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文檔簡介
1、第五章 相似矩陣及二次型 習題課術洪亮本章中我們主要介紹了方陣的特征値與特征向量;相似矩陣,尤其是對稱矩陣的相似矩陣;化二次型為標準形的方法,特別是利用正交變換化二次型為標準形.并且給出了一種求正交向量組的方法,施密特(Schimidt)正交化方法.231,0Txxxxx 123即為方程的解,其中 =.,111321321兩兩正交,使,求一組非零向量已知2311213,00TT 與正交,;解解12101,0 11TT亦即方程顯然,方程組的基礎解系為1230 xxx21212312T,把基礎解系正交化:.211211012111010132即為所求,于是,.010201010的其他特征值再求的特
2、征值,求是矩陣設AaaA. 220)2(10) 1(200.3212的其他特征值為所以,故又因為,從而而,的特征值,所以是由于解AEAaaAAA.122212221特征向量的全部特征值和對應的求設AA125215225122212221)(.1EAfA的特征值)求解:(121211221)5(2) 1)(5(100010221)5(15321,的特征值為所以,A.A)2(向量的特征值所對應的特征求224242422422242224551EA時,當111050001102113303302111121212111PxEA的基礎解系為)(故RkPk1111,5A的全部特征向量為對應于特征值矩陣所
3、以時,當132000000111222222222EA101,011032PPxAE的基礎解系為)(所以RkkPkPk32332232,1A全部特征向量為的對應于特征值故,矩陣.1264211,)5(5)5(,1.2323232233,的特征值為從而,的特征值為由于從而時,有)因為當(解BAxxxxAABxxxAxxAxAx3231125,125.ABAABBAE設 階矩陣 的特征值為 ,且試求:( )矩陣 的特征值及其相似對角矩陣, 并說明理由;( )行列式及.72228855)(5. 22) 1(1.288)12)(6)(4(1264)2(2223EAEAAAABABB故而又因為所以,的特
4、征值為因為設矩陣A與 B相似,其中20022 ,311Ax10002000By(1)求 x 和 y 的值;(2)求可逆陣P,使 .1P APB解解 (1)因為因為AB,故其特征多項故其特征多項式相同式相同,即即AEBE(1)(2)()Y2(2)(1)(2)XX令=0,得2(x-2)=2y,即y=x-2.令=-1,得x=0,從而y=-2.(2) 由(1)知200100202 ,020311002AB由于A B,從而A的特征值為123=-1,=2,=-2.對應于1=-1的特征向量為1021;TP 對應于22的特征向量為2011;TP 對應于的特征向量為32 3101TP 則有可逆矩陣001210111P1P APB使得.2)(2HxxExxETTTTT是對稱矩陣所以,H.21, 1,2是正交矩陣)(是對稱矩陣;)(維列向量,試證:為其中設HHnxxxxxEHTT1(2)TT THExx證明:()TTTTTTT
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