同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)-1-3節(jié)數(shù)列的極限ppt課件

1、“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS2 2、截丈問題：、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211 X第一天截下的杖長為第一天截下的杖長為;212122 X為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖長總和;2121212nnXn 天截下的杖長總和為天截下的杖長總和為第第n

2、nX211 1二、數(shù)列的定義二、數(shù)列的定義定義定義:按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號依次排列的一列數(shù)編號依次排列的一列數(shù) ,21nxxx (1)稱為稱為無窮數(shù)列無窮數(shù)列,簡稱簡稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個數(shù)稱為數(shù)其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的列的項項,nx稱為稱為通項通項(一般項一般項).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意： 1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一可看作一動點在數(shù)軸上依次取動點在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標函數(shù)數(shù)列是整標函數(shù)).(nfxn ;,

3、)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 .)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn播放播放三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限問題問題: 當當 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當當nxnnn 問題問題: “無限接近意味著什么無限接近意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察

4、:,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只只要要 n,100011 nx有有, 0 給給定定,)1(時時只只要要 Nn.1成成立立有有 nx定義定義 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù)N, ,使得對于使得對于Nn 時的一切時的一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列nx的極限的極限, ,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列nx收斂于收斂于

5、a, ,記為記為 ,limaxnn 或或).( naxn如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) Nx1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點所有的點時時當當NaaxNnn :定義定義N 其中其中;:每每一一個個或或任任給給的的 .:至少有一個或存在至少有一個或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有時時使使數(shù)

6、列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證證明明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,時時則則當當Nn 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(CxCCxnnn 證證明明為為常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)證證Cxn CC ,成立成立 ,0 任任給給所以所以,0 ,n對于一切自然數(shù)對于一切自然數(shù).limCxnn 說明說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時用定義證數(shù)列極限存在時,

7、關(guān)鍵是任意給關(guān)鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任給任給,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,時時則則當當Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求證證且且設(shè)設(shè)證證, 0 任給任給.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn時恒有時恒有使得當使得當axaxaxnnn 從從而而有有aaxn a1 四、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列極限的性質(zhì)

8、1.有界性有界性定義定義: 對數(shù)列對數(shù)列nx, 若存在正數(shù)若存在正數(shù)M, 使得一切自使得一切自然數(shù)然數(shù)n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 則稱數(shù)列則稱數(shù)列nx有界有界,否則否則, 稱為無界稱為無界.例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)軸軸上上對對應(yīng)應(yīng)于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點點nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界無界無界定理定理1 1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時時恒恒有有使使得得當當則則. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對一

9、切自然數(shù)則對一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .2.唯一性唯一性定理定理2 2 每個收斂的數(shù)列只有一個極限每個收斂的數(shù)列只有一個極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設(shè)設(shè)由定義由定義,使使得得., 021NN ;1 axNnn時恒有時恒有當當;2 bxNnn時時恒恒有有當當 ,max21NNN 取取時時有有則則當當Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .時時才才能能成成立立上上式式僅僅當當ba 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂數(shù)列極限唯一.例例5.)1(1是是發(fā)發(fā)散散

10、的的證證明明數(shù)數(shù)列列 nnx證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義,21 對于對于,21,成立成立有有時時使得當使得當則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即即當當區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.,1, 1兩兩個個數(shù)數(shù)無無休休止止地地反反復(fù)復(fù)取取而而 nx不可能同時位于長度為不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi)的區(qū)間內(nèi)., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實上事實上nx五五.小結(jié)小結(jié)數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律; ;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想極限思想, ,精確定義精確定義, ,幾何意義幾何意義; ;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :有界性唯一性有界性唯一性. .思考題思

11、考題指指出出下下列列證證明明1lim nnn中中的的錯錯誤誤。證明證明要使要使,1 nn只要使只要使)1ln(ln1 nn從而由從而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N當當 時，必有時，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn思考題解答思考題解答 1nn)1ln(ln1 nn（等價）（等價）證明中所采用的證明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn實際上就是不等式實際上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即證明中沒有采用即證明中沒有采用“適當放大適當放大” 的值的值nnln從而從而 時，時，2ln)1ln( Nn僅有僅有 成立，成立，)1

12、ln(2ln n但不是但不是 的充分條件的充分條件)1ln(ln nn反而縮小為反而縮小為n2ln一、一、 利用數(shù)列極限的定義證明利用數(shù)列極限的定義證明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二、二、 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列nx有界，又有界，又0lim nny， 證明：證明：0lim nnnyx. .練練 習(xí)習(xí) 題題1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細，所割之彌細，所

13、失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，

14、以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于

15、不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列