對(duì)流方程及算法介紹

1、1引言2對(duì)流方程及算法介紹2.1對(duì)流方程的概述對(duì)流：是指由于流體的宏觀運(yùn)動(dòng)，從而使流體各部分之間發(fā)生相對(duì)位移，冷熱流體相互摻混所引起的熱量傳遞過程。對(duì)流僅發(fā)生在流體中，對(duì)流的同時(shí)必伴隨有導(dǎo)熱現(xiàn)象。人們研究對(duì)流擴(kuò)散方程，主要的研究對(duì)象是流體在流動(dòng)過程中，流體所攜帶的某種物質(zhì)的物理量的變化規(guī)律，例如傳熱過程中溫度的變化規(guī)律或者溶解于流體中溶質(zhì)的物質(zhì)濃度等物理量的變化規(guī)律。這些變化通常包括對(duì)流、擴(kuò)散以及由于某種物理或者化學(xué)的因素而引起的物理量的自身衰減或增長。最簡單的一維對(duì)流擴(kuò)散方程形如(2-1)式：+C=0(2-1)ctcX其中C是常數(shù)，它屬于雙曲型方程，可以被用來描述流體的運(yùn)動(dòng)等物理現(xiàn)象。2.2

2、水對(duì)流現(xiàn)象的簡易演示2.2.1基本步驟用兩只相同的小燒杯，各裝上冷水，再如圖1所示插入長短兩根吸管，虹吸管由普通化學(xué)實(shí)驗(yàn)用玻璃管在酒精燈上加熱彎成，一根查到被子底部，一根只插入水的表面，再在右杯中滴入幾滴墨水并攪拌均勻，現(xiàn)在開始用酒精燈加熱左邊的燒杯,一段時(shí)間后就可以明顯的看到染了顏色的水從右杯源源不斷的流入左杯，左杯的水源源不斷的流入右杯，最后兩杯水都變成了墨水的顏色，與此同時(shí)用手摸右邊的杯子，右邊的水也熱了起來，這就是冷熱水發(fā)生了對(duì)流的緣故。2.2.2實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)短虹吸管只插入水的表面，不能過深。玻璃管宜選壁較厚一些的，這樣絕熱性好一些，效果也好一些。223實(shí)驗(yàn)原理分析對(duì)左邊的水杯用酒精燈

3、加熱，水受熱密度變小開始上升，右邊水杯的冷水從下邊的吸管流向左邊的水杯進(jìn)行補(bǔ)充，左邊水杯的熱水從上邊的吸管流向右邊的水杯，這樣一會(huì)兒兩杯水都變成墨水的顏色了1。在冷水里面摻熱水也是一樣的道理，在不攪拌的情況下，最后水溫基本都是一個(gè)溫度，這就是水的對(duì)流，除了水的對(duì)流還有刮風(fēng)是空氣的對(duì)流，氣壓高的一方向氣壓低的一方補(bǔ)充空氣，這就形成了對(duì)流，就會(huì)產(chǎn)生風(fēng)；還有冬天在家里開空調(diào)，形成空氣對(duì)流，最后整個(gè)房間的溫度都升了起來。2.3對(duì)流方程及其現(xiàn)有算法dudud2u、+a£+f(x,t)1針對(duì)常系數(shù)對(duì)流擴(kuò)散方程dtdxdx2，我們利用指數(shù)變換,構(gòu)造四階緊致差分格式。2.針對(duì)一維變系數(shù)對(duì)流擴(kuò)散方程+

