2019學年高二數(shù)學北師大版選修1-2學案：4.2復數(shù)的四則運算

1、復數(shù)的四則運算2.1復數(shù)的加法與減法2.2復數(shù)的乘法與除法-學習目標導航-1.理解共軛復數(shù)的概念.(重點)2.掌握復數(shù)的四則運算法則與運算律.(重點、難點)基礎初探教材整理1復數(shù)的加法與減法閱讀教材P77“例1”以上部分，完成下列問題.1.復數(shù)的加法設a+bi(a,bR)和c+di(c,dR)是任意兩個復數(shù)，定義復數(shù)的加法如下:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2.復數(shù)的減法設a+bi(a,bR)和c+di(c,dR)是任意兩個復數(shù)，定義復數(shù)的減法如下:(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.- 休驗 q11復數(shù)Z1=2i,z2=22i，貝U Z1+z2等于()【答

2、案】C教材整理2復數(shù)的乘法與除法閱讀教材P78“練習”以下P80,完成下列問題.階段1認知頗習質礎3iZ1+Z2=2+2+5i.A.0【解析】1.復數(shù)的乘法法則設zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)，貝Uziz2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i.2.復數(shù)乘法的運算律對任意復數(shù)zi,Z2,Z3C,有交換律Ziz2=Z2_zi結合律(ziz2) Z3=zi(z2z3)乘法對加法的分配律zi(z2+23)=ziz+zlz33共軛復數(shù)如果兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)，那么這樣的兩個復數(shù)叫作互為共軛復數(shù)復數(shù)z的共軛復數(shù)用z來表示，即z=a+bi，貝Uz=ab

3、i.4.復數(shù)的除法法則zia+bi ac+bd bcad設zi=a+bi,石c+di(c+di半0)，則z2二c+i二?i.-徽休驗-(1+i)2谿=-【解析】V(1+i)2-齊2j亨一5+寮314【答案】5+等質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2: _解惑：_疑問3： _解惑：_階段2小組合作型C.iD. iIII杳擁*復數(shù)的加法與減法運算114 3例(i)3+2i+(2D32i =_；(2)已知復數(shù)z滿足z+13i=52i，求z;(3)已知復數(shù)z滿足|z|+z=1+3i，求乙【精彩點撥】(1)根據(jù)復數(shù)的加法與減法法則計算.設z=a+bi(

4、a,bR),根據(jù)復數(shù)相等計算或把等式看作z的方程，通過移 項求解.(3)設z=x+yi(x,yR)，則|z匸,x2+y2,再根據(jù)復數(shù)相等求解.11431413【自主解答】(1) 3+2i+(2i)32i=3+23+21+2i【答案】1+i(2)法一：設z=x+yi(x，yR)，因為z+13i=52i，所以x+yi+(13i)=52i，即x+1=5且y3= 2，解得x=4，y=1，所以z=4+i.法二：因為z+13i=52i，所以z=(52i)(13i)=4+i.(3)設z=x+yi(x，yR)，則|z|=;x2+y2，又|z|+z=1+3i，所以x2+y2+x+x= 4，解得所以z= 4+3i

5、.y=3，I -1.復數(shù)加法與減法運算法則的記憶(1)復數(shù)的實部與實部相加減，虛部與虛部相加減.把i看作一個字母，類比多項式加、減法中的合并同類項.2當一個等式中同時含有|z|與z時，一般要用待定系數(shù)法，設z=a+bi(a，bR).I-再練一題1. (1)復數(shù)(1i)(2+i)+3i等于()類型1yi=1+3i，由復數(shù)相等得,x2+y2+x=1，y=3，I【解析】(1i)-(2+i)+3i=(12)+(-i-i+3i)= 1+i.故選A.【答案】A已知|z匸3,且z+3i是純虛數(shù)，則z=_.【解析】 設z=x+yi(x,yR),.：x2+y2=3，且z+3i=x+yi+3i=x+x=0,(y+

