn)行，也可在相量圖上按加、減法則進(jìn)行。與它的相量是一一對(duì)應(yīng)的，因此求出了相量就不難寫出原來(lái)需要求的。利用相量可將在時(shí)域中的電壓電

4、流關(guān)系轉(zhuǎn)換成電壓相量與電流相量的關(guān)系。將正弦中每個(gè)電路均用對(duì)應(yīng)的相量電路模型代替，便得到一個(gè)與原電路相對(duì)應(yīng)的相量電路模型，這種模型對(duì)正弦交流電路的計(jì)算很有用處。正弦交流電路中一個(gè)不含獨(dú)立電源且與外電路無(wú)耦合的一端口網(wǎng)絡(luò)，其端上的電壓相量與電流相量的比值定義為該網(wǎng)絡(luò)的入端復(fù)數(shù)阻抗，簡(jiǎn)稱阻抗。它的倒數(shù)定義為該網(wǎng)絡(luò)的入端復(fù)數(shù)導(dǎo)納，簡(jiǎn)稱導(dǎo)納，分別用符號(hào)Z和Y表示。復(fù)數(shù)阻抗的實(shí)部稱為，稱為電抗，模稱為阻抗模，幅角稱為,它們分別用符號(hào)R、X、|Z|、表示。復(fù)數(shù)導(dǎo)納的實(shí)部稱為等效，稱為電納，模稱為導(dǎo)納模，幅角稱為導(dǎo)納角，它們分別用符號(hào)G、B、|Y|、表示，于是Z=R+jX=|Z|e Y=G+jB=|Y|e顯

5、然，阻抗模等于端口電壓（有效值）與端口電流振幅（有效值）的比值，等于端口電壓超前端口電流的角度；導(dǎo)納模等于端口電流振幅(有效值)與端口電壓振幅（有效值）的比值，導(dǎo)納角等于端口電流超前端口電壓的角度。元件、和都是最簡(jiǎn)單的一端口網(wǎng)絡(luò)。顯然，（復(fù)數(shù)導(dǎo)納）的引入能使原非同類的元件歸并為都以復(fù)數(shù)阻抗（復(fù)數(shù)導(dǎo)納）來(lái)表征的同類元件，復(fù)數(shù)阻抗（復(fù)數(shù)導(dǎo)納）在交流電路中的地位與直流電路中的（）相當(dāng)。3、 諧波分析法中的復(fù)變。在自然科學(xué)和工程技術(shù)中為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的運(yùn)算，人們常采用變換的方法來(lái)達(dá)到目的。例如在初等數(shù)學(xué)中，數(shù)量的乘積和商可以通過(guò)對(duì)數(shù)變換化為較簡(jiǎn)單的加法和減法運(yùn)算。在工程數(shù)學(xué)里積分變換能夠

6、將分析運(yùn)算（如微分、積分）轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，正是積分變換的這一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成為重要的方法之一。積分變換的理論方法不僅在數(shù)學(xué)的諸多分支中得到廣泛的應(yīng)用，而且在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，例如物理學(xué)、力學(xué)、現(xiàn)代光學(xué)、無(wú)線電技術(shù)以及信號(hào)處理等方面，作為一種研究工具發(fā)揮著十分重要的作用。式表明周期信號(hào)可以分解為一系列固定頻率的簡(jiǎn)諧波之和，這些簡(jiǎn)諧波的(角)頻率分別為一個(gè)基頻的倍數(shù)。Fourier變換是一種對(duì)連續(xù)時(shí)間函數(shù)的積分變換,通過(guò)特定形式的積分建立函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 它既能簡(jiǎn)化計(jì)算(如解微分方程或化卷積為乘積等)，又具有明確的物理意義(從頻譜的角度來(lái)描述函數(shù)的特征),因而在許

7、多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用。離散和快速Fourier變換在計(jì)算機(jī)時(shí)代更是特別重要。4、 Laplace變換在電路分析中的應(yīng)用。對(duì)于具有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件的復(fù)雜電路,用直接求解微分方程的方法比較困難。例如對(duì)于一個(gè)n階方程,直接求解時(shí)需要知道變量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0+時(shí)刻的值,而電路中給定的初始狀態(tài)是各電感電流和電容電壓在t=0+時(shí)刻的值,從這些值求初始條件的工作量很大。拉普拉斯變換和傅立葉變換都是積分變換,但它比傅立葉變換有更廣泛的適應(yīng)性,是求解高階復(fù)雜動(dòng)態(tài)電路的有效而重要的方法之一。在傅立葉變換中,引入衰減因子e-t(為實(shí)常數(shù)),根據(jù)不同信號(hào)的特征,適當(dāng)選取的值,使乘積信號(hào)f(t)e-t當(dāng)t時(shí)信號(hào)幅度趨近于0,從而使f(t) e-t的定義式積分收斂。-f(t)e-te-jtdt=-f(t) e-(+j)tdt其積分結(jié)果為s(s=+j)的函數(shù),F(s)=f(t