4、a(x,t)dtdu£dxd2u忘，將其轉(zhuǎn)化為擴(kuò)散方dudu4.針對(duì)一維常系數(shù)對(duì)流擴(kuò)散方程+V£dtdxd2udx2和一維變系數(shù)對(duì)流擴(kuò)散方程，并構(gòu)造四階緊致差分格式。dududu/d2ud2u、r+p+q一a(+)f3對(duì)于常系數(shù)二維對(duì)流擴(kuò)散方程dtdxdydx2dy2，構(gòu)造出四階緊致差分方程，以及特殊的變系數(shù)/d2ud2u、/、du/、du對(duì)流擴(kuò)散方程的四階緊致差分格式。(忘+麗)+P(x)瓦+q(刃石/(x，刃c(x)+b(x)-a(x)f(x,t)程dxdxdx2，分別構(gòu)造了幾種基于線性和雙線性插值的特征差分格式。5.針對(duì)二維對(duì)流擴(kuò)散方程學(xué))f(x,y)dy2，構(gòu)造了幾

5、種基c(x,y)+b(x,y)+b(x,y)一a(x,y)(學(xué)+dt1dx2dydx2于線性和雙線性插值的特征差分格式。2.3影響物理量申的三個(gè)過程用申-申(x,y,z,t)來表示流體中單位體積的流體所攜帶的某種物理量，它可以是流體的質(zhì)量或溫度。流體的溫度可以用Q來表示，流體的密度p也可以用p來表示。于是物理量p也可以寫成乘積的形式：p申。為了研究物理p的變化規(guī)律,任取一個(gè)有限區(qū)域D,它的邊界為S,值得研究的是D內(nèi)p的分布情況和變化過程。對(duì)流、擴(kuò)散和源項(xiàng)三個(gè)方面的物理變化過程構(gòu)成了區(qū)域D內(nèi)p的變化，現(xiàn)在對(duì)這三種變化過程分別進(jìn)行討論。a. 對(duì)流過程對(duì)流的過程中，有限區(qū)域D內(nèi)p的變化包括兩個(gè)方面，

6、一方面是由于流體的流動(dòng)位置發(fā)生變化而引起的變化，另一種是p隨時(shí)間的變化而產(chǎn)生的變化。在有限區(qū)域D中，p的積分量的變化可寫成下面的隨體導(dǎo)數(shù).(2-2)dtdtnDDD式中Un=Un是流體的速度在S面上的法方向分量。利用Green-Gauss公式2JpudS=JJdiv(pu)dDn可以得到SJJpdD=dD+fpudS(2-3)JJpdD=JJ空+div(pu)dDdtdtDDb. 擴(kuò)散過程湍流擴(kuò)散和分子擴(kuò)散是擴(kuò)散過程最基本的構(gòu)成。在擴(kuò)散作用下，物理量p由數(shù)值高的向數(shù)值低的方向轉(zhuǎn)移。根據(jù)Fick定律可得，擴(kuò)散速度q即單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的某種物理量p，和物理量p的關(guān)系為：q=-KVp-Jnqd

7、S=JnKVpdS=JJdiv(KVp)dD關(guān)系式中K為擴(kuò)散系數(shù)，它可以是其他物理量的函數(shù)，也可以是一個(gè)常數(shù)。鑒于擴(kuò)散過程的作用，有限區(qū)域D中的p增量為：2-4)SSDc. 源匯流場(chǎng)中物理量尹會(huì)因?yàn)樵春蛥R的存在而發(fā)生變化。流場(chǎng)中的理量p可能由于流體的流動(dòng)位置的原因，使得p的自身發(fā)生增長或衰減，并且物源或匯進(jìn)行描述，記作Q，Q為分布函數(shù)，當(dāng)Q>0時(shí)表示源，Q<0時(shí)表示匯，分別說明p增長或減少。p增長或減少的快慢通過Q絕對(duì)值的大小得到反映，表示源匯的強(qiáng)度,在有限的區(qū)域D內(nèi)，由于源匯的作用，物理量p的增加量為JJQdD。根據(jù)守恒性原理，物理量的變化滿足下面的關(guān)系式DJJ雲(yún)+div(pu)dD=JJdiv(KVp)dD+JJQdDdt由于D是任意的，上面的守恒方程可以改寫為+div(Qu)=div(KVq)+Qdt或du+Qdiv(u)=div(KVq)+Qdt以上兩個(gè)就是對(duì)流擴(kuò)散方程。求解時(shí)