6、3)i是純虛數(shù)，貝Uc cy+3工0,由可得y=3.二z=3i.【答案】3iIII杳擁*復數(shù)的乘法與除法運算例 已知復數(shù)zi=1+i,z2=3-2i.試計算：(1) zi和z1;(2) z1勺2和Z2臨1.【精彩點撥】按照復數(shù)的乘法和除法法則進行.【自主解答】(1)Z1z2=3-2i+3i-2i2=5+i. z1=(1+i)22=(2i)2=4i2= 4.1+i 3+2i 1+5i 15=+i3-2i 3+2i 1313+13i5-12i 1-i1+i 1-i717i7 17亍名師I1.實數(shù)中的乘法公式在復數(shù)范圍內仍然成立.2.復數(shù)的四則運算次序同實數(shù)的四則運算一樣，都是先算乘除，再算加減.3

7、常用公式11+i1i(1)1_ i；口_i；市 _L1+i(2)z1切二3二I再練一題2.滿足=i(i為虛數(shù)單位)的復數(shù)z=()A.1+1i11.i22i若復數(shù)z滿足z(1+i)=2i(i為虛數(shù)單位)，則|z|=()A.1B.2C. , 2D.：3【解析】z+i(1)z_i，z+i_zi，.i_z(i1).-丄-i1i_1 _1 1.z_i1_ 1+i1i_亍_22i.2i 2i 1i .(2)-z(1+i)_2i，z_1+i_2_1+i，|z|_j12+12_2.【答案】(1)BC探究共研型III侏合峯共軛復數(shù)的應用探究1兩個共軛復數(shù)的和一定是實數(shù)嗎？兩個共軛復數(shù)的差一定是純虛數(shù) 嗎？【提示

8、】 若z_a+bi(a,bR),貝U z_abi，則z+z_2aR.因此，和一 定是實數(shù)；而zz_2bi.當b_0時，兩共軛復數(shù)的差是實數(shù)，而當bM0時，兩 共軛復數(shù)的差是純虛數(shù).探究2若Z1與z2是共軛復數(shù)，則|Z1|與|z2|之間有什么關系？【提示】|Z1|_|z2|.例 已知zC，z為z的共軛復數(shù)，若z -z3i z_1+3i，求乙【精彩點撥】 設z_a+bi(a，bR)，則z_abi.代入所給等式，利用復數(shù)的運算及復數(shù)相等的充要條件轉化為方程組求解.【自主解答】 設z_a+bi(a，bR)，則7_abi，(a，bR)，11.iC.廉究點A. 3+iB. 1+3i由題意得(a+bi)(a

9、bi)3i(abi)=1+3i, 即a2+b23b3ai1+3i,1.設Z12+i,Z215i，則Z1+Z2I為()A. .5+26B.5C.25D.37【解析】|Z1+Z2|1(2+i)+(15i)|34i|32+ 425.【答案】B2.已知i是虛數(shù)單位，則(一1+i)(2i)()則有a2+b23b1,3a3,解得a1,a1,b3.所以z 1或z 1+3i.再練一題3已知復數(shù)Z1(1+i)(1+bi)，Z2a+2i1i,其中a,bR.若Z1與z2互為共軛復數(shù)，求a,b的值.【解】Z1(1+i)(1+bi) 1bi+ib(b1)+(1b)i,a+2i a+2i 1+i a+ai+2i2 a2

10、a+2,1i 1i 1+i22+2i,由于Z1和Z2互為共軛復數(shù)，所以有b1解得a 2,構建體系學業(yè)分層測評(十三)C. 3+3iD. 1+i【解析】(1+i)(2i)二1+3i.【答案】B3._設復數(shù)zi=1+i,72=x+ 2i(xR),若ziz2R,貝Ux =_.【解析】TZ1=1+i,z2=x+2i(xR), Z1Z2=(1+i)(x+2i)=(x2)+(x+2)i.TZ1Z2R,.x+2=0，即卩x= 2.【答案】224._若=a+bi(i為虛數(shù)單位，a,bR)，則a+b =_ .1i22 1+i【解析】 因為-r= : . .=1+i,所以1+i=a+bi,所以a=1,b=1,1i

11、 1i 1+i所以a+b=2.【答案】25.已知復數(shù)z滿足|z|=;5,且(12i)z是實數(shù)，求z .【解】 設z=a+bi(a,bR),則(12i)z=(12i) (a+bi)=(a+2b)+(b2a)i,又因為(12i)z是實數(shù)，所以b2a=0, 即卩b=2a,又|z=5,所以a2+b2=5, 解得a= ,b=吃， z=1+2i或12i, 7=12i或1+2i, 1 = 1 2i).我還有這些不足：(1)_我的課下提升方案：(1)_（建議用時：45分鐘）學業(yè)達標一、選擇題1.實數(shù)x,y滿足zi=y+xi,Z2=yix,且zi-z2=2,則xy的值是()A.1B.2C.2D. 1解析ziz2

