常見幾何圖形的折疊問題

1、常見幾何圖形的折疊問題圖形的折疊是圖形變換的一種，折疊型問題的立意新穎，變化巧妙，是近幾年中考中的熱點(diǎn)問題，主要考察學(xué)生的探究能力，空間想象能力，抽象思維能力及邏輯推理能力。體現(xiàn)的是教材中的軸對(duì)稱問題，在解決這類問題中，運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)比較多，綜合性強(qiáng)，如軸對(duì)稱性、全等思想、相似思想、勾股定理、代換思想等，是培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖用圖能力，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題能力的一條非常有效的途徑。折疊操作就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折1800，使它與另一部分圖形在這條直線的同旁與其重疊或不重疊，其中“折”是過程，“疊”是結(jié)果.折疊問題的實(shí)質(zhì)是圖形的軸對(duì)稱變換，折疊更突出了軸對(duì)稱問題的應(yīng)用.所以在解決有關(guān)的折疊問

2、題時(shí)可以充分運(yùn)用軸對(duì)稱的思想和軸對(duì)稱的性質(zhì)。折紙中所蘊(yùn)含著的豐富數(shù)學(xué)知識(shí)備受中考命題者的青睞，設(shè)計(jì)了許多別具創(chuàng)意的折疊問題，現(xiàn)采擷其中較有代表性的試題，予以例析一、三角形中的折疊例1如圖1,直角三角形紙片ABC,ZC=90°,AC=6,BC=8，折疊ABC的一角,使點(diǎn)B與A點(diǎn)重合，展開得折痕DE,求BD的長.功能分析：此題主要運(yùn)用勾股定理解決折疊問題,往往融方程與幾何圖形于一體,具有較強(qiáng)的綜合性。解法研究：由折疊可知，ADEBDE所以AD=BD.于是，在RtAACD中，由勾股定理建立方程，求出AD的長即可.設(shè)BD=x，貝9AD=x,CD=8x.在RtACD中，由勾股2525定理，得A

3、C2+CD2=AD2,所以62+(8X)2=X2,解得x=.所以BD的長為丁.44二、特殊四邊形中的折疊1. 矩形中的折疊AD圖2例2如圖2,將矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點(diǎn)C落在-處，BC交AD于E,AD=8AB=4,求厶BED的面積.功能分析：由折疊后的圖形與原圖形全等，從而可知BCD9ABCD,則易得BE=DE.在RtAABE中，用勾股定理先算出BE的長，再在RtABEF中，用勾股定理求出EF的長，即可求出BDE的面積.折疊問題常結(jié)合全等三角形和等腰三角形來解決.矩形的折疊常與直角三角形有關(guān)，選擇一個(gè)直角三角形，運(yùn)用勾股定理來解是常用的方法解法研究：在矩形ABCD中，ADBC,Z2=

4、Z3.當(dāng)矩形ABCD沿著直線BD折疊后，BCD與厶BCD關(guān)于直線BD對(duì)稱,1Z1=Z2,AZ3=Z1,:.BE=ED.作EF丄BD于F,則BF=3BD,BD=、；8+42=45設(shè)BE=x.JBE=ED,：AE=8-x.在RtAABE中,42+(8-x)2=x2,：x=5在RtABEF中，x2=EF2+(2、；5)2,52=EF2+(25)2,EF=；5,S=-BD-EF=10.ABDE2例3如圖3(1),矩形紙片ABCD的邊長分別為ab(a<b).將紙片任意翻折(如圖3(2),折痕為PQ.(P在BC上)，使頂點(diǎn)C落在四邊形APCD內(nèi)一點(diǎn)C,PC的延長線交直線AD于M，再將紙片的另一部分翻

5、折，使A落在直線PM上一點(diǎn)A'，且AM所在直線與PM所在直線重合(如圖3(4)折痕為MN.猜想兩折痕PQ，MN之間的位置關(guān)系，并加以證明A,DabBC功能分析：解決本題的關(guān)鍵在于能否抓住互相重合部分的特點(diǎn)，這要求同學(xué)們掌握折痕是對(duì)稱軸這一性質(zhì)。解法研究：猜想PQMN，欲證明猜想成立，只需證明ZMPQ=ZNMP.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以ADBC，且M在AD直線上，則有AMBC所以ZAMP=ZMPC，由翻折可得：ZMPQ=ZCPQ=fZMPC，ZNMP=ZAMN=-ZAMP，所以ZMPQ=ZNMP，故PQMN.22. 正方形中的折疊例4如圖4,將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，

6、使點(diǎn)D落在BC邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN,則線段CN的長是()(A)3cm(B)4cm(C)5cm(D)6cm功能分析：解決此類問題時(shí)，關(guān)鍵要尋找出折疊前后的不變量(即相等的線段、相等的角)，同時(shí)要注意利用方程的思想.解法研究：根據(jù)折疊前后對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圖形是全等圖形可知，EN=DN.所以EN=DN=CD-CN=8-CN.因?yàn)镋是BC中點(diǎn)，所以EC=2bC=12x8cm=4cm.在RtAECN中，根據(jù)勾股定理得EN2=EC2+CN2，即(8CN)2=42+CN2，解得CN=3.故應(yīng)選A.例5(2005年蘭州中考題)如圖5，把一個(gè)正方形三次對(duì)折后沿虛線剪下，則所得圖圖5功能分析：此題是考

7、察學(xué)生空間想象能力與動(dòng)手操作能力的實(shí)踐操作題，讓學(xué)生在通過實(shí)際操作的基礎(chǔ)上積累生活經(jīng)驗(yàn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力。圖6答案:C3. 梯形中的折疊例6如圖6,梯形紙片ABCD，ZB=60°，ADBC,AB=AD=2,BC=6.將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,折痕為AE,則CE=.功能分析：以特殊四邊形為背景的折疊問題，在中考試題屢見不鮮，對(duì)于此類問題，很多同學(xué)往往感到無從下手.解這類問題的關(guān)鍵還是弄清折痕的特點(diǎn)，認(rèn)識(shí)到折起部分與重合部分是全等的。解法研究：由題意得:AB=AD,BE=ED,ZB=ZEDA=600又TADBC,：ZBAD=120°,由四邊形內(nèi)角和得，ZBED=120°四邊形ABED是平行四邊形，又*/AB=AD,四邊形ABED是菱形，故CE=BC-BE=BC-AD=6-2=4.解決折疊問題時(shí)，首先要對(duì)圖形折疊有一準(zhǔn)確定位，把握