12、=y+xi(yix)=x+y+(xy)i=2,x+y=2,-x=y = 1.xy=0,xy=1.【答案】A2.已知復數(shù)z+3i3=33i，貝U z=()A.0B.6iC.6D.66i【解析】Tz+3i3=33i,z=(33i)(3i3)=66i.【答案】D3.復數(shù)乙二中-ai,aR，且2=申，則a的值為()A.1B.21 1C.2D.4【解析】 由乙二中一ai,aR，得 =于22xxai+(ai)2=3a2. 3【答案】Cai，因為=孕，所以解得a=舟舟. .4.A,B分別是復數(shù)Z1,z2在復平面內對應的點，0是原點，若|z1+Z2|=0Z2|,則三角形AOB定是（）B直角三角形D等腰直角三角

13、形則|zi+Z2|=|OA+OBI,|ziZ2|=|0A-OBI,依題意有|OA+OB|=|OA-OB|.以OA,OB為鄰邊所作的平行四邊形是矩形.AOB是直角三角形.【答案】BC.1_3+i_ -仰+i_i 1-V3iz_1-3i1 2_1-,3i2_1-, 3i21_i 1+苗 _ 亞+i1-；3i_4_-4+4【解析】復數(shù)zi對應向量OA,復數(shù)Z2對應向量OB.5已知復數(shù)z=1-：3i2z是z的共軛復數(shù)，則Zz等于（）A等腰三角形【解析】4【答案】A、填空題z_-446.復數(shù)1+2i3-4i2一的值是【解析】1+2i2_-3+4i3-4i_3-4i【答案】-17.已知a+2i_b+i（a

14、,bR）,其中i為虛數(shù)單位，則a+b_【解析】Va+2ib+i, a+2i=(b+i)i= 1+bi,二a=1, b=2,二a+b=1.【答案】18已知復數(shù)z滿足z+|z匸2+ &,則復數(shù)z=【解】 法一：設z=a+bi(a,bR).則|z|=a2+b2,代入方程得a+bi+a2+b2=2+8i.-z= 15+&.法二：原式可化為z=2|zi+8i,R , 2|z|是z的實部， 于是|z|= 一2|z|2+82, 即|z|2=684|z|+ 園2,二園=17.代入z=2|z|+&,得z=15+&.【答案】15+ &三、解答題9.在復平面內A,B,C三點對

15、應的復數(shù)分別為1,2+i, 1+2i.（1）求AB,BC,AC對應的復數(shù)；判斷ABC的形狀；求求ABC的面積.【解】（1）AB對應的復數(shù)為2+i1=1+i,BC對應的復數(shù)為1+2i（2+i）=3+i,AC對應的復數(shù)為一1+2i1= 2+2i. V|AB=. 2,|BC|=. 10,AC|=8=2 2,|ABf+ |AC|2=|BC|2,AABC為直角三角形.a+a2+b2=2,b=8,a=15解得b=8,1(3)SMBC=2X.2X2 2= 2.10.已知復數(shù)z滿足z=(1+3i)(1i)4.(1)求復數(shù)z的共軛復數(shù)；(2)若w=z+ai，且復數(shù)w對應向量的模不大于復數(shù)z所對應向量的模，求實 數(shù)a的取值范圍.【解】(1)z=1+i+3i+34= 2+4i,所以復數(shù)z的共軛復數(shù)為一24i.(2)w= 2+(4+a)i，復數(shù)w對應向量為(一2,4+a)，其模為-.4+4+a3 4 5=20+8a+a2又復數(shù)z所對應向量為(一2,4)，其模為2,5由復數(shù)w對應向量的模不大于復 數(shù)z所對應向量的模，得20+8a+a220,a2+8a0,a(a+8)0,所以實數(shù)a的取值范圍是一8a2 2x+2y=2 23=4 2,3當且僅當x=2y=3時，2x+4y取得最小值4,2.【答案】C7+ai3若復數(shù)z= 丁皂的實部為3,則z的虛部為_:2i7+ai 7+ai 2+i2i=2i 2